高中人教B版 (2019)4.1.1 条件概率学案设计

这是一份高中人教B版 (2019)4.1.1 条件概率学案设计，共14页。

4.1.3　独立性与条件概率的关系
(教师独具内容)
课程标准：结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系．
教学重点：会判断条件概率与独立性的关系．
教学难点：用条件概率与独立性的关系求解简单的实际问题.




知识点一　　　相互独立的概念
(1)相互独立的定义
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)相互独立事件
事件A(或B)发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件称为相互独立事件．
知识点二　　　独立性的充要条件
当P(B)＞0时，事件A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)．

1．若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．
2．若A，B为相互独立事件，则P(AB)＝P(A)P(B)，该性质可推广为：若A1，A2，A3，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于各个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
3．P(AB)＝P(A)P(B)使用的前提是A，B为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于这两个事件发生的概率的积．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．(　　)
(2)必然事件与任何一个事件相互独立．(　　)
(3)当P(A)＞0时，如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．
(2)一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则该产品的正品率为________．
(3)已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________，P(|)＝________.
答案　(1)0.56　(2)(1－a)(1－b)　(3)　

　 　 　 　　　　　 　 　　　　 　 　　

　　
题型一 事件独立性的判断
例1　判断下列各对事件是不是相互独立事件：
(1)已知P(A|B)＝0.6，P()＝0.4，判断事件A与B是否独立；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
[解]　(1)P(A)＝1－P()＝0.6＝P(A|B)．
所以事件A与B互为独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
∴P(AB)＝P(A)P(B)，
∴事件A与B相互独立．

点睛
(1)利用相互独立事件与条件概率的关系可以准确地判断两个事件是否相互独立，这是用定量方法计算，较准确，必须熟练掌握．
(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．

　某班主任对全班30名男生进行了作业量多少及是否喜欢玩电脑游戏的调查，数据如下表：


认为作业多
认为作业不多
喜欢玩电脑游戏
12
8
不喜欢玩电脑游戏
2
8

从这30名男生中随机抽取一名，
(1)求该男生喜欢玩电脑游戏的概率；
(2)判断“喜欢玩电脑游戏”与“认为作业多”是否独立．
解　(1)设事件A为“喜欢玩电脑游戏”，则P(A)＝＝.
(2)设事件B为“认为作业多”，则A|B表示在认为作业多的条件下，喜欢玩电脑游戏，则P(A|B)＝＝.由P(A|B)≠P(A)，得“喜欢玩电脑游戏”与“认为作业多”不独立.
　　
题型二 相互独立事件概率的计算
例2　甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与.
(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
(2)甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率．
[解]　(1)记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，P()＝，P()＝.
∴恰好命中一次的概率为P＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×
＝＝.
(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为P1，则
P1＝P(∩∩∩)
＝P()P()P()P()
＝2×2
＝.
∴甲、乙两人在罚球线各投球两次，至少一次命中的概率为P＝1－P1＝.

点睛
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件之间是相互独立的；
②确定这些事件可以同时发生；
③求出每个事件的概率，再求积．
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．

　小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
解　用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()
＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
　　
题型三 相互独立事件的综合应用
例3　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；
(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；
(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．
[解]　(1)记事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”．
依题意知，事件A和事件B相互独立，
因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)记事件Ai表示“甲第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C，则C＝A1A2A34∪1A2A3A4，且A1A2A34与1A2A3A4是互斥事件．
由于A1，A2，A3，A4之间相互独立，
所以Ai与j(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．
由于P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，
故P(C)＝P(A1A2A34∪1A2A3A4)
＝P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＋
P(1)P(A2)P(A3)P(A4)
＝3×＋×3＝.
(3)记事件Bi表示“乙第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记事件D表示“乙在第4次射击后终止射击”，
则D＝B1B234∪1B234，
且B1B234与1B234是互斥事件．
由于B1，B2，B3，B4之间相互独立，
所以Bi与j(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．
由于P(Bi)＝(i＝1,2,3,4)，
故P(D)＝P(B1B234∪1B234)
＝P(B1B234)＋P(1B234)
＝P(B1)P(B2)P(3)P(4)＋P(1)P(B2)P(3)·P(4)
＝2×2＋×3＝.

