高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角第1课时导学案及答案

第1课时　二项式定理

(教师独具内容)

课程标准：能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．

教学重点：二项式定理的内容及归纳过程．

教学难点：二项展开式的规律的理解和掌握.

知识点　　　　二项式定理及其相关概念

(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n是正整数，k是满足0≤k≤n的正整数)称为二项式定理，等式右边的式子称为(a＋b)n的展开式，它共有n＋1项，其中Can－kbk是展开式中的第k＋1项(通常用Tk＋1表示)，C称为第k＋1项的二项式系数，我们将Tk＋1＝Can－kbk称为二项展开式的通项公式．

结构特点：(1)各项的次数都等于二项式的幂指数n；(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

1．注意区分项的二项式系数与系数的概念

二项展开式的第k＋1项的二项式系数是C，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第k＋1项的系数则是二项式系数C与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是C，而第二项的系数则是C24.

注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数．

2．要牢记Can－kbk是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)(a＋b)n的展开式中共有n项．(　　)

(2)(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中第k＋1项相同．(　　)

(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)16的展开式中的第4项是________．

(2)展开4为________．

(3)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．

答案　(1)－560x10　(2)1＋＋＋＋　(3)10

题型一  二项式定理的正用与逆用

例1　(1)若f(x)＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋4，则f(2020)－f(－2020)的值为________；

(2)写出4的展开式．

[解析]　(1)根据f(x)的解析式，逆用二项式定理，得f(x)＝[(x－1)＋1]4＋3＝x4＋3.显然f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以f(2020)－f(－2020)＝0.

(2)解法一：4＝C()4－C·()3·＋C()2·2－C·3＋C4

＝x2－2x＋－＋.

解法二：4＝4＝(2x－1)4

＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)

＝x2－2x＋－＋.

[答案]　(1)0　(2)见解析

点睛

二项式定理的双向功能

(1)正用：将二项式(a＋b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．

(2)逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．

　(1)用二项式定理展开4；

(2)化简1＋2C＋4C＋…＋2nC.

解　(1)解法一：4＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.

解法二：4＝4＝(1＋3x)4

＝[1＋C(3x)＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]

＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)

＝＋＋54＋108x＋81x2.

(2)1＋2C＋4C＋…＋2nC＝C＋21C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n.

题型二  利用二项式定理求某些特定项

例2　已知n的展开式中第6项为常数项．

(1)求n；

(2)求含x2的项的系数及二项式系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

[解]　(1)由题意，得Tr＋1＝C()n－rr

＝(－1)rrCx(r＝0,1,2，…，n)．

∴T6＝T5＋1＝(－1)5·5Cx.

又第6项为常数项，∴＝0，∴n＝10.

(2)由(1)知Tr＋1＝(－1)rrCx，

令＝2，得r＝2.

∴含x2的项的系数为(－1)2·2·C＝.

含x2的项的二项式系数为C＝45.

(3)若Tr＋1为有理项，则为整数，其中0≤r≤10，r∈Z.

∴10－2r＝0或10－2r＝6或10－2r＝－6，

解得r＝5或r＝2或r＝8.

∴有理项为T3＝C2x2＝x2，

T6＝C5＝－，

T9＝C8x－2＝x－2.

点睛

求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．

(1)第m项：此时k＋1＝m，求出k，代入通项；

(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；

(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．

特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．

　(1)若9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________；

(2)8的展开式中的常数项是________．

答案　(1)1　(2)7

解析　(1)展开式的通项为Tr＋1＝Cx9－r－r＝C(－a)r·x9－2r(0≤r≤9，r∈N)．当9－2r＝3时，解得r＝3，代入，得x3的系数，即C(－a)3＝－84，解得a＝1.

(2)展开式的通项为

Tr＋1＝C8－rr

＝(－1)r8－rCx8－r－r

＝(－1)r8－rCx8－r(0≤r≤8，r∈N)．

令8－r＝0，得r＝6，则T7＝(－1)68－6C＝7.

1．若(2x－3)n＋3的展开式中共有15项，则自然数n的值为(　　)

A．11  B．12  C．13  D．14

答案　A

解析　因为(2x－3)n＋3的展开式中共n＋4项，所以n＋4＝15，即n＝11.故选A.

2．二项式5的展开式中的常数项为(　　)

A．80  B．－80  C．40  D．－40

答案　B

解析　二项式5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x3)5－r·r＝(－1)r2rCx15－5r，令15－5r＝0，得r＝3，所以常数项为T4＝(－1)3×23×C＝－80.故选B.

3．(1＋)7的展开式中有理项的项数是(　　)

A．4  B．5  C．6  D．7

答案　A

解析　通项Tr＋1＝C()r＝C2，当r＝0,2,4,6时，Tr＋1均为有理项，故有理项的项数为4.

