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北师大版八年级上册数学期中试卷2（含答案）
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这是一份北师大版八年级上册数学期中试卷2（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北师大八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA＝12米，OB＝7米，则A，B间的距离不可能是（ ）
A．5米 B．7.5米 C．10米 D．18.9米
3．五星红旗是中华人民共和国国旗，旗上的五颗五角星及其相互关系象征着中国共产党领导下的各族人民大团结．五角星是由五个全等的等腰三角形组成，里面形成了一个正五边形，该正五边形的一个内角为（ ）
A．144° B．108° C．112° D．100°
4．如图，用三角尺可按下面的方法画角平分线：在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，通过证明△OMP≌△ONP可以说明OP是∠AOB的角平分线，那么△OMP≌△ONP的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
5．如图，已知AB＝AC，BC＝4cm，△CBD周长为12cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△ACB的周长为（ ）
A．20cm B．16cm C．17cm D．18cm
6．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有 ．
8．从九边形的一个顶点出发可以作 条对角线．
9．如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件： ，使得△ABC≌△DEC．
10．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，如果S△ABD＝12，那么S△CDE＝ ．
11．若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为 ．
12．如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，设运动时间为t，则当t＝ s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数．
（2）已知：如图，AB＝AC，点D、E分别在AB，AC上，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．
14．如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF．
15．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边．
16．（1）如图1，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线l对称．连接AC、BD．设它们相交于点P．请作出点P关于直线l对称的对称点Q．
（2）如图2，已知五边形ABCDE和A′B′C′D′E′关于直线m对称，请用无刻度的直尺画出直线m．
17．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：BD＝CE．
（2）若BD＝AD，∠B＝2∠DAE，求∠BAC的度数．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）.
18．规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称，再向下平移2个单位记为1次“R变换”．
（1）画出△ABC经过1次“R变换”后的图形△A1B1C1；
（2）点A1坐标为 ，点B1坐标为 ，点C1坐标为 ；
（3）若△ABC边上有一点P（2，3），经过2次“R变换”后的坐标为P2，则P2的坐标为 ．
19．数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内壁厚度，经过搜索资料，发现了一个可以使用的工具—卡钳，它能够解决无法直接测量的问题，可以测量内径长度．于是小组成员决定使用卡钳完成本次任务．卡钳示意图如下，AD＝BC，O是线段AD和BC的中点．
利用卡钳测量内径的步骤为：
①将卡钳A，B两端伸人在被测物内；
②打开卡钳，使得A，B两端卡在内壁；
③测量出点C与点D间的距离，即为内径的长度．
（1）请写出第③步的理由；
（2）小组成员利用上述方法测得CD＝12cm，同时测得外径为16cm，请求出花瓶内壁厚度x．
20．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝12，BC＝8．
（1）求△CBD与△ABD的面积之比；
（2）若△ABC的面积为50，求DE的长．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．课本再现
（1）在十一章《三角形》中，我们学习了三角形的内角和外角，知道了三角形的内角和为180°．如图1，因为∠B+∠A+∠BCA＝180°，又因为∠ACD+∠BCA＝180°，所以∠B+∠A＝∠ACD，这是我们探究的三角形内角和定理的推论，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，同学们，你还有别的方法证明该推论吗？利用图1写出证明过程．
知识应用
（2）如图2，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
22．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，求∠BCE的度数；
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
六、（本大题共12分）
23．【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【逐步探究】
（1）第一种情况：当∠B是直角时，如图1，根据 定理，可得△ABC≌△DEF．
（2）第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF仍成立．请你完成证明．
已知：如图2，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
（3）第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
【深入思考】
在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，若∠B ∠A时，则△ABC≌△DEF．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA＝12米，OB＝7米，则A，B间的距离不可能是（ ）
A．5米 B．7.5米 C．10米 D．18.9米
