高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.3 直线与平面的夹角导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.3 直线与平面的夹角导学案，共19页。

1.2.3　直线与平面的夹角
(教师独具内容)
课程标准：1.理解斜线和平面所成角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面所成的角.3.会利用公式cosθ＝cosθ1cosθ2解决一些问题．
学法指导：斜线与平面所成角转化为斜线与其在平面内射影所成的锐角来求解，关键是利用已知垂直关系得出线面垂直，确定斜线的射影．
教学重点：求线面角的常用方法．
教学难点：能利用几何关系确定斜线的射影以及公式cosθ＝cosθ1cosθ2中各角的含义．




日晷是我国古代利用日影测量时刻的一种计时仪器，通常由铜制的指针与石制的圆盘组成，铜制的指针称为“晷针”，垂直地穿过圆盘中心，石制的圆盘称为“晷面”，把日晷放在水平面，当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面，太阳由东向西移动，投向晷面的晷针的影子也慢慢地由西向东移动，以此计时．试问当晷面所在平面与桌面成50°角时，晷针所在直线的方向向量与桌面所在平面的法向量所成的角是多少呢？

知识点一 直线与平面的夹角
(1)定义

引进了平面的斜线与平面所成的角之后，空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所成的角也称为它们的夹角．
(2)直线与平面所成角θ的范围：θ∈.
知识点二 最小角定理
(1)线线角、线面角的关系式

关系式：如图，AB⊥α，则图中θ，θ1，θ2之间的关系是cosθ＝cosθ1cosθ2.
(2)最小角定理
平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.
知识点三 直线与平面所成的角与直线的方向向量和平面的法向量夹角的关系
如图，如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则
θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－.
特别地，cosθ＝sin〈v，n〉或sinθ＝|cos〈v，n〉|.


1．对直线与平面所成角的理解
直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的射影所成的角，其范围是，斜线与平面所成的角是它与平面内的一切直线所成角中最小的角．直线与平面所成的角可以通过直线的方向向量与平面的法向量求得，若设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|.
2．直线与平面所成角的求法
(1)几何法：找出斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成的角就是线面角，可通过解由斜线段、垂线段和射影线段构成的直角三角形获解．
(2)向量法：设直线l的方向向量为a，平面α的一个法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为φ，则有cosθ＝sinφ或sinθ＝|cosφ|＝.
3．对公式cosθ＝cosθ1cosθ2的理解
由0≤cosθ2≤1，∴cosθ≤cosθ1，从而θ1≤θ.
在公式中，令θ2＝90°，则cosθ＝cosθ1cos90°＝0.
∴θ＝90°.此即三垂线定理，反之若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．(　　)
(2)线面角和异面直线所成角的范围都是.(　　)
(3)如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面的夹角为90°.(　　)
(4)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，那么这条直线与平面的夹角为0°.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)正四面体A－BCD中，棱AB与底面BCD所成角的余弦值为________.
(2)在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________.
(3)已知圆锥的底面半径为1 cm，侧面积为2π cm2，则母线与底面所成的角是________.
答案　(1)　(2)30°　(3)



题型一 用定义法求线面角
例1　在正四面体A－BCD中，E为棱AD的中点，连接CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值．
[解]　如图所示，过A，E分别作AO⊥平面BCD，

EG⊥平面BCD，O，G为垂足．
∵E为AD的中点，∴AO綊2GE，AO，GE确定平面AOD，连接GC，则∠ECG为EC和平面BCD所成的角．
连接OB，OC，OD，
∵AB＝AC＝AD，
∴OB＝OC＝OD.
∵△BCD是正三角形，
∴O为△BCD的中心，延长DO交BC于F，则F为BC的中点．
设正四面体的棱长为1，
可求得CE＝，DF＝，OD＝，
AO＝＝＝，
∴EG＝，
在Rt△ECG中，sin∠ECG＝＝.

