第一单元《勾股定理》单元测试卷（含答案）

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北师大版初中数学八年级上册第一单元《勾股定理》单元测试卷考试范围：第一章； 考试时间：100分钟；总分120分，学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为A.
B.
C.
D. 勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝．勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图的直角三角形纸片拼成的四个图形中，可以证明勾股定理的图形有个．
A.  B.  C.  D. 如图，点是线段上的一点，分别以、为边向两侧作正方形．设，两个正方形的面积和，则图中的面积为A.
B.
C.
D. 传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含和的式子可表示为A.  B.  C.  D. 如图，在中，，，边上的中线，则的面积为A.
B.
C.
D. 如果下列各组是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，如图，在四边形中，，，，，，则等于A.
B.
C.
D. 如图所示，在长方形中，，，若将长方形沿折叠，使点落在边上的点处，则线段的长为       
A.  B.  C.  D. 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？“意思是：一根竹子，原来高一丈一丈为十尺，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点处绕着点经过最低点，最终荡到最高点处，若，点与点的高度差米，水平距离米，则点与点的高度差为A. 米 B. 米 C. 米 D. 米如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂效到达蜂蜜的最短距离为．A.
B.
C.
D. 在海面上有两个疑似漂浮目标．接到消息后，舰艇以海里时的速度离开港口，向北偏西方向航行．同时，舰艇在同地以海里时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口小时后两船相距海里，则舰艇的航行方向是A. 北偏东 B. 北偏东 C. 北偏东 D. 北偏东第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共12分）如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，，据此可得学校与工厂之间的距离等于______．
把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点，，在同一直线上．若，则______．
在中，，，若点在内部含边界且满足，则所有点组成的区域的面积为______．如图，在中，，点在上．，，则的长为______．
 三、解答题（本大题共8小题，共72分）如图是边长为的正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求画出下列图形．
的周长为______；
如图，点、分别是与竖格线和横格线的交点，画出点关于过点竖格线的对称点；
请在图中画出的角平分线．
如图，在中，于点，，，，求的长．

  如图，在长度为个单位的小正方形组成的网格中，点，，小正方形的顶点上．
在图中画出与关于直线成轴对称的．
的面积为______；
在直线上找一点，使的长最短，在图形中标出点


  如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．


  已知抛物线：经过点，点抛物线与关于轴对称，点在上的对应点为．求抛物线的表达式；抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．如图，一根长度为的木棒的两端、系着一根长度为的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，且为直角边，求这个点将绳子分成的两段各有多长？
  如图，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行．从点爬到点的最短路程是多少厘米结果保留小数点后一位？
  



  24.我国古代数学著作九章算术中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
答案和解析 1.【答案】【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得： ，进而可将阴影部分的面积求出．
【解答】
解： ，
，
，
．
故选： ．   2.【答案】【解析】解：在图中，无法用面积的等量关系证明勾股定理；
在图中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
化简得：；
在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简得：；
在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简得：；
故选：．
在图中，无法用面积的等量关系证明勾股定理；在图中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即可得出；在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得出；在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得出；即可得出结果．
本题考查了勾股定理的证明，正确利用图形中有关面积的等量关系得出勾股定理是解题的关键．
 3.【答案】【解析】解：设，，
由题意得：，，
，
，
，
的面积．
图中的面积为．
故选：．
设，，由题意得：，，再根据完全平方公式的变式，即可求出的值，根据直角三角形的面积计算方法即可得出答案．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 4.【答案】【解析】【分析】
本题考查了勾股定理、完全平方公式以及三角形面积公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键 首先设拉出的直角三角形两直角边长分别为 、 ，根据题意可得 ------ ， ------- ，然后把 式变形，两边平方，再根据完全平方公式展开并将 式代入即可得出 的值，最后根据三角形面积公式可得这个直角三角形的面积为 ，进行计算即可得出答案．
【解答】
解：设拉出的直角三角形两直角边长分别为 、 ，则
------ ，
------- ，
由 可得： ，
等式两边平方得： ，
，
，
，
这个直角三角形的面积为： ．
故选 A ．   5.【答案】【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
延长 到 ，使 ，连接 ，由 为 的中点，得到 ，再由一对对顶角相等，利用 得出 与 全等，由全等三角形的对应边相等得到 ，由 ，利用勾股定理的逆定理得到 为直角三角形，即 垂直于 ， 的面积等于 的面积，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】
解：延长 到 ，使 ，连接 ，

为 的中点，
，
在 与 中，

≌ ，
．
又 ， ， ，
，
，
则 ．
故选 B ．   6.【答案】【解析】解：、，
此三角形是直角三角形，不合题意；
B、，
此三角形是直角三角形，不合题意；
C、，
此三角形是直角三角形，不符合题意；
D、，
此三角形不是直角三角形，符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 7.【答案】【解析】解：连接，过作于，则，