【分析】根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得12﹣7＜AB＜12+7，计算出AB的取值范围可得答案．
解：连接AB，
根据三角形的三边关系可得12﹣7＜AB＜12+7，
即5＜AB＜19，
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3．五星红旗是中华人民共和国国旗，旗上的五颗五角星及其相互关系象征着中国共产党领导下的各族人民大团结．五角星是由五个全等的等腰三角形组成，里面形成了一个正五边形，该正五边形的一个内角为（ ）
A．144° B．108° C．112° D．100°
【分析】根据五边形内角和公式算出五边形内角和度数，再根据正五边形内角相等，即可求解．
解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∵正五边形每个内角都相等，
∴正五边形的一个内角的度数为540°÷5＝108°．
故选：B．
【点评】本题考查了正五边形内角度数的求法，熟练掌握多边形内角和公式和正五边形的性质是解本题的关键．
4．如图，用三角尺可按下面的方法画角平分线：在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，通过证明△OMP≌△ONP可以说明OP是∠AOB的角平分线，那么△OMP≌△ONP的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【分析】由条件可知OM＝ON，OP为公共边，再结合两三角形为直角三角形，则可求得答案．
解：
∵两三角尺为直角三角形，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∵OM＝ON，OP＝OP，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握直角三角形的特殊判定方法HL是解题的关键．
5．如图，已知AB＝AC，BC＝4cm，△CBD周长为12cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△ACB的周长为（ ）
A．20cm B．16cm C．17cm D．18cm
【分析】利用垂直平分线的性质解题即可．
解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴△CBD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝12cm，
∵BC＝4cm，
∴AC＝12﹣4＝8（cm），
∵AB＝AC，
∴△ACB的周长为：8+8+4＝20（cm），
故选：A．
【点评】本题主要考查垂直平分线的性质的运用，能够熟练运用垂直平分线的性质得到AC的长是解题关键．
6．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据全等三角形的对应边相等判断即可．
解：如图，
△ABP4≌△ABC，
△ABP3≌△ABP1，
△ABP4≌△ABP1，
则符合条件的点P有3个，
故选：C．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有 稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，
故答案为：稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
8．从九边形的一个顶点出发可以作 6 条对角线．
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可得答案．
解：9﹣6＝3（条），
即从九边形的一个顶点出发可以作6条对角线．
故答案为：6．
【点评】本题考查了多边形的对角线，熟记n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是解答此题的关键．
9．如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件： AB＝DE ，使得△ABC≌△DEC．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEC，已知AC＝DC，BC＝EC，具备了两组边对应相等，利用SSS即可判定两三角形全等了．
解：添加条件是：AB＝DE，
在△ABC与△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC．
故答案为：AB＝DE．本题答案不唯一．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
10．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，如果S△ABD＝12，那么S△CDE＝ 6 ．
【分析】根据△ACD与△ABD等底同高，即可得到：△ACD的面积＝△ABD的面积，而△CDE与△ACD的高相等，
则△CDE的面积＝△ACD的面积据此即可求解．
解：△ACD的面积＝△ABD的面积＝12，
△CDE的面积＝△ACD的面积＝×12＝6．
故答案是：6．
【点评】本题考查了三角形的三角形的面积的公式，关键是理解：△ACD的面积＝△ABD的面积，△CDE的面积＝△ACD的面积．
11．若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为 80°或50° ．
【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
解：当该角为顶角时，顶角为50°；
当该角为底角时，顶角为80°．
故其顶角为50°或80°．
故填50°或80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
12．如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，设运动时间为t，则当t＝ 1或或12 s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
【分析】由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知CE＝CD，而CE，CD的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分当E在BC上，D在AC上时或当E在AC上，D在AC上时，或当E到达A，D在BC上时，分别讨论．
解：当E在BC上，D在AC上时，即，
CE＝（8﹣3t）cm，CD＝（6﹣t）cm，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
∴CD＝CE，
∴8﹣3t＝6﹣t，
∴t＝1s，
当E在AC上，D在AC上时，即，
CE＝（3t﹣8）cm，CD＝（6﹣t）cm，
∴3t﹣8＝6﹣t，
∴t＝s，
当E到达A，D在BC上时，即6≤t≤14，
CE＝6cm，CD＝（t﹣6）cm，
∴6＝t﹣6，
∴t＝12s，
故答案为：1或或12．