在求解斜线和平面所成的角的过程中，确定点在平面上的射影的位置是一个既基本又重要的问题，确定点在平面上的射影的位置有以下几种方法：
(1)斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线的射影上；
(2)利用已知的垂直关系得出线面垂直，确定射影．

[跟踪训练1]　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)

A. B．
C. D．
答案　D
解析　如图所示，在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线，垂足为E，连接BE.

⇒C1E⊥平面BB1D1D.
∴∠C1BE就是BC1与平面BB1D1D所成的角．
∵C1E×B1D1＝C1D1×B1C1，
∴C1E＝＝，BC1＝＝.
∴sin∠C1BE＝＝＝，故选D.
题型二 用向量法求线面角
例2　正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．
[解]　解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，

取A1B1的中点M，则M，连接AM，MC1，
有＝，
＝(0，a,0)，＝(0,0，a)．
∴·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，
即MC1⊥AB，MC1⊥AA1，又AB∩AA1＝A，
∴MC1⊥平面ABB1A1.
∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角．
由于＝，＝，
∴·＝0＋＋2a2＝，
||＝＝a，
||＝＝a，
∴cos〈，〉＝＝.
∴〈，〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
解法二：由解法一得，＝(0，a,0)，＝(0,0，a)，＝.
设侧面ABB1A1的一个法向量n＝(x，y，z)，
∴n·＝0且n·＝0.
∴ay＝0且az＝0.∴y＝z＝0.
取x＝1，得n＝(1,0,0)．
∵＝，
∴cos〈，n〉＝＝－.
∴|cos〈，n〉|＝.∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.

用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角．解法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．

[跟踪训练2]　已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．

(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
解　设PA＝1，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图．

则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，
N，S.
(1)证明：＝，
＝，
因为·＝－＋＋0＝0，所以CM⊥SN.
(2)＝，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，由a·＝0，a·＝0，
得令x＝2，得a＝(2,1，－2)．
设SN与平面CMN所成的角为θ，
则sinθ＝|cosa，|.
又|cosa，|＝||＝，
所以sinθ＝，又θ∈，所以θ＝45°，
故SN与平面CMN所成角的大小为45°.
题型三 公式cosθ＝cosθ1cosθ2的应用
例3　已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形，O为菱形ABCD的中心，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AA1＝a，求证：A1O⊥平面ABCD.
[证明]　∵菱形ABCD的边长为a，且∠BAD＝60°，
∴AC为∠BAD的平分线，且AO＝a，
又∠A1AB＝∠A1AD，

∴直线A1A在平面ABCD上的射影为直线AC，记∠A1AC＝θ.
则cosθ＝＝＝.
∴A1Acosθ＝a×＝a＝AO，
∴A1O⊥平面ABCD.

(1)公式cosθ＝cosθ1cosθ2在解题时经常用到，可用来求线面角θ1，在应用公式时，一定要分清θ，θ1，θ2分别对应图形中的哪个角，否则极易出错．
(2)常用的一个结论：若∠AOB＝∠AOC，且AO为平面BOC的一条斜线，则AO在平面BOC内的射影平分∠BOC及其对顶角．

[跟踪训练3]　如图所示，∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成角的度数．

解　∵∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线．
作∠BOC的平分线OH交BC于点H，
又OB＝OC＝a，BC＝a，
∴∠BOC＝90°，故∠BOH＝45°.
由公式cosθ＝cosθ1cosθ2，得
cos∠AOH＝＝＝，
∴∠AOH＝45°，
即OA与平面α所成的角为45°.



