高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.1 直线的倾斜角与斜率学案

2．2　直线及其方程

2.2.1　直线的倾斜角与斜率

(教师独具内容)

课程标准：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.理解直线的倾斜角与斜率的变化关系.3.理解直线的方向向量和法向量的概念，掌握通过直线的方向向量和法向量确定直线的斜率与倾斜角．

学法指导：体验用代数方法刻画直线斜率，结合具体图形，探索直线的方向向量和法向量．

教学重点：直线倾斜角概念，直线的斜率公式，直线的方向向量与法向量的应用．

教学难点：直线的倾斜角与斜率的变化关系，直线的斜率公式.

我们知道，在交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路相对于水平方向的倾斜程度，那么在平面直角坐标系中，如何刻画一条直线的倾斜程度呢？直线的方向又该怎样描述呢？这节课我们就来研究这些问题．

知识点一　　　直线的倾斜角

(1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0°.

(2)范围：[0°，180°)．

知识点二　　　直线的斜率

(1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tanθ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在.

(2)公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在.

知识点三　　　直线的方向向量

(1)定义：给定平面直角坐标系中的一条直线l，在l上任意取A，B两个不同的点，显然，向量也能描述直线l相对于x轴的倾斜程度，如图所示，此时，我们称是直线l的一个方向向量．

一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l.

(2)性质：①如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线.

②如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量．

③若θ为直线l的倾斜角，则(cosθ，sinθ)一定是直线l的一个方向向量．

④如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则当u＝0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；当u≠0时，直线l的斜率是存在的，k＝，即tanθ＝.

知识点四　　　直线的法向量

一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.一条直线的方向向量与法向量互相垂直.

1．对直线倾斜角的理解

(1)由倾斜角定义可知倾斜角也是直线l向上的方向与x轴正方向所成的角．

(2)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．

(3)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．

(4)当直线的倾斜角α≠90°时，其正切值等于直线的斜率k，即k＝tanα.

2．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：

在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tanα的单调性，如图所示：

(1)当α取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大；

(2)当α取值在内，由增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0.

解决此类问题，常采用数形结合思想．

3．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论．斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．

4．三点共线问题

(1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；

(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线；

(3)利用向量和向量共线也能断定A，B，C三点共线．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任意一条直线都有倾斜角．(　　)

(2)任意一条直线都有斜率．(　　)

(3)直线倾斜角取值范围为[0°，180°]．(　　)

(4)若θ为直线l的倾斜角，则向量(sinθ，－cosθ)是直线l的一个法向量．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

2．做一做

(1)过下列两点的直线不存在斜率的是(　　)

A．(4,2)与(－4,1)  B．(0,3)与(3,0)

C．(3，－1)与(2，－1)  D．(－2,2)与(－2,5)

(2)如图1所示，直线l的倾斜角为________.

(3)过点(a，b)与y轴垂直的直线的斜率为________.

(4)如图2所示，直线l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为________.

(5)过点(0,1)和(－3,0)的直线的斜率为________.

答案　(1)D　(2)135°　(3)0　(4)k1<k3<k2　(5)

题型一　直线的倾斜角

例1　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)

A．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当α∈[0°，135°)时，倾斜角为α＋45°；当α∈[135°，180°)时，倾斜角为α－135°

[解析]　通过画图(如图所示)可知，当α∈[0°，135°)时，倾斜角为α＋45°；当α∈[135°，180°)时，倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.

[答案]　D

求直线倾斜角的注意点

(1)解答这类问题要抓住：①倾斜角的定义，注意旋转方向；②倾斜角的取值范围0°≤α<180°；③充分结合图形进行分析．

(2)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.

[跟踪训练1]　已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________.

答案　60°或120°

解析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.

②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.

题型二　直线的斜率

例2　如图，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，试计算直线l1，l2，l3的斜率．

[解]　由已知条件可得，直线l1，l2，l3的斜率都存在，设l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0.