【点评】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类，分别表示出每种情况下CD和CE的长．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数．
（2）已知：如图，AB＝AC，点D、E分别在AB，AC上，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．
【分析】（1）外角和为360°，利用内角和公式解题即可．
（2）证明△ABE≌△ACD即可．
【解答】（1）解：设这个多边形有n条边．由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×2，
解得n＝6
答：这个多边形是六边形；
（2）证明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠C．
【点评】本题主要考查多边形内角和公式与外角和，三角形全等的判定及性质，能够熟练运用性质与公式是解题关键．
14．如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF．
【分析】证明Rt△ABF≌Rt△DCE，根据全等三角形的性质得到∠AFB＝∠DEC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边．
【分析】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；
（2）题中没有指明5cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，则
2x+2x+x＝20
解得，x＝4
∴2x＝8
∴各边长为：8cm，8cm，4cm．
（2）①当5cm为底时，腰长＝7.5cm；
②当5cm为腰时，底边＝10cm，因为5+5＝10，故不能构成三角形，故舍去；
故能构成有一边长为5cm的等腰三角形，另两边长为7.5cm，7.5cm．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．
16．（1）如图1，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线l对称．连接AC、BD．设它们相交于点P．请作出点P关于直线l对称的对称点Q．
（2）如图2，已知五边形ABCDE和A′B′C′D′E′关于直线m对称，请用无刻度的直尺画出直线m．
【分析】（1）根据轴对称的性质，连接HF、GE，交点即为点Q；
（2）根据轴对称的性质，连接C'D和CD'，DE'和D'E，两交点所在直线即为对称轴直线m．
解：（1）如图1所示，点Q即为所求；
（2）如图2所示，直线m即为所求．
【点评】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．
17．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：BD＝CE．
（2）若BD＝AD，∠B＝2∠DAE，求∠BAC的度数．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠AED＝∠ADE，由“AAS”可证△ABE≌△ACD，可得BE＝CD，进而得到BD＝CE；
（2）设∠DAE＝x°，由三角形的外角性质可得∠ADE＝∠B+∠BAD＝4x°＝∠AED，由三角形内角和定理可求x的值，即可求解．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠AED＝∠ADE，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴BE＝CD，
∴BD＝CE；
（2）设∠DAE＝x°，
∴∠B＝2∠DAE＝2x°，
∵BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD＝2x°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝4x°＝∠AED，
∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，
∴x°+4x°+4x°＝180°，
∴x＝20，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）.
18．规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称，再向下平移2个单位记为1次“R变换”．
（1）画出△ABC经过1次“R变换”后的图形△A1B1C1；
（2）点A1坐标为 （﹣4，3） ，点B1坐标为 （﹣1，0） ，点C1坐标为 （﹣6，2） ；
（3）若△ABC边上有一点P（2，3），经过2次“R变换”后的坐标为P2，则P2的坐标为 （2，﹣1） ．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）由（1）中的图形即可得出各个点的坐标；
（3）根据关于y轴对称的点的坐标特征和平移的特征进行解答即可．
解：（1）画出△ABC经过1次“R变换”后的图形△A1B1C1；
（2）由点A1坐标为（﹣4，3），点B1坐标为（﹣1，0），点C1坐标为（﹣6，0），
故答案为：（﹣4，3），（﹣1，0），（﹣6，2）；
（3）若△ABC边上有一点P（2，3），
点P关于y轴对称点坐标：（﹣2，3），
向下平移两个单位长度：（﹣2，1），
∴经过1次“R变换”后P1（﹣2，1）．
点P1关于y轴对称点坐标：（2，1），
向下平移两个单位长度：（2，﹣1），
∴经过2次“R变换”后的坐标为P2（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标的变化，解题的关键是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征以及平面直角坐标系中点的平移变化．
19．数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内壁厚度，经过搜索资料，发现了一个可以使用的工具—卡钳，它能够解决无法直接测量的问题，可以测量内径长度．于是小组成员决定使用卡钳完成本次任务．卡钳示意图如下，AD＝BC，O是线段AD和BC的中点．
利用卡钳测量内径的步骤为：
①将卡钳A，B两端伸人在被测物内；
②打开卡钳，使得A，B两端卡在内壁；
③测量出点C与点D间的距离，即为内径的长度．
（1）请写出第③步的理由；
（2）小组成员利用上述方法测得CD＝12cm，同时测得外径为16cm，请求出花瓶内壁厚度x．
【分析】（1）因为是用两钢条AB，CD的中点O中点连在一起做成一个测量工件，可求出两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到AB＝CD＝12cm；
（2）花瓶内壁厚度x＝（16﹣CD）．
解：（1）如图，连接CD，
∵两根钢条AB，CD的中点O连在一起，
∴OA＝OD，OB＝OC，
在△AOC与△BOD中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS）．