1．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为(　　)
A. B．
C．－ D．
答案　B
解析　l与α所成角的正弦值为|cos〈a，n〉|＝＝＝＝.故选B.
2．如图，AB⊥平面α于B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC和平面α所成的角为(　　)

A．15° B．30°
C．45° D．60°
答案　C
解析　∵平面ABC⊥平面BCD，∴cos∠ACD＝cos∠ACBcos∠BCD，∴cos60°＝cos∠ACBcos45°，∴cos∠ACB＝，即AC和平面α所成的角为45°.
3．(多选)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点，则(　　)

A．CD⊥AN
B．BD⊥PC
C．PB⊥平面ANMD
D．BD与平面ANMD所成的角为30°
答案　CD
解析　由题意，易知AB，AD，AP两两垂直，以A，A，A的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设PA＝AD＝AB＝2BC＝2，则A(0，0,0)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，N(1,0,1)．对于A，∵C＝(－2,1,0)，A＝(1,0,1)，C·A＝－2≠0，∴CD与AN不垂直，A错误；对于B，∵B＝(－2,2,0)，P＝(2,1，－2)，B·P＝－2≠0，∴BD与PC不垂直，B错误；对于C，∵P＝(2,0，－2)，A＝(0,2,0)，A＝(1,0,1)，∴P·A＝0，P·A＝0，即PB⊥AD，PB⊥AN，又AD∩AN＝A，∴PB⊥平面ANMD，C正确；对于D，∵PB⊥平面ANMD，∴P＝(2,0，－2)是平面ANMD的一个法向量，∵B＝(－2,2,0)，∴cos〈P，B〉＝＝－，∴BD与平面ANMD所成的角为30°，D正确．故选CD.

4．如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________.

答案　
解析　取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设BC＝1，则A，B，C，D，所以＝，＝，＝.设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则

所以取x＝1，则y＝－，z＝1，
所以n＝(1，－，1)，所以cos〈n，〉＝，
因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.
5．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求A1B与平面BB1D1D所成的角．

解　以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
∴＝(1,1,0)，＝(0,0,1)．
设平面BB1D1D的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝1，得n＝(1，－1,0)．
又A1(1,0,1)，∴＝(0,1，－1)，
∴cos〈n，〉＝＝－，
∴〈n，〉＝120°，
即A1B与平面BB1D1D所成的角为30°.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．直线l与平面α所成角为，直线m在平面α内且与直线l异面，则直线l与m所成角的取值范围为(　　)
A. B．
C. D．
答案　A
解析　m与l异面，故其夹角最大为，最小即为线面角，故范围为，故选A.
2．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　A
解析　cos〈n，a〉＝＝＝.故正弦值为，故选A.
3．已知∠APB在平面α内，大小为60°，射线PC与PA，PB所成的角均为135°，则PC与平面α所成角的余弦值是(　　)
A．－ B．
C． D．－
答案　B
解析　设PC与平面α所成的角为θ，则cos45°＝cosθ·cos30°，所以cosθ＝.
4．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起到△A′BE的位置，使A′C＝A′D，则A′C与平面BEDC所成角的正切值是(　　)

A．2 B．
C． D．
答案　B
解析　如图，以B为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系Bxyz.取BE的中点M，CD的中点N，连接A′M，MN，A′N，CM，由题意可证得A′M⊥BE，A′M⊥CD，得A′M⊥平面BCDE，

则∠A′CM是A′C与平面BEDC所成的角．
令AB＝1，则AD＝2，M，A′，C(0，2,0)，则＝，是平面BEDC的一个法向量且＝，所以sin∠A′CM＝|cos〈，〉|＝＝＝，所以tan∠A′CM＝.
5．(多选)正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，则(　　)
A．AC1与底面ABC所成角的正弦值为
B．AC1与底面ABC所成角的正弦值为
C．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为
D．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为
答案　BC
解析　如图，取A1C1的中点E，AC的中点F，连接EF，EB1，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，则以E为坐标原点，直线EB1，EC1，EF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝2，则AA1＝2，∴A1(0，－1,0)，C1(0,1,0)，A(0，－1,2)，C(0,1，2)，B1(，0,0)，∴＝(0,2，－2)．设底面ABC的一个法向量为m＝(0，0,2)，∴AC1与底面ABC所成角的正弦值为|cos〈m，〉|＝＝＝，∴A错误，B正确；∵A1B1的中点K的坐标为，∴侧面AA1B1B的一个法向量为＝，∴AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为|cos〈，〉|＝＝＝，∴C正确，D错误．故选BC.

