高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册3 导数的计算练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册3 导数的计算练习题，共6页。

1．函数y＝ eq \f(x2,x＋3)的导数是( )
A． eq \f(x2＋6x,（x＋3）2) B． eq \f(x2＋6x,x＋3)
C. eq \f(－2x,（x＋3）2) D． eq \f(3x2＋6x,（x＋3）2)
2．已知f(x)＝x·sin x，则导数f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π))＝( )
A.0 B．－1
C.π D．－π
3．已知函数f(x)＝ex ln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))的值为( )
A. eq \f(1,e) B．e
C.1 D．0
4．曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1, a＋2)处的切线斜率为8，则实数a的值为( )
A.－6 B．6
C.12 D．－12
5．已知函数f(x)＝ eq \f(ln x,x)－ax2，若曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与直线2x－y＋1＝0平行，则a＝( )
A.－ eq \f(1,2) B． eq \f(1,2)
C.1 D．2
6．(多选题)已知函数f(x)＝x cs x的导函数为f′(x)，则( )
A.f′(x)为偶函数
B.f′(x)为奇函数
C.f′(0)＝1
D.f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＋f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝ eq \f(π,2)
7．函数f(x)＝xex－ex的图象在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))))处的切线方程为________．
8．已知函数f(x)＝ax3＋2 eq \r(x)，若f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝4，则a＝________．
9．已知函数y＝x ln x．
(1)求这个函数的导数；
(2)求这个函数的图象在点x＝e处的切线方程．
10．设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cs x，若已知f′(x)＝x cs x，求f(x)的解析式．
[提能力]
11．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为( )
A.(0，＋∞)
B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，＋∞))
C.(2，＋∞)
D.(－1，0)
12．(多选题)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上不是凸函数的是( )
A.f(x)＝sin x－cs x
B.f(x)＝ln x－2x
C.f(x)＝－x3＋2x－1
D.f(x)＝xex
13．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝________．
14．已知函数f(x)＝－ eq \f(1,2)x2＋2xf′(2 021)＋2 021ln x，则f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 021))＝________．
15．已知函数f(x)＝x2－ln x．
(1)求曲线y＝f(x)在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))))处的切线方程；
(2)求函数f′(x)>0的解集．
[培优生]
16．已知f0(x)＝ex sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，记fn(x)＝fn－1′(x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n∈N*)).
(1)f1(x)，f2(x)，f3(x)；
(2)求S4n＝f0(x)＋f1(x)＋…＋f4n－1(x).
课时作业(十七) 导数的四则运算法则
1．解析：因为y＝ eq \f(x2,x＋3)，所以y′＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋3))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋3))′x2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋3))2)＝ eq \f(2x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋3))－x2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋3))2)＝ eq \f(x2＋6x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋3))2)
故选A.
答案：A
2．解析：∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x sin x，∴f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝sin x＋x cs x，因此，f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π))＝－π.
故选D.
答案：D
3．解析：∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ex ln x，则f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ex eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋\f(1,x)))，因此，f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝e.
故选B.
答案：B
4．解析：由y＝x4＋ax2＋1，得y′＝4x3＋2ax，
则曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1, a＋2)处的切线斜率为－4－2a＝8，得a＝－6.
故选A.
答案：A
5．解析：函数f(x)＝ eq \f(ln x,x)－ax2的导数为f′(x)＝ eq \f(1－ln x,x2)－2ax，
可得曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为k＝f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝1－2a，
由切线与直线2x－y＋1＝0平行，可得1－2a＝2，解得a＝－ eq \f(1,2).
故选A.
答案：A
6．解析：f′(x)＝cs x－x sin x.
因为f(x)＝x cs x是奇函数，所以f′(x)是偶函数，故A正确，B错误；
f′(0)＝cs 0－0sin 0＝1，故C正确；
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＋f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝ eq \f(π,2)cs eq \f(π,2)＋cs eq \f(π,2)－ eq \f(π,2)sin eq \f(π,2)＝0＋0－ eq \f(π,2)＝－ eq \f(π,2)，故D错误．
故选AC.