∴AB＝CD；
（2）由（1）知，AB＝CD＝12cm．
故花瓶内壁厚度x＝（16﹣CD）＝×（16﹣12）＝2（cm）．
即花瓶内壁厚度x是2cm．
【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等是解题的关键．
20．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝12，BC＝8．
（1）求△CBD与△ABD的面积之比；
（2）若△ABC的面积为50，求DE的长．
【分析】（1）过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出DE＝DF，再根据三角形的面积公式求出S△CBD：S△ABD＝BC：AB，再代入求出答案即可；
（2）根据（1）的结论求出△ABD的面积为30，再根据三角形的面积公式求出DE即可．
解：（1）过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
∵AB＝12，BC＝8，
∴S△CBD：S△ABD
＝（）：（）
＝BC：AB
＝8：12
＝2：3，
∴△CBD与△ABD的面积之比2：3；
（2）∵△ABC的面积为50，△CBD与△ABD的面积之比2：3，
∴△ABD的面积为30，
又∵AB＝12，
∴＝30，
∴DE＝5．
【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积公式，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．课本再现
（1）在十一章《三角形》中，我们学习了三角形的内角和外角，知道了三角形的内角和为180°．如图1，因为∠B+∠A+∠BCA＝180°，又因为∠ACD+∠BCA＝180°，所以∠B+∠A＝∠ACD，这是我们探究的三角形内角和定理的推论，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，同学们，你还有别的方法证明该推论吗？利用图1写出证明过程．
知识应用
（2）如图2，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
【分析】（1）作CE∥AB，利用平行线的性质得到∠A＝∠ACE，∠B＝∠DCE，即可证明结论；
（2）利用三角形的外角性质得到∠ECD＝∠E+∠B，∠BAC＝∠E+∠ACE，据此即可证明结论．
【解答】（1）证明：过点C作CE∥AB，
∴∠A＝∠ACE，∠B＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠A+∠B．
（2）证明：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ECD＝∠ACE，
∵∠ECD＝∠E+∠B，∠BAC＝∠E+∠ACE，
∴∠BAC＝∠E+∠ECD＝∠E+∠E+∠B＝∠B+2∠E．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，第（2）问利用第（1）问的结论证明是解题的关键．
22．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，求∠BCE的度数；
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【分析】（1）根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
（2）在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和即可．
解：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE＝∠B+∠ACB，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BCE＝90°；
（2）α+β＝180°，
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB＝β，
∵α+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°．
【点评】本题考查三角形全等的判定以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．
六、（本大题共12分）
23．【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【逐步探究】
（1）第一种情况：当∠B是直角时，如图1，根据 HL 定理，可得△ABC≌△DEF．
（2）第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF仍成立．请你完成证明．
已知：如图2，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
（3）第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
【深入思考】
在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，若∠B ≥∠A或∠B+∠C＝90° ∠A时，则△ABC≌△DEF．
【分析】（1）直接利用HL定理得出Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）首先得出△CBG≌△FEH（AAS），则CG＝FH，进而得出Rt△ACG≌Rt△DFH，再求出△ABC≌△DEF；
（3）利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案；
深入探究：
利用（3）中方法可得出当∠B≥∠A时，则△ABC≌△DEF．
【解答】（1）解：如图①，
∵∠B＝∠E＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：HL；
（2）证明：如图②，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠ABC＝∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，
∴180°﹣∠ABC＝180°﹣∠DEF，
即∠CBG＝∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG＝FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：如图③中，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，
△DEF和△ABC不全等；
深入思考：
解：由图③可知，∠A＝∠CDA＝∠B+∠BCD，
∴∠A＞∠B，
∴当∠B≥∠A时，△ABC就唯一确定了，
则△ABC≌△DEF．
当∠B+∠C＝90°，∠E+∠F＝90°时，
即∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：∠B≥∠A或∠B+∠C＝90°．