二、填空题
6．等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成角的大小为________.
答案　45°
解析　如图，设AC＝BC＝1，∴AB＝，作CO⊥α，连接OA，OM，则∠CAO＝30°，∴OC＝.∵CM＝AB＝，∴sin∠OMC＝＝，又∠OMC为锐角，∴∠OMC＝45°.

7．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ的正弦值为________.
答案　
解析　以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，由已知，得P(0,0,1)，A(1，0,0)，B(1,1,0)，C(0，1,0)，则重心G，因而＝(0,0,1)，＝，那么sinθ＝|cos〈，〉|＝＝.

8.如右图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱CC1上的一点，CP＝m，若直线AP与平面BDD1B1所成角的正弦值为，则m＝__________，此时异面直线AP与A1B1所成角的余弦值为________.

答案　　
解析　如图，连接AC，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0，1，m)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，易证是平面BDD1B1的一个法向量．

＝(－1,1,0)，＝(－1，1，m)，＝(0,1,0)．
∵|cos〈，〉|＝＝＝，m>0，∴m＝.
cos〈，〉＝＝＝.
三、解答题
9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点，且B1M＝2，点N在线段A1D上，且A1D⊥AN.

(1)求cos〈，〉；
(2)求直线AD与平面ANM夹角的正弦值．
解　(1)以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz.
由已知，得A1(0,0,4)，D(0,8,0)，M(5,2,4)，
所以＝(0,8，－4)，＝(5,2,4)，
所以||＝4，||＝3.
所以cos〈，〉＝＝0.
(2)由(1)知⊥，又⊥，AM∩AN＝A，
所以⊥平面AMN，
所以平面AMN的一个法向量为＝(0,8，－4)．
又＝(0,8,0)，
设直线AD与平面ANM的夹角为θ，则sinθ＝
|cos〈，〉|＝＝＝.
即直线AD与平面ANM夹角的正弦值为.
10．如右图所示，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC.

(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小．
解　∵四边形ACDE是正方形，
∴EA⊥AC，AM⊥EC.
∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，AE⊂平面ACDE，AE⊄平面ABC，
∴EA⊥平面ABC.
以点A为坐标原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，和的方向分别为y轴和z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

设EA＝AC＝BC＝2，
则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)．
∵M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M(0,1,1)．
(1)证明：∵＝(0,1,1)，＝(0,2，－2)，＝(2,0,0)，∴·＝0，·＝0.
∴AM⊥EC，AM⊥CB.
又EC∩CB＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)∵AM⊥平面EBC，
∴为平面EBC的一个法向量．
∵＝(0,1,1)，＝(2,2,0)，
∴cos〈，〉＝＝.
∴〈，〉＝60°.
∴直线AB与平面EBC所成的角为30°.
B级：“四能”提升训练
1．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，求PA与平面DEF夹角的正弦值．
解　如图，建立空间直角坐标系Axyz.

由已知，得B(1,0,0)，C(0，1,0)，P(0，0,2)，
因为D，E，F分别是AB，BC，CP的中点，
所以D，E，F，
所以＝，＝.
设平面DEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝2，得n＝(2,0,1)．
又＝(0,0,2)，
设PA与平面DEF的夹角为θ，则
sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
即PA与平面DEF夹角的正弦值为.
2．在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．

(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
解　(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，
∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.
(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图．

由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，∴AB⊥BE，
又AB⊥BD，
∴以B为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．
依题意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M，
则＝(1,1,0)，＝，＝(0,1，－1)．
设平面MBC的一个法向量为n＝(x0，y0，z0)，
则
即
取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1,1)．
设直线AD与平面MBC所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝，
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.