在中，，，，由勾股定理得：，
在中，，，，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
设，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：负数舍去，
即，，
，
在中，，
故选：．
连接，过作于，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据相似三角形的性质和判定求出，求出、的长，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
 8.【答案】【解析】【分析】
本题考查了折叠的性质和勾股定理的应用，利用折叠的性质表示出相应线段的长度是解答此题的关键．
先根据长方形的性质得 ， ，再根据折叠的性质得 ， ，在 中，利用勾股定理计算出 ，得出 ，设 ，则 ，在 中，利用勾股定理列方程即可求解．
【解答】
解： 为长方形，
， ，
由折叠可知： ， ，
在 中，
，
，
设 ，则 ， 在中，，即，解得：，即线段的长为．
故选C．  9.【答案】【解析】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：
解得：．
答：原处还有尺高的竹子．
故选：．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
 10.【答案】【解析】解：作于，于，

，
，
，
在与中，
，
≌，
米，
设米，
在中，，
即，
解得，
米，
故选：．
作于，于，根据可证≌，可得米，再由勾股定理求出，可求得，再根据线段的和差和等量关系即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出示意图．
 11.【答案】【解析】解：如图所示，将圆柱沿过的母线剪开，

由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点，使最小，
故先作出关于杯口所在直线的对称点，连接与杯口的交点即为，此时，
根据两点之间线段最短，即可得到此时最小，并且最小值为的长度，
如图所示，延长过的母线，过作垂直于此母线于，
由题意可知，，
，
由勾股定理得：，
故蚂效到达蜂蜜的最短距离为，
故选：．
将圆柱沿过的母线剪开，由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点，使最小，则先作出关于杯口所在直线的对称点，连接与杯口的交点即为，此时，再利用勾股定理求的长即可．
本题主要考查了平面展开最短路径问题，轴对称的性质，勾股定理等知识，将立体图形转化为平面图形，运用两点之间线段最短是解题的关键．
 12.【答案】【解析】解：由题意得，海里，海里，
又海里，
，即
，
，
，
则另一艘舰艇的航行方向是北偏西，
故选：．
根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，求出的度数即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，根据题意判断出是直角三角形是解决问题的关键．
 13.【答案】【解析】解：，，，
，
．
故答案为：．
直接利用直角三角形的性质得出度数，进而利用直角三角形中所对直角边是斜边的一半，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用和直角三角形的性质，正确掌握边角关系是解题关键．
 14.【答案】【解析】【分析】
先利用等腰直角三角形的性质求出 ， ，再利用勾股定理求出 ，即可得出结论．
此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
【解答】
解：如图， 过点 作 于 ，
在 中， ，
， ，
两个同样大小的含 角的三角尺，
，
在 中，根据勾股定理得， ，
，
故答案为： ．   15.【答案】【解析】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，交于点．

由题意，点组成的图形是，
，，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
如图，作线段的垂直平分线交于点，交于点由题意，点组成的图形是，利用相似三角形的性质求出，可得结论．
本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，利用相似三角形的性质解决问题．
 16.【答案】【解析】解：，，
，
，
在中，
，
．
故答案为：．
根据，判断出，根据勾股定理求出的长，从而求出的长．
本题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．同时涉及三角形外角的性质，二者结合，是一道好题．
 17.【答案】【解析】解：由题意，，，
的周长，
故答案为：；
如图，点即为所求；
如图，线段即为所求．

利用勾股定理求出，，可得结论；
根据对称性作出图形即可；
利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 18.【答案】解：，
，
，
解得：，
，
在中，
．【解析】由的面积求出，得出，由勾股定理求出即可．
此题主要考查了勾股定理以及三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由三角形的面积求出是解决问题的关键．
 19.【答案】【解析】解：即为所求．

，
故答案为．

如图点即为所求．
分别作出，，的对应点，，即可．
利用分割法求三角形面积即可．
连接交直线于点，连接，此时的值最小．
本题考查作图轴对称变换，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 20.【答案】解：连结，

在中，
，，，
，
，
在中，
，，，
，
是直角三角形，
 
四边形的面积．【解析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，分别求出和的面积，即可得出答案．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出和的面积，属于中档题．
 21.【答案】解：将点，点代入，
得     
解得    
抛物线的表达式为．
与关于轴对称，点在上的对应点为
，的对称轴即为的对称轴：直线．
是以为直角边的直角三角形，
或．
设


若，则

解得．
若，则

解得．
综上，【解析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式的方法、勾股定理的逆定理是解题的关键
将点，点代入，得出方程组即可
先求出的坐标，可得或，设，求出，，，再根据勾股定理列出方程，即可．
．
 22.【答案】解：已知如图：设，则，
由勾股定理得：，
方程无解；
解得：或，
若为斜边，
则，
解得：；
若为斜边，
则，
解得：．
故这个点将绳子分成的两段各有或．【解析】设使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形的位置为点，则，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可求出的值．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解决问题的关键．
 23.【答案】解：如图所示，

圆柱的底面半径为，高为，
，，
．
答：从点爬到点的最短路程是厘米．【解析】本题考查的是平面展开最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．
 24.【答案】解：设水深尺，芦苇尺，
由勾股定理：，
解得：，，
答：水深尺，芦苇的长度是尺．【解析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．