【点评】本题考查三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质，应用与设计作图是解题的关键．
北师大八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA＝12米，OB＝7米，则A，B间的距离不可能是（ ）
A．5米 B．7.5米 C．10米 D．18.9米
3．五星红旗是中华人民共和国国旗，旗上的五颗五角星及其相互关系象征着中国共产党领导下的各族人民大团结．五角星是由五个全等的等腰三角形组成，里面形成了一个正五边形，该正五边形的一个内角为（ ）
A．144° B．108° C．112° D．100°
4．如图，用三角尺可按下面的方法画角平分线：在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，通过证明△OMP≌△ONP可以说明OP是∠AOB的角平分线，那么△OMP≌△ONP的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
5．如图，已知AB＝AC，BC＝4cm，△CBD周长为12cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△ACB的周长为（ ）
A．20cm B．16cm C．17cm D．18cm
6．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有 ．
8．从九边形的一个顶点出发可以作 条对角线．
9．如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件： ，使得△ABC≌△DEC．
10．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，如果S△ABD＝12，那么S△CDE＝ ．
11．若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为 ．
12．如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，设运动时间为t，则当t＝ s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数．
（2）已知：如图，AB＝AC，点D、E分别在AB，AC上，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．
14．如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF．
15．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边．
16．（1）如图1，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线l对称．连接AC、BD．设它们相交于点P．请作出点P关于直线l对称的对称点Q．
（2）如图2，已知五边形ABCDE和A′B′C′D′E′关于直线m对称，请用无刻度的直尺画出直线m．
17．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：BD＝CE．
（2）若BD＝AD，∠B＝2∠DAE，求∠BAC的度数．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）.
18．规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称，再向下平移2个单位记为1次“R变换”．
（1）画出△ABC经过1次“R变换”后的图形△A1B1C1；
（2）点A1坐标为 ，点B1坐标为 ，点C1坐标为 ；
（3）若△ABC边上有一点P（2，3），经过2次“R变换”后的坐标为P2，则P2的坐标为 ．
19．数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内壁厚度，经过搜索资料，发现了一个可以使用的工具—卡钳，它能够解决无法直接测量的问题，可以测量内径长度．于是小组成员决定使用卡钳完成本次任务．卡钳示意图如下，AD＝BC，O是线段AD和BC的中点．
利用卡钳测量内径的步骤为：
①将卡钳A，B两端伸人在被测物内；
②打开卡钳，使得A，B两端卡在内壁；
③测量出点C与点D间的距离，即为内径的长度．
（1）请写出第③步的理由；
（2）小组成员利用上述方法测得CD＝12cm，同时测得外径为16cm，请求出花瓶内壁厚度x．
20．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝12，BC＝8．
（1）求△CBD与△ABD的面积之比；
（2）若△ABC的面积为50，求DE的长．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．课本再现
（1）在十一章《三角形》中，我们学习了三角形的内角和外角，知道了三角形的内角和为180°．如图1，因为∠B+∠A+∠BCA＝180°，又因为∠ACD+∠BCA＝180°，所以∠B+∠A＝∠ACD，这是我们探究的三角形内角和定理的推论，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，同学们，你还有别的方法证明该推论吗？利用图1写出证明过程．
知识应用
（2）如图2，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
22．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，求∠BCE的度数；
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
六、（本大题共12分）
23．【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【逐步探究】
（1）第一种情况：当∠B是直角时，如图1，根据 定理，可得△ABC≌△DEF．
（2）第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF仍成立．请你完成证明．
已知：如图2，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
（3）第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
【深入思考】
在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，若∠B ∠A时，则△ABC≌△DEF．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA＝12米，OB＝7米，则A，B间的距离不可能是（ ）
A．5米 B．7.5米 C．10米 D．18.9米
【分析】根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得12﹣7＜AB＜12+7，计算出AB的取值范围可得答案．
解：连接AB，
根据三角形的三边关系可得12﹣7＜AB＜12+7，
即5＜AB＜19，
