人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.4 随机变量的数字特征第2课时导学案

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第2课时　离散型随机变量的方差
(教师独具内容)
课程标准：通过实例，理解离散型随机变量的方差．
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差．
教学难点：比较两个随机变量均值与方差的大小，从而解决实际问题.




知识点一　　　方差、标准差的定义
(1)如果离散型随机变量X的分布列如下表所示．

X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn

因为X的均值为E(X)，所以D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝xi－E(X)]2pi能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差．
(2)离散型随机变量X的方差D(X)也可用DX表示．一般地，称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小)．
知识点二　　　两点分布与二项分布的方差

X
X服从参数为p的两点分布
X～B(n，p)
D(X)
p(1－p)
np(1－p)

知识点三　　　方差的性质
若X与Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则由X与Y之间分布列和均值之间的关系可知D(Y)＝a2D(X)．

1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散．
2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；
(2)求X取每一个值的概率；
(3)写出随机变量X的分布列；
(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)．
特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X)．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　　)
(2)若a是常数，则D(a)＝0.(　　)
(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为________．
(2)设随机变量ξ～B，则D(ξ)＝________.
(3)如果X是离散型随机变量，Y＝3X＋2，那么D(Y)＝________D(X)．
答案　(1)0.5和0.25　(2)　(3)9


　　
题型一 方差与标准差的计算
例1　已知随机变量X的分布列为

X
0
10
20
50
60
P






(1)求X的方差及标准差；
(2)设Y＝2X－E(X)，求D(Y)．
[解]　(1)E(X)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
D(X)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384.
∴＝8.
(2)∵Y＝2X－E(X)，
∴D(Y)＝D(2X－E(X))＝4D(X)＝4×384＝1536.

点睛
求方差和标准差的关键是求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义求数学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aX＋b的方差可用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．

　已知随机变量ξ的分布列如下表：

ξ
－1
0
1
P




(1)求ξ的均值、方差和标准差；
(2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η)．
解　(1)均值E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－；
方差D(ξ)＝－1＋2×＋0＋2×＋1＋2×＝；标准差＝.
(2)E(η)＝2E(ξ)＋3＝；D(η)＝4D(ξ)＝.
　　
题型二 两点分布与二项分布的方差
例2　(1)篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他一次罚球得分的方差；
(2)将一枚硬币连续抛掷5次，求正面向上的次数的方差；
(3)老师要从10名同学中随机抽3名同学参加社会实践活动，其中男同学有6名，求抽到男同学人数的方差．
[解]　(1)设一次罚球得分为X，X服从两点分布，即

X
0
1
P
0.3
0.7

∴D(X)＝p(1－p)＝0.7×0.3＝0.21.
(2)设正面向上的次数为Y，则Y～B，
∴D(Y)＝np(1－p)＝5××＝.
(3)设抽到男同学的人数为ξ.
ξ服从超几何分布，分布列为

ξ
0
1
2
3
P





即

ξ
0
1
2
3
P





∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
D(ξ)＝0－2×＋1－2×＋2－2×＋3－2×＝.

点睛
解决此类问题的第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)．
　(1)若随机变量X的分布列如下表所示：

X
0
1
P
0.4
0.6

则E(X)＝________，D(X)＝________；
(2)若随机变量X～B(3，p)，D(X)＝，则p＝________.
答案　(1)0.6　0.24　(2)或
解析　(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D(X)＝0.6×(1－0.6)＝0.6×0.4＝0.24.
(2)∵X～B(3，p)，∴D(X)＝3p(1－p)，
由3p(1－p)＝，得p＝或p＝.
　　
题型三 方差的实际应用
例3　有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：

甲



分数X甲
80
90
100
概率
0.2
0.6
0.2

乙



分数X乙
80
90
100
概率
0.4
0.2
0.4

试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些．
[解]　在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为
E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，
E(X乙) ＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90.
方差分别为
D(X甲)＝ (80 －90)2×0.2＋(90 －90)2×0.6＋(100－90)2×0.2 ＝40，
D(X乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100 －90)2×0.4＝80.
由上面数据，可知E(X甲)＝E(X乙)，
D(X甲) 这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好．

点睛
离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．

　甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为

ξ
1
2
3
P
a
0.1
0.6


η
1
2
3
P
0.3
b
0.3

(1)求a，b的值；
(2)计算ξ，η的期望与方差，并依此分析甲、乙的技术状况．
解　(1)由离散型随机变量分布列的性质得a＋0.1＋0.6＝1，解得a＝0.3；
同理0.3＋b＋0.3＝1，解得b＝0.4.
(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3；
E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2；
D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81；
D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.
由于E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．



1．已知随机变量X的分布列为

X
0
1
2
P




设Y＝2X＋3，则D(Y)＝(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，∴D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝，∴D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝.
2．一批产品中，次品率为，现有放回地连续抽取4次，若抽取的次品件数记为X，则D(X)的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意，次品件数X服从二项分布，即X～B，故D(X)＝np(1－p)＝4××＝.
3．已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，则二项分布的参数n，p的值为(　　)
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1
答案　B
解析　由E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2，D(3ξ＋2)＝9D(ξ)及ξ～B(n，p)时，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)可知所以故选B.
4．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用 X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________．
答案　
解析　X的分布列为

