高中数学第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.3 两条直线的位置关系第1课时学案及答案

这是一份高中数学第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.3 两条直线的位置关系第1课时学案及答案，共11页。

2.2.3　两条直线的位置关系
第1课时　两条直线的相交、平行与重合
(教师独具内容)
课程标准：1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜率判定两条直线平行.3.理解并掌握利用直线(方程一般式)的法向量判断两条直线位置关系的推导过程．
学法指导：通过解方程组探求两直线平行、相交、重合的条件，并用直线的法向量来加以处理，加深对两条直线位置关系的理解．
教学重点：两直线平行、相交、重合的条件．
教学难点：运用两条直线位置关系的判定方法解决问题.




在平面直角坐标系中，怎样判断两条直线平行呢？你能根据直线方程的特征来确定两条直线是否平行吗？
坐标平面内的两条直线若互相平行，它们的直线方程有何关系？你能得出怎样的结论？

知识点　　　　两条直线的相交、平行与重合
(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则两条直线的位置关系，可以用方程组的解的情况进行判断，得出结论：
l1与l2相交⇔k1≠k2；
l1与l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2；
l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2.
(2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的位置关系可以用法向量来处理．
因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量，不难看出：
①l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1；
②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2＝A2B1，其中l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ(λ≠0)，使得
(3)直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件是C1＝C2.

1．对两直线平行与斜率的关系要注意的几点
(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2的斜率都不存在．
2．过两直线交点的直线系方程
过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数，不包含l2)．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线平行，则这两条直线斜率相等．(　　)
(2)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．(　　)
(3)若两条直线平行，则两条直线的倾斜角一定相等．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√
2．做一做
(1)已知过A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是(　　)
A．－8 B．0
C．2 D．10
(2)直线(m2＋1)x＋3y－3m＝0和直线3x－2y＋m＝0的位置关系是(　　)
A．平行 B．重合
C．相交 D．不确定
(3)若过点P(1,4)和Q(a,2a＋2)的直线与直线2x－y－3＝0平行，则a的值为(　　)
A．a＝1 B．a≠1
C．a＝－1 D．a≠－1
(4)过点A(1,2)且平行于直线x－3y＋1＝0的直线方程为________.
答案　(1)A　(2)C　(3)B　(4)x－3y＋5＝0



题型一　两条直线的相交、平行与重合
例1　已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：
(1)相交？(2)平行？(3)重合？
[解]　因为直线l1：x＋my＋6＝0，
直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，
所以A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m.
(1)若l1与l2相交，
则A1B2－A2B1≠0，即1×3－m(m－2)≠0，
即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0，
即m≠3，且m≠－1.
故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交．
(2)若l1∥l2，则有
即即
即所以m＝－1.
故当m＝－1时，直线l1与l2平行．
(3)若l1与l2重合，
则有即
所以所以m＝3.
故当m＝3时，直线l1与l2重合．

两直线斜率存在时位置关系的判断方法
若两直线斜率都存在，则把直线方程化成斜截式．根据直线的斜率和在y轴上的截距来判断．
(1)若两直线斜率不相等，则两直线相交．
(2)若两直线斜率相等，在y轴上的截距不等，则两直线平行．
(3)若两直线斜率和在y轴上的截距都相等，则两直线重合．

[跟踪训练1]　若直线l1：x＋(1＋a)y＋a－2＝0与直线l2：ax＋2y＋8＝0平行，则实数a＝________.
答案　1
解析　当a＝－1时，l1的斜率不存在，l2的斜率为，显然两直线不平行．当a≠－1时，l1的斜率为－，l2的斜率为－，
∵l1∥l2，∴－＝－，解得a＝1或a＝－2.
当a＝－2时，l1与l2的方程都是x－y－4＝0，此时两直线重合，∴a＝1.
题型二　利用平行关系求直线方程
例2　求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
[解]　解法一：由方程组
得即交点坐标为.
∵所求直线和直线3x＋y－1＝0平行，
∴所求直线的斜率k＝－3，
∴根据点斜式有y－＝－3，
即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.
解法二：由得
即交点坐标为.
设所求直线方程为3x＋y＋C＝0，由于直线过，因此3×－＋C＝0，解得C＝.
∴所求直线方程为3x＋y＋＝0，即15x＋5y＋16＝0.

平行直线的求法
(1)求与直线y＝kx＋b平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法，求参数m的值．
(2)求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程时，可设直线方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出m即可．
其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．

[跟踪训练2]　若直线l与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线l的方程．
解　设直线l的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，
令x＝0，则在y轴上的截距为b＝－；
令y＝0，则在x轴上的截距为a＝－.
由a＋b＝－－＝，得λ＝－1，
所以直线l的方程为2x＋3y－1＝0.
题型三　过定点的直线系问题
例3　求证：不论m为什么实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点．
[证明]　证法一：当m＝1时，直线方程为y＝－4；
当m＝时，直线方程为x＝9.这两条直线的交点为(9，－4)．
又当x＝9，y＝－4时，9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，故无论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)．
证法二：将已知方程以m为未知数整理，得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0.
由m取值的任意性，得解得
所以所给直线不论m取什么实数，都经过定点(9，－4)．

解含有参数的直线恒过定点的问题
方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．

[跟踪训练3]　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
解　(1)证法一：将直线l的方程整理为y－＝a，
∴l的斜率为a，且过定点A.
而点A在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限．
证法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.
∵上式对任意的a总成立，
必有即
即l过定点A.以下同证法一．
(2)直线OA的斜率为k＝＝3.
要使l不经过第二象限，需使直线l斜率大于等于3即可，即a≥3.