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3．五星红旗是中华人民共和国国旗，旗上的五颗五角星及其相互关系象征着中国共产党领导下的各族人民大团结．五角星是由五个全等的等腰三角形组成，里面形成了一个正五边形，该正五边形的一个内角为（ ）
A．144° B．108° C．112° D．100°
【分析】根据五边形内角和公式算出五边形内角和度数，再根据正五边形内角相等，即可求解．
解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∵正五边形每个内角都相等，
∴正五边形的一个内角的度数为540°÷5＝108°．
故选：B．
【点评】本题考查了正五边形内角度数的求法，熟练掌握多边形内角和公式和正五边形的性质是解本题的关键．
4．如图，用三角尺可按下面的方法画角平分线：在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，通过证明△OMP≌△ONP可以说明OP是∠AOB的角平分线，那么△OMP≌△ONP的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【分析】由条件可知OM＝ON，OP为公共边，再结合两三角形为直角三角形，则可求得答案．
解：
∵两三角尺为直角三角形，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∵OM＝ON，OP＝OP，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握直角三角形的特殊判定方法HL是解题的关键．
5．如图，已知AB＝AC，BC＝4cm，△CBD周长为12cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△ACB的周长为（ ）
A．20cm B．16cm C．17cm D．18cm
【分析】利用垂直平分线的性质解题即可．
解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴△CBD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝12cm，
∵BC＝4cm，
∴AC＝12﹣4＝8（cm），
∵AB＝AC，
∴△ACB的周长为：8+8+4＝20（cm），
故选：A．
【点评】本题主要考查垂直平分线的性质的运用，能够熟练运用垂直平分线的性质得到AC的长是解题关键．
6．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据全等三角形的对应边相等判断即可．
解：如图，
△ABP4≌△ABC，
△ABP3≌△ABP1，
△ABP4≌△ABP1，
则符合条件的点P有3个，
故选：C．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有 稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，
故答案为：稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
8．从九边形的一个顶点出发可以作 6 条对角线．
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可得答案．
解：9﹣6＝3（条），
即从九边形的一个顶点出发可以作6条对角线．
故答案为：6．
【点评】本题考查了多边形的对角线，熟记n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是解答此题的关键．
9．如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件： AB＝DE ，使得△ABC≌△DEC．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEC，已知AC＝DC，BC＝EC，具备了两组边对应相等，利用SSS即可判定两三角形全等了．
解：添加条件是：AB＝DE，
在△ABC与△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC．
故答案为：AB＝DE．本题答案不唯一．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
10．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，如果S△ABD＝12，那么S△CDE＝ 6 ．
【分析】根据△ACD与△ABD等底同高，即可得到：△ACD的面积＝△ABD的面积，而△CDE与△ACD的高相等，
则△CDE的面积＝△ACD的面积据此即可求解．
解：△ACD的面积＝△ABD的面积＝12，
△CDE的面积＝△ACD的面积＝×12＝6．
故答案是：6．
【点评】本题考查了三角形的三角形的面积的公式，关键是理解：△ACD的面积＝△ABD的面积，△CDE的面积＝△ACD的面积．
11．若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为 80°或50° ．
【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
解：当该角为顶角时，顶角为50°；
当该角为底角时，顶角为80°．
故其顶角为50°或80°．
故填50°或80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
12．如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，设运动时间为t，则当t＝ 1或或12 s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
【分析】由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知CE＝CD，而CE，CD的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分当E在BC上，D在AC上时或当E在AC上，D在AC上时，或当E到达A，D在BC上时，分别讨论．
解：当E在BC上，D在AC上时，即，
CE＝（8﹣3t）cm，CD＝（6﹣t）cm，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
∴CD＝CE，
∴8﹣3t＝6﹣t，
∴t＝1s，
当E在AC上，D在AC上时，即，
CE＝（3t﹣8）cm，CD＝（6﹣t）cm，
∴3t﹣8＝6﹣t，
∴t＝s，
当E到达A，D在BC上时，即6≤t≤14，
CE＝6cm，CD＝（t﹣6）cm，
∴6＝t﹣6，
∴t＝12s，
故答案为：1或或12．
【点评】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类，分别表示出每种情况下CD和CE的长．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，求这个多边形的边数．