点睛
常见事件与概率间的关系
已知两个相互独立事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)．将A，B中至少有一个发生记为事件A∪B，都发生记为事件AB，都不发生记为事件，恰有一个发生记为事件A∪B，至多有一个发生记为事件∪B∪A，为方便同学们记忆，我们用表格的形式将其展示出来．

概率
A与B相互独立
P(A∪B)
1－P()P()
P(AB)
P(A)P(B)
P()
P()P()
P(A∪B)
P(A)P()＋P()P(B)
P(∪A∪B)
1－P(A)P(B)

　甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率．
解　(1)记A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题意得

由①③得P(B)＝1－P(C)，
代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0，
解得P(C)＝或P(C)＝(舍去)．
将P(C)＝代入②得P(B)＝，
将P(B)＝代入①得P(A)＝.
故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，.
(2)记D为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品的事件，
则P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－××＝.
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的概率为.



1．下列事件A，B是相互独立事件的是(　　)
A．已知P(A|B)＝0.8，P()＝0.2
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A为“第一次摸到白球”，B为“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A为“出现点数为奇数”，B为“出现点数为偶数”
D．A为“一个灯泡能用1000小时”，B为“一个灯泡能用2000小时”
答案　A
解析　由P()＝0.2，可得P(A)＝0.8，所以有P(A|B)＝P(A)，A，B为相互独立事件，A正确；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．故选A.
2．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率(　　)
A．事件A，B同时发生
B．事件A，B至少有一个发生
C．事件A，B至多有一个发生
D．事件A，B都不发生
答案　C
解析　P(A)P(B)是指A，B同时发生的概率，1－P(A)P(B)是A，B不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．
3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　用间接法考虑，事件A，B一个都不发生的概率为P()＝P()P()＝×＝.则事件A，B中至少有一件发生的概率为1－P()＝.故C正确．
4．已知事件A与B独立，P(B|A)＝0.4，P(A)＝0.5，则P(A)＝________.
答案　0.3
解析　由事件A与B独立，得A与独立，则P(B|A)＝P(B)＝0.4，得P(A)＝P(A)P()＝0.5×(1－0.4)＝0.3.
5．甲、乙两人独立地破译出密码的概率分别为，.求：
(1)两个人都译出密码的概率；
(2)两个人都译不出密码的概率；
(3)恰有一人译出密码的概率；
(4)至多一人译出密码的概率；
(5)至少一人译出密码的概率．
解　记事件A为“甲独立地译出密码”，事件B为“乙独立地译出密码”．
(1)两个人都译出密码的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)两个人都译不出密码的概率为
P()＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]
＝1－×1－＝.
(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出，乙译出甲译不出，即A∪B，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×1－＋1－×＝.
(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，
∴其概率为1－P(AB)＝1－＝.
(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码，
∴其概率为1－P()＝1－＝.


A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知事件A与B独立，且P(AB)＝，P(B)＝，则P(|B)＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵事件A与B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)，且事件与B也独立，∴P(A)＝，P(|B)＝P()＝，故选B.
2．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为(　　)
A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42
答案　D
解析　P＝(1－0.3)×(1－0.4)＝0.42.故选D.
3．甲射手击中靶心的概率为，乙射手击中靶心的概率为，甲、乙两人各射一次，那么等于(　　)
A．甲、乙都击中靶心的概率
B．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率
C．甲、乙至少有一人击中靶心的概率
D．甲、乙不全击中靶心的概率
答案　D
解析　设“甲、乙两人都击中靶心”为事件A，则P(A)＝×＝，甲、乙不全击中靶心的概率为P()＝1－P(A)＝.
4. 在荷花池中，有一只青蛙在呈“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A片上，则跳三次之后停在A片上的概率是(　　)

