人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算学案，共16页。
1．1　空间向量及其运算
1.1.1　空间向量及其运算
(教师独具内容)
课程标准：1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.经历由平面向量的运算及法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的加减、数乘运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及运算的意义.3.掌握空间向量数量积的概念及其性质，了解投影与数量积运算规则的关系，并能用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
学法指导：在平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念运算，体会平面向量和空间向量的共性和差异，学习中要结合空间图形，培养空间想象能力，并通过数量积的运算，培养数学应用意识．
教学重点：空间向量的加减、数乘及数量积运算在空间几何体中的应用．
教学难点：空间几何体中向量的运算；空间向量数量积性质的应用.




如图，一个蜘蛛在一个正方体形状的建筑物边缘爬行，在半个小时内，蜘蛛沿路线AD－DC－CC′从点A爬行到C′，若该正方体形状建筑物的边长为6，求在这半个小时内蜘蛛爬行过的位移．


知识点一 空间向量的概念

知识点二 空间向量的加法运算
(1)运算法则
①三角形法则：给定两个平面向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则A是向量a与b的和(为向量a与b的和向量)，向量a与b的和向量记作a＋b，因此＋＝.当平面向量a与b不共线时，a，b，a＋b正好能构成一个三角形，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．因为空间中的任意两个向量都共面，因此向量加法的三角形法则在空间中也成立．
②平行四边形法则：任意给定两个不共线的向量a，b，在空间中任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，则＝＋.
(2)运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a.
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
(3)有限个空间向量的和：为了得到有限个空间向量的和，只需将这些空间向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和向量．例如A＋B＋C＝A.
两个结论：①有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变；②三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．
知识点三 空间向量的线性运算
(1)空间向量的减法运算
①给定一个空间向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量．
②三角形法则：在空间中任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，则向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即－＝.当向量a与b不共线时，向量a，b，a－b正好能构成一个三角形．
③转化为加法运算：a－b＝a＋(－b).
(2)空间向量的数乘运算
①数乘向量的定义：给定一个实数λ与任意一个空间向量a，规定它们的乘积是一个空间向量，记作λa，上述实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量．
当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：
ⅰ.当λ>0时，与a的方向相同；
ⅱ.当λ