（2）已知：如图，AB＝AC，点D、E分别在AB，AC上，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．
【分析】（1）外角和为360°，利用内角和公式解题即可．
（2）证明△ABE≌△ACD即可．
【解答】（1）解：设这个多边形有n条边．由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×2，
解得n＝6
答：这个多边形是六边形；
（2）证明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠C．
【点评】本题主要考查多边形内角和公式与外角和，三角形全等的判定及性质，能够熟练运用性质与公式是解题关键．
14．如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF．
【分析】证明Rt△ABF≌Rt△DCE，根据全等三角形的性质得到∠AFB＝∠DEC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边．
【分析】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；
（2）题中没有指明5cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，则
2x+2x+x＝20
解得，x＝4
∴2x＝8
∴各边长为：8cm，8cm，4cm．
（2）①当5cm为底时，腰长＝7.5cm；
②当5cm为腰时，底边＝10cm，因为5+5＝10，故不能构成三角形，故舍去；
故能构成有一边长为5cm的等腰三角形，另两边长为7.5cm，7.5cm．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．
16．（1）如图1，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线l对称．连接AC、BD．设它们相交于点P．请作出点P关于直线l对称的对称点Q．
（2）如图2，已知五边形ABCDE和A′B′C′D′E′关于直线m对称，请用无刻度的直尺画出直线m．
【分析】（1）根据轴对称的性质，连接HF、GE，交点即为点Q；
（2）根据轴对称的性质，连接C'D和CD'，DE'和D'E，两交点所在直线即为对称轴直线m．
解：（1）如图1所示，点Q即为所求；
（2）如图2所示，直线m即为所求．
【点评】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．
17．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：BD＝CE．
（2）若BD＝AD，∠B＝2∠DAE，求∠BAC的度数．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠AED＝∠ADE，由“AAS”可证△ABE≌△ACD，可得BE＝CD，进而得到BD＝CE；
（2）设∠DAE＝x°，由三角形的外角性质可得∠ADE＝∠B+∠BAD＝4x°＝∠AED，由三角形内角和定理可求x的值，即可求解．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠AED＝∠ADE，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴BE＝CD，
∴BD＝CE；
（2）设∠DAE＝x°，
∴∠B＝2∠DAE＝2x°，
∵BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD＝2x°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝4x°＝∠AED，
∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，
∴x°+4x°+4x°＝180°，
∴x＝20，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）.
18．规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称，再向下平移2个单位记为1次“R变换”．
（1）画出△ABC经过1次“R变换”后的图形△A1B1C1；
（2）点A1坐标为 （﹣4，3） ，点B1坐标为 （﹣1，0） ，点C1坐标为 （﹣6，2） ；
（3）若△ABC边上有一点P（2，3），经过2次“R变换”后的坐标为P2，则P2的坐标为 （2，﹣1） ．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）由（1）中的图形即可得出各个点的坐标；
（3）根据关于y轴对称的点的坐标特征和平移的特征进行解答即可．
解：（1）画出△ABC经过1次“R变换”后的图形△A1B1C1；
（2）由点A1坐标为（﹣4，3），点B1坐标为（﹣1，0），点C1坐标为（﹣6，0），
故答案为：（﹣4，3），（﹣1，0），（﹣6，2）；
（3）若△ABC边上有一点P（2，3），
点P关于y轴对称点坐标：（﹣2，3），
向下平移两个单位长度：（﹣2，1），
∴经过1次“R变换”后P1（﹣2，1）．
点P1关于y轴对称点坐标：（2，1），
向下平移两个单位长度：（2，﹣1），
∴经过2次“R变换”后的坐标为P2（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中坐标的变化，解题的关键是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征以及平面直角坐标系中点的平移变化．
19．数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内壁厚度，经过搜索资料，发现了一个可以使用的工具—卡钳，它能够解决无法直接测量的问题，可以测量内径长度．于是小组成员决定使用卡钳完成本次任务．卡钳示意图如下，AD＝BC，O是线段AD和BC的中点．
利用卡钳测量内径的步骤为：
①将卡钳A，B两端伸人在被测物内；
②打开卡钳，使得A，B两端卡在内壁；
③测量出点C与点D间的距离，即为内径的长度．
（1）请写出第③步的理由；
（2）小组成员利用上述方法测得CD＝12cm，同时测得外径为16cm，请求出花瓶内壁厚度x．
【分析】（1）因为是用两钢条AB，CD的中点O中点连在一起做成一个测量工件，可求出两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到AB＝CD＝12cm；
（2）花瓶内壁厚度x＝（16﹣CD）．
解：（1）如图，连接CD，
∵两根钢条AB，CD的中点O连在一起，
∴OA＝OD，OB＝OC，
在△AOC与△BOD中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS）．
∴AB＝CD；
（2）由（1）知，AB＝CD＝12cm．
故花瓶内壁厚度x＝（16﹣CD）＝×（16﹣12）＝2（cm）．
即花瓶内壁厚度x是2cm．
【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等是解题的关键．