A. B. C. D.
答案　A
解析　由题意知逆时针方向跳的概率为，顺时针方向跳的概率为，青蛙跳三次要回到A只有两条途径：第一条，按A→B→C→A，P1＝××＝；第二条，按A→C→B→A，P2＝××＝，所以跳三次之后停在A上的概率为P1＋P2＝＋＝.
5．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.
二、填空题
6．某人有8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门．一次该人醉酒回家，每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是________．
答案　
解析　由已知每次打开家门的概率为，则该人第三次打开家门的概率为1－×1－×＝.
7．如图，元件Ai(i＝1,2,3,4)通过电流的概率是0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是________．

答案　0.8829
解析　电流能通过A1，A2的概率为0.9×0.9＝0.81，电流能通过A3的概率为0.9，
故电流不能通过A1，A2且也不能通过A3的概率为(1－0.81)×(1－0.9)＝0.019.
故电流能通过系统A1，A2，A3的概率为1－0.019＝0.981.而电流能通过A4的概率为0.9，故电流能在M，N之间通过的概率是0.981×0.9＝0.8829.
8．已知事件A与B相互独立，且P()＝，P(A)＝P(B)，则P(A|B)＝________，P(B)＝________.
答案　　
解析　∵事件A与B相互独立，∴事件与，A与，与B也相互独立，且P()＝1－P(A)，P()＝1－P(B)．∵P(A)＝P(B)，∴P(A)P()＝P()P(B)，即P(A)[1－P(B)]＝[1－P(A)]P(B)，∴P(A)＝P(B)．∵P()＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]，∴P()＝[1－P(A)]2.∵P()＝，∴[1－P(A)]2＝，∴P(A|B)＝P(A)＝，P(B)＝.
三、解答题
9．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
解　(1)有两个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}包含4个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率均为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}包含8个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率均为.这时A包含6个基本事件，B包含4个基本事件，AB包含3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然P(AB)＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与B是相互独立的．
10．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．
解　记“第i局甲获胜”为事件Ai(i＝3,4,5)，“第j局乙获胜”为事件Bj(j＝3,4,5)．
(1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则
A＝A3A4∪B3B4，由于各局比赛结果相互独立，故
P(A)＝P(A3A4∪B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)
＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
所以再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.
(2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5，
由于各局比赛结果相互独立，故
P(B)＝P(A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5)
＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)·P(A5)
＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.
所以甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.

B级：“四能”提升训练
1．(多选)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的晋级情况进行了统计，如下表：


晋级成功
晋级失败
男
16
24
女
18
42

从这100人中随机抽取1人，则下列说法正确的为(　　)
A．抽取的这1人晋级成功的概率为
B．抽取的这1人为女生的概率为
C．抽取的这1人晋级失败且为男生的概率为
D．“是否晋级成功”与“性别”独立
答案　ABC
解析　设事件A为“抽取的这1人晋级成功”，事件B为“抽取的这1人为女生”，则P(A)＝＝，A正确；P(B)＝＝，B正确；抽取的这1人晋级失败且为男生的概率为＝，C正确；在晋级成功的条件下，该人为女生的概率P(B|A)＝＝，由P(B|A)≠P(B)，得“是否晋级成功”与“性别”不独立，D错误．故选ABC.
2．某车间共有八位工人，为了保障安全生产，每月1号要从中选取四名工人参加同样的技能测试，每个工人通过每次测试的概率都是.甲从事的岗位比较特殊，每次他都必须参加技能测试，另外乙和丙从事同一岗位的工作，所以他们不能同时离开岗位参加技能测试．
(1)每次测试时，共有多少种选取方式？
(2)工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格，求甲工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格的概率．
解　(1)乙、丙均不选，有C＝10种；乙、丙中选一个，有CC＝20种．所以共有30种选法．
(2)设事件A为“甲工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格”，
记A1为“甲第一、二次通过，第三、四次未通过测试”，则
P(A1)＝×××＝，
记A2为“甲第一次未通过，第二次通过，第三、四次未通过测试”，则P(A2)＝×××＝，
因为A1，A2互斥，
所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
所以甲工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格的概率为.