4．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b等于________．

答案　70

解析　∵(1＋)5＝1＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝41＋29，∴a＝41，b＝29，a＋b＝41＋29＝70.

5．求(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数．

解　∵(x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10，本题求x10的系数，只要求(x＋2)10的展开式中x8及x10的系数．

由Tr＋1＝Cx10－r·2r，取r＝2得x8的系数为C×22＝180，又x10的系数为C＝1，因此所求系数为180－1＝179.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC＝(　　)

A．1  B．－1  C．(－1)n  D．3n

答案　C

解析　逆用公式，将1看作公式中的a，－2看作公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.

2．若二项式(x＋2)n的展开式的第4项是，第3项的二项式系数是15，则x的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　由二项式(x＋2)n的展开式的第4项为23Cxn－3，第3项的二项式系数是C，可知C＝15,23Cxn－3＝，可得n＝6，x＝，故选B.

3.8的展开式中的常数项为(　　)

A.  B.  C.  D．105

答案　B

解析　Tr＋1＝C()8－rr＝Cx4－r，令4－r＝0，得r＝4，∴T5＝·C＝，故选B.

4．若对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　)

A．3  B．6  C．9  D．21

答案　B

解析　∵x3＝(x－2＋2)3＝C(x－2)3＋C(x－2)2·2＋C(x－2)·22＋C·23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6.

5．(多选)已知n的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列说法正确的是(　　)

A．n＝10

B．展开式中的常数项为45

C．含x5的项的系数为210

D．展开式中的有理项有5项

答案　ABC

解析　对于A，∵Tr＋1＝(－1)rCx2n－r，又第3项与第5项的系数之比为＝，故n＝10，故A正确；对于B，令20－r＝0，得r＝8，∴常数项为第9项，是(－1)8C＝45，故B正确；对于C，令20－r＝5，则r＝6，故含x5的项的系数为(－1)6C＝210，故C正确；对于D，若20－r为整数，则r可取0,2,4,6,8,10，共6项，故D错误．故选ABC.

二、填空题

6．已知9的展开式中x3的系数为，则常数a的值为________．

答案　4

解析　通项Tr＋1＝Ca9－r(－1)r2－xr－9，令r－9＝3，得r＝8.依题意，得C(－1)8×2－4a9－8＝，解得a＝4.

7．设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.

答案　3

解析　由题意，知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．

故a0＝1，a1＝3，a2＝4.

n的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr(r＝0，1,2，…，n)．

故＝3，＝4，解得a＝3.

8．(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是________．

答案　2

解析　(x＋1)4(x－1)的展开式中含x3的项由以下两部分相加得到：①(x＋1)4中的二次项乘以(x－1)中的一次项x，即Cx2·x＝6x3；②(x＋1)4中的三次项乘以(x－1)中的常数项－1，即Cx3×(－1)＝－4x3.所以(x＋1)4(x－1)的展开式中x3的系数是6＋(－4)＝2.

三、解答题

9．化简下列各式：

(1)C＋C6＋C62＋…＋C6n－1；

(2)(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

解　(1)原式＝(C＋C6＋C62＋C63＋…＋C6n－1)＝[(1＋6)n－1]＝(7n－1)．

(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.

10．求(1＋x)2(1－x)5的展开式中x3的系数．

解　∵(1＋x)2的展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，(1－x)5的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kCxk，

其中r∈{0,1,2}，k∈{0,1,2,3,4,5}．

令k＋r＝3，则有或或

∴x3的系数为－CC＋CC－CC＝5.

B级：“四能”提升训练

1．二项式15的展开式中：

(1)求常数项；

(2)有几个有理项？

(3)有几个整式项？

解　展开式的通项为

Tr＋1＝(－1)rC()15－rr＝(－1)r2rCx(r＝0,1,2，…，15)，

(1)设Tr＋1项为常数项，则＝0，得r＝6，

即常数项为T7＝26C＝320320.

(2)设Tr＋1项为有理项，则＝5－r为整数，

∴r为6的倍数，

又0≤r≤15，

∴r可取0,6,12三个数．即共有3个有理项．

(3)由5－r为非负整数，得r＝0或6，

∴有2个整式项．

2．已知－n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是10∶1.

(1)求展开式中各项系数的和；

(2)求展开式中含x的项．

解　(1)∵－n的展开式的通项为Tr＋1＝C()n－r·－r＝(－2)rCx，∴T5＝T4＋1＝24Cx－10，T3＝T2＋1＝22Cx－5.由题意，得＝，∴n2－5n－24＝0，∴n＝8或n＝－3(舍去)．令x＝1，得－8的展开式中各项系数和为1.

(2)展开式的通项为Tr＋1＝(－2)rCx，令＝，得r＝1.

∴含x的项为T2＝T1＋1＝(－2)1Cx＝－16x.