20．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝12，BC＝8．
（1）求△CBD与△ABD的面积之比；
（2）若△ABC的面积为50，求DE的长．
【分析】（1）过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出DE＝DF，再根据三角形的面积公式求出S△CBD：S△ABD＝BC：AB，再代入求出答案即可；
（2）根据（1）的结论求出△ABD的面积为30，再根据三角形的面积公式求出DE即可．
解：（1）过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
∵AB＝12，BC＝8，
∴S△CBD：S△ABD
＝（）：（）
＝BC：AB
＝8：12
＝2：3，
∴△CBD与△ABD的面积之比2：3；
（2）∵△ABC的面积为50，△CBD与△ABD的面积之比2：3，
∴△ABD的面积为30，
又∵AB＝12，
∴＝30，
∴DE＝5．
【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积公式，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．课本再现
（1）在十一章《三角形》中，我们学习了三角形的内角和外角，知道了三角形的内角和为180°．如图1，因为∠B+∠A+∠BCA＝180°，又因为∠ACD+∠BCA＝180°，所以∠B+∠A＝∠ACD，这是我们探究的三角形内角和定理的推论，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，同学们，你还有别的方法证明该推论吗？利用图1写出证明过程．
知识应用
（2）如图2，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
【分析】（1）作CE∥AB，利用平行线的性质得到∠A＝∠ACE，∠B＝∠DCE，即可证明结论；
（2）利用三角形的外角性质得到∠ECD＝∠E+∠B，∠BAC＝∠E+∠ACE，据此即可证明结论．
【解答】（1）证明：过点C作CE∥AB，
∴∠A＝∠ACE，∠B＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠A+∠B．
（2）证明：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ECD＝∠ACE，
∵∠ECD＝∠E+∠B，∠BAC＝∠E+∠ACE，
∴∠BAC＝∠E+∠ECD＝∠E+∠E+∠B＝∠B+2∠E．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，第（2）问利用第（1）问的结论证明是解题的关键．
22．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，求∠BCE的度数；
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【分析】（1）根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
（2）在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和即可．
解：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE＝∠B+∠ACB，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BCE＝90°；
（2）α+β＝180°，
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB＝β，
∵α+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°．
【点评】本题考查三角形全等的判定以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．
六、（本大题共12分）
23．【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【逐步探究】
（1）第一种情况：当∠B是直角时，如图1，根据 HL 定理，可得△ABC≌△DEF．
（2）第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF仍成立．请你完成证明．
已知：如图2，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
（3）第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
【深入思考】
在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，若∠B ≥∠A或∠B+∠C＝90° ∠A时，则△ABC≌△DEF．
【分析】（1）直接利用HL定理得出Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）首先得出△CBG≌△FEH（AAS），则CG＝FH，进而得出Rt△ACG≌Rt△DFH，再求出△ABC≌△DEF；
（3）利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案；
深入探究：
利用（3）中方法可得出当∠B≥∠A时，则△ABC≌△DEF．
【解答】（1）解：如图①，
∵∠B＝∠E＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：HL；
（2）证明：如图②，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠ABC＝∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，
∴180°﹣∠ABC＝180°﹣∠DEF，
即∠CBG＝∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG＝FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：如图③中，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，
△DEF和△ABC不全等；
深入思考：
解：由图③可知，∠A＝∠CDA＝∠B+∠BCD，
∴∠A＞∠B，
∴当∠B≥∠A时，△ABC就唯一确定了，
则△ABC≌△DEF．
当∠B+∠C＝90°，∠E+∠F＝90°时，
即∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案为：∠B≥∠A或∠B+∠C＝90°．
【点评】本题考查三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质，应用与设计作图是解题的关键．
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