斜率公式

(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝(x1≠x2)．

(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．

[跟踪训练2]　已知△ABC的三个顶点为A(1,1)，B(－1，－1)，C(2＋，－2－)，求三角形的三边所在直线的斜率．

解　边AB所在直线的斜率kAB＝＝1；

边AC所在直线的斜率kAC＝＝＝－；

边BC所在直线的斜率kBC＝＝＝－.

题型三　直线的方向向量和法向量的应用

例3　(1)已知直线l通过点A(2,3)，B(－1,0)，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率与倾斜角；

(2)已知v＝(sinα，1)是直线l的一个法向量，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率k与倾斜角θ的取值范围．

[解]　(1)由已知，可得＝(－1,0)－(2,3)＝(－3，－3)是直线l的一个方向向量．因此直线l的斜率k＝＝1，直线l的倾斜角θ满足tanθ＝1，从而可知θ＝45°.

(2)∵v＝(sinα，1)是直线l的一个法向量，

∴u＝(1，－sinα)是直线l的一个方向向量，

∴k＝－sinα，

又－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，∴－1≤tanθ≤1，

又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤或≤θ＜π，

即斜率k的取值范围为[－1,1]，

倾斜角θ的取值范围为∪.

(1)直线的法向量与方向向量互相垂直．

(2)若a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则k＝(u≠0)．

(3)直线斜率与倾斜角的关系可利用正切函数y＝tanx的图像分析．

[跟踪训练3]　已知直线l通过点A(－1,2)与B(m,3)．

(1)若a＝(－2,2)是直线l的一个方向向量，求m的值；

(2)当m∈时，求直线AB的倾斜角θ的取值范围．

解　(1)∵A(－1,2)，B(m,3)，∴＝(m＋1,1)，

又∥a，∴(m＋1)×2＝1×(－2)，即m＋1＝－1，解得m＝－2.

(2)∵直线l的斜率为＝，

又－≤m＋1<0，∴≤－，即tanθ≤－，

又0≤θ＜π，∴<θ≤，即倾斜角θ的取值范围为.

题型四　三点共线问题

例4　已知三点A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)在同一直线上，求a的值．

[解]　解法一：∵5≠－4，

∴三点所在直线的斜率存在，

∴kAB＝＝，kBC＝＝.

∵点A，B，C在同一直线上，∴kAB＝kBC．

∴＝，解得a＝2或a＝.

解法二：∵＝(5－a，－1)，＝(－4－a,2a－2)，

点A，B，C在同一直线上，

∴(5－a)×(2a－2)＝－1×(－4－a)，

即2a2－11a＋14＝0，解得a＝2或a＝.

斜率公式解决三点共线问题

(1)利用斜率证明三点A，B，C共线时，①若过任意两点的直线的斜率都不存在，则三点共线；②若过任意两点的直线的斜率都存在，且kAB＝kAC，则直线AB与直线AC的倾斜角相等，AB，AC又都过点A，所以直线AB，AC重合，从而说明A，B，C三点共线．

(2)由于同一条直线上任意两点确定的直线的斜率都相等，因此A，B，C三点共线⇔A，B，C中任意两点确定的直线的斜率相等(如kAB＝kAC)．

斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，同一条直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的直线的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．

(3)利用向量和向量是否共线也能判断A，B，C三点是否共线．

[跟踪训练4]　已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．

解　由题意可知，

kAB＝，kAC＝，kAD＝，

所以k＝2＝＝，

解得a＝4，b＝－3.

所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.

1．过点A(1，－3)和B(2,4)的直线的斜率为(　　)

A．1  B．－7

C．7  D．

答案　C

解析　k＝＝7.

2．已知A(a,2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则a，b的值为(　　)

A．a＝3，b＝1  B．a＝2，b＝2

C．a＝2，b＝3  D．a＝3，b∈R且b≠1

答案　D

解析　由直线AB的倾斜角是90°，可知直线AB垂直于x轴，所以A，B两点的横坐标相等，纵坐标不相等，于是a＝3，b∈R且b≠1.故选D.

3．斜率为2的直线过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a＋b＝________.

答案　1

解析　由题意，得2＝＝，∴a＝4，b＝－3，

∴a＋b＝1.