X
1
3
5
P




则E(X)＝1×＋3×＋5×＝，D(X)＝.
5．一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；
(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．
解　(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且
ξ～B，∴E(ξ)＝6×＝2，
D(ξ)＝6××＝.
(2)由已知η＝30ξ，∴E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1200.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知X的分布列为

X
－1
0
1
P




则①E(X)＝，②D(X)＝，③P(X＝0)＝.
其中正确的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝0，故①不正确；D(X)＝(－1－0)2×＋(0－0)2×＋(1－0)2×＝，故②不正确；③P(X＝0)＝显然正确．
2．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取1球，有放回地摸取5次，设摸得白球的个数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意知X～B，所以E(X)＝5×＝3，解得m＝2，所以X～B，故D(X)＝5××＝.
3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck·n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为(　　)
A．8 B．12 C. D．16
答案　A
解析　由题意可知ξ～B，∴n＝E(ξ)＝24.∴n＝36.又D(ξ)＝n××＝×36＝8.
4．掷一枚质地均匀的骰子12次，则出现向上的一面是3的次数的均值和方差分别是(　　)
A．2和5 B．2和 C．4和 D.和1
答案　B
解析　由题意知出现向上的一面为3的次数符合二项分布，掷12次骰子相当于做12次独立重复试验，且每次试验出现向上的一面为3的概率是，∴E(ξ)＝12×＝2，D(ξ)＝12××＝.故选B.
5．(多选)随机变量ξ的分布列为

ξ
0
1
2
P
a



其中ab≠0，下列说法正确的是(　　)
A．a＋b＝1 B．E(ξ)＝
C．D(ξ)随b的增大而减小 D．D(ξ)有最大值
答案　ABD
解析　a＋＋＝1，即a＋b＝1，a，b∈(0,1)，A正确；E(ξ)＝0×a＋1×＋2×＝，B正确；D(ξ)＝a×0－2＋×1－2＋×2－2＝－＝－b－2＋，b∈(0,1)，可得b＝时，D(ξ)取得最大值．D(ξ)随b的增大先增大后减小，C错误，D正确．故选ABD.
二、填空题
6．设X～B(n，p)，且E(X)＝15，D(X)＝，则n，p的值分别为________和________．
答案　60　
解析　由题意，可知
解得
7．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数ξ的方差D(ξ)＝________.
答案　
解析　ξ的所有可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.
8．设p为非负实数，随机变量X的分布列为

X
0
1
2
P
－p
p


则E(X)的最大值为________，D(X)的最大值为________．
答案　　1
解析　E(X)＝0×＋1×p＋2×＝p＋1.又0≤－p≤，∴0≤p≤.∴E(X)max＝.D(X)＝(p＋1)2＋p2·p＋(p－1)2·＝－p2－p＋1＝－2＋≤1，∴当p＝0时，D(X)max＝1.
三、解答题
9．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，A，B两台机床生产的产品中出现的次品数分别为ξ1，ξ2.ξ1，ξ2的分布列如下所示：

ξ1
0
1
2
3
P
0.7
0.2
0.06
0.04


ξ2
0
1
2
3
P
0.8
0.06
0.04
0.10

问：哪一台机床加工质量较好？
解　E(ξ1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44，
E(ξ2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44，
它们的均值相同，再比较它们的方差．
D(ξ1)＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.6064，
D(ξ2)＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.10＝0.9264.
因为D(ξ1) 所以A机床加工较稳定，质量较好．
10．如图，左边为四大名著，右边为名著作者，一位小学语文教师为了激发学生阅读名著的热情，在班内进行名著和其作者的连线游戏，作为奖励，参加连线的同学每连对一个奖励一朵小红花．假定一名小学生对四大名著没有了解，只是随机地连线，试求该学生得到小红花数X的分布列及其均值、方差．
《三国演义》罗贯中
《水浒传》 施耐庵
《西游记》 吴承恩
《红楼梦》 曹雪芹
解　该小学生连线的情况有都连错，连对一个，连对二个，连对四个，故其得小红花数可能为0个，1个，2个，4个．
P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，P(X＝4)＝＝.
故X的分布列为

X
0
1
2
4
P





所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1，
D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＋×(4－1)2＝1.
B级：“四能”提升训练
1．(多选)设离散型随机变量X的分布列为

X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2

若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　)
A．q＝0.1
B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8
D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
答案　ACD
解析　由离散型随机变量X的分布列的性质得，q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2 )2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，∴E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2.故选ACD.
2．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．这两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：

ξ1
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2

乙保护区：

ξ2
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4

试评定这两个保护区的管理水平．
解　甲保护区的违规次数ξ1的均值和方差为
E(ξ1)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；
D(ξ1)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数ξ2的均值和方差为
E(ξ2)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；
D(ξ2)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，所以两个保护区内每季度发生的违规事件平均次数是相同的，但乙保护区内发生的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区内发生的违规事件次数相对分散和波动．因此乙保护区的管理水平较高．