答案：AC
7．解析：∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝xex－ex，∴f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝xex，
∴f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝e，即切线斜率为e，又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝0，
则切线方程为y＝e eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1)).
答案：y＝e eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))
8．解析：由题意得f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝3ax2＋ eq \f(1,\r(x))，所以f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝3a＋1＝4，
解得a＝1.
答案：1
9．解析：(1)因为y＝x ln x，所以y′＝x· eq \f(1,x)＋1·ln x＝1＋ln x；
(2)k＝f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))＝1＋ln e＝2，当x＝e时，y＝e，所以切点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，e))
所以切线方程为y－e＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－e))，即2x－y－e＝0.
10．解析：因为f′(x)＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cs x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cs x＋(cx＋d)(cs x)′
＝a sin x＋(ax＋b)cs x＋c cs x－(cx＋d)sin x
＝(a－d－cx)sin x＋(ax＋b＋c)cs x.
又因为f′(x)＝x cs x，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－d＝0,c＝0,a＝1,b＋c＝0))，
解方程组，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1,b＝0,c＝0,d＝1))，
因此f(x)的解析式为f(x)＝x sin x＋cs x．
11．解析：由题知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2－ eq \f(4,x)，
令2x－2－ eq \f(4,x)>0，整理得x2－x－2>0，解得x>2或x<－1，
结合函数的定义域知，f′(x)>0的解集为(2，＋∞).
故选C.
答案：C
12．解析：对于A，f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝cs x＋sin x，f″ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝－sin x＋cs x＝－ eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，
当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，－ eq \f(π,4)0，
故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝sin x－cs x不是凸函数；
对于B，f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \f(1,x)－2，f″ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝－ eq \f(1,x2)<0，故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ln x－2x是凸函数；
对于C，f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝－3x2＋2，对任意的x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f″ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝－6x<0，故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝－x3＋2x－1是凸函数；
对于D，f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))ex，对任意的x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f″ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))ex>0，故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝xex不是凸函数．
故选AD.
答案：AD
13．解析：由关系式f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2xf′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))＋ln x，两边求导得f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))＋ eq \f(1,x)，令x＝e得f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))＝2f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))＋ eq \f(1,e)，所以f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))＝－e－1.
答案：－e－1
14．解析：∵f(x)＝－ eq \f(1,2)x2＋2xf′(2 021)＋2 021ln x，
∴f′(x)＝－x＋2f′(2 021)＋ eq \f(2 021,x)，
∴f′(2 021)＝－2 021＋2f′(2 021)＋1，
∴f′(2 021)＝2 020.
答案：2 020
15．解析：(1)依题意知，函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x2－ln x的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))，且f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x－ eq \f(1,x)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝12－ln 1＝1，f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝2－1＝1，
因此，曲线y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))))处的切线方程为y－1＝x－1，即y＝x；
(2)依题意知，函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x2－ln x的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))，且f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x－ eq \f(1,x)，
令f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>0且x>0，解得x> eq \f(\r(2),2)，故不等式f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>0的解集为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，＋∞)).
16．解析：(1)由f0(x)＝exsin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))得f1(x)＝f0′(x)＝ eq \f(\r(2),2)ex eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs x)).
同理，f2(x)＝ eq \f(\r(2),2)ex eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs x－2sin x))，
f3(x)＝ eq \f(\r(2),2)ex eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4sin x)).
(2)由(1)得，当n＝4k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k∈N))时，f4k(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4))k× eq \f(\r(2),2)ex eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋cs x))，
当n＝4k＋1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k∈N))时，
f4k＋1(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4))k× eq \f(\r(2),2)ex eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs x))；
当n＝4k＋2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k∈N))时，f4k＋2(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4))k× eq \f(\r(2),2)ex eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs x－2sin x))，
当n＝4k＋3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k∈N))时，f4k＋3(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4))kex eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4sin x)).
所以，f4k(x)＋f4k＋1(x)＋f4k＋2(x)＋f4k＋3(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4))k× eq \f(\r(2),2)ex(5cs x－5sin x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4))k×5ex cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
所以，S4n＝f0(x)＋f1(x)＋…＋f4n－1(x)
＝5× eq \i\su(k＝0,n－1,) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4))kex cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4))n))ex cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).