4．若直线l的一个方向向量a＝，则直线l的倾斜角θ＝________.

答案　

解析　由tanθ＝k＝＝tan，且0≤θ＜π，得θ＝.

5. 如图，已知三点A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

解　直线AB的斜率kAB＝＝；

直线BC的斜率kBC＝＝＝－；

直线CA的斜率kCA＝＝＝1.

由kAB>0及kCA>0知，直线AB与直线CA的倾斜角均为锐角；

由kBC<0知，直线BC的倾斜角为钝角．

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．已知直线l经过点A(1,2)与B(0,2)，则下列向量可作为直线l的法向量的是(　　)

A．(－1,0)  B．(0，－1)

C．(1,0)  D．(2,1)

答案　B

解析　由＝(－1,0)，结合法向量定义可知B正确．

2．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是(　　)

A．(5,8)  B．(8，＋∞)

C．  D．

答案　D

解析　由k＝>1，解得5<m<.

3．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则(　　)

A．k1<k2<k3  B．k3<k1<k2

C．k3<k2<k1  D．k1<k3<k2

答案　D

解析　k2>k3>0>k1.

4．若a＝，b＝，c＝，则(　　)

A．a<b<c  B．c<b<a

C．c<a<b  D．b<a<c

答案　B

解析　＝表示函数y＝ln x图像上的点(x，y)与点D(1,0)连线的斜率，如图所示．令a＝kDA，b＝kDB，c＝kDC，由图知kDC<kDB<kDA，即c<b<a.

5．(多选)下列各组点中，在同一直线上的是(　　)

A．(－2,3)，(－7,5)，(3，－5)

B．(3,0)，(6,4)，(－3，－8)

C．(4,5)，(3,4)，(－2，－1)

D．(1,3)，(2,5)，(－2,3)

答案　BC

解析　利用斜率公式求解．

二、填空题

6．已知点A(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝2，则B点坐标为________.

答案　(1,0)或(0，－2)

解析　设B(x,0)或B(0，y)，则kAB＝或kAB＝，由kAB＝2，解得x＝1或y＝－2.

7．已知直线l的斜率k＝－2，A(5，－3)，B(4，x)，C(－1，y)是这条直线上的三个点，则x＝________，y＝________.

答案　－1　9

解析　由k＝－2＝kAB＝kAC，得＝－2，＝－2，∴x＝－1，y＝9.

8．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于________.

答案　

解析　∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴＝.∴a＋b＝ab，∴＋＝.

三、解答题

9．四边形ABCD的四个顶点是A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，D(－2,2)，分别求四条边所在直线的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

解　kAB＝＝4，kBC＝＝，kCD＝＝－4，kDA＝＝.

∵kAB>0，kBC>0，kCD<0，kDA>0，

∴直线AB，BC，DA的倾斜角为锐角，直线CD的倾斜角为钝角．

10．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．

(1)求直线l的斜率k的取值范围；

(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．

解　(1)如图，由题意可知，直线PA的斜率，kPA＝＝－1，直线PB的斜率kPB＝＝1，∵l与线段AB相交，∴k≥kPB或k≤kPA，则k的取值范围是k≤－1或k≥1.

(2)由(1)知tanα≤－1或tanα≥1，又0°≤α<180°，∴90°<α≤135°或45°≤α<90°，又α＝90°时，直线l垂直于x轴，与线段AB有公共点，也满足要求，∴45°≤α≤135°.

B级：“四能”提升训练

1．求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．

解　当m＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为α＝90°.

当m≠1时，由斜率公式可得k＝＝.

①当m>1时，k＝>0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°<α<90°.

②当m<1时，k＝<0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°<α<180°.

2．已知直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，直线l2的斜率为，求l1，l3，l4的斜率．

解　设直线l1，l2，l3，l4的倾斜角分别为α，2α，3α，4α.

由0≤4α<π，得0≤α<.

由已知，得tan2α＝＝，

解得tanα＝(tanα＝－3舍去)，则

tan3α＝tan(α＋2α)＝＝，

tan4α＝＝，

即直线l1，l3，l4的斜率分别为，，.