1．平行于直线4x＋3y－3＝0，且不过第一象限的直线的方程是(　　)
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
答案　B
解析　平行于直线4x＋3y－3＝0的直线具有形式4x＋3y＋c＝0，故排除A，D.但选项C中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件，故应选B.
2．设集合A＝，B＝{(x，y)|4x＋ay－16＝0，x，y∈R}，若A∩B＝∅，则a的值为(　　)
A．4 B．－2
C．4或－2 D．－4或2
答案　C
解析　由A∩B＝∅，可得直线4x＋ay－16＝0过点(1,3)或与y－3＝2(x－1)平行，则有4×1＋a×3－16＝0或－＝2.∴a＝4或a＝－2.
3．(多选)平面上三条直线x－2y＋2＝0，x－2＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k可能的取值为(　　)
A．0 B．－2
C．－1 D．1
答案　ABC
解析　设l1：x－2y＋2＝0，l2：x－2＝0，l3：x＋ky＝0，如图，l1与l2交于点A(2,2)，显然l3恒过坐标原点，当l3∥l2时，符合题意，此时k＝0；当l3∥l1时，符合题意，此时k＝－2；当l3过点A(2,2)时，符合题意，此时k＝－1.当k≠0，－2，－1时，三条直线将平面分成7个部分．综上可知，k可能的取值为0，－2，－1.故选ABC．

4．已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为________.
答案　－3或2
解析　解法一：A1＝2，B1＝m＋1，C1＝4，A2＝m，B2＝3，C2＝－2，
若A2＝m＝0时，此时直线l1：2x＋y＋4＝0，l2：3y－2＝0，显然l1不平行于l2，故m≠0.
∵l1∥l2，∴＝≠，即＝≠.
由＝，得m2＋m－6＝0，即m＝2或m＝－3，满足上式．
∴m＝2或m＝－3.
解法二：当m＋1＝0时，直线l1的斜率k1不存在，直线l2的斜率k2＝－，显然不满足l1∥l2这一条件．
当m＋1≠0时，直线l1的方程化为y＝－x－，直线l2的方程化为y＝－x＋，
∵l1∥l2，∴－＝－，且－≠，
解得m＝－3或m＝2，且m≠－7.
∴m＝－3或m＝2.
5．求过点P(2，－1)且与直线3x－2y－6＝0平行的直线方程．
解　解法一：由直线3x－2y－6＝0得k1＝，∵已知直线与所求直线平行，∴所求直线的斜率k＝，由点斜式得所求直线的方程为y＋1＝(x－2)，即3x－2y－8＝0.
解法二：设所求直线的方程为3x－2y＋D＝0，由点P(2，－1)在直线上得，3×2－2×(－1)＋D＝0，
∴D＝－8，故所求直线的方程为3x－2y－8＝0.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．直线ax＋y－4＝0与直线x－y－2＝0的交点位于第一象限内，则实数a的取值范围是(　　)
A．－1－1
C．a<2 D．a<－1或a>2
答案　A
解析　由得
所以交点为.
由于交点在第一象限，故解得－1 2．若直线x＋(1＋m)y＋m－2＝0与直线2mx＋4y＋16＝0平行，则实数m的值是(　　)
A．1 B．－2
C．1或－2 D．－1或－2
答案　A
解析　由两直线平行可得(1＋m)·2m－4＝0，解得m＝1或m＝－2.当m＝－2时，经验证两直线重合，故舍去．所以只有A正确．
3．已知直线l1：x－2y＋3＝0，l2：2x－4y－5＝0在直角坐标平面上，集合{l|l：x－2y＋3＋λ(2x－4y－5)＝0，λ∈R}表示(　　)
A．过l1和l2交点的直线集合
B．过l1和l2交点的直线集合，但不包括直线l2
C．平行于直线l1的集合
D．平行于直线l2的集合
答案　D
解析　∵l1与l2平行，∴排除A，B.∵当λ＝0时集合表示l1，不与l1平行，∴排除C．故选D.
4．P1(x1，y1)是直线l：f(x，y)＝0上一点，P2(x2，y2)是直线l外一点，则方程f(x，y)＋f(x1，y1)＋f(x2，y2)＝0所表示的直线与l的关系是(　　)
A．重合 B．平行
C．相交 D．位置关系不定
答案　B
解析　∵P1点在直线l上，∴f(x1，y1)＝0，又∵P2点不在直线上，∴f(x2，y2)≠0，∴f(x，y)＋f(x1，y1)＋f(x2，y2)＝0，即f(x，y)＋f(x2，y2)＝0，∴直线l与方程表示的直线平行．
5．(多选)三条直线x－2y＋1＝0，x＋3y－1＝0和ax＋2y－3＝0共有两个不同的交点，则a的值可能为(　　)
A．－1 B．－2
C． D．
答案　AD
解析　三条直线中有两条平行时，三条直线才可能有两个交点．易知x－2y＋1＝0与x＋3y－1＝0不平行．若x－2y＋1＝0与ax＋2y－3＝0平行，则＝≠，∴a＝－1.若x＋3y－1＝0与ax＋2y－3＝0平行，则＝≠，∴a＝.∴a的值为－1或.
二、填空题
6．直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0过定点________.
答案　(3,1)
解析　将直线方程整理得2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，由得则直线过定点(3,1)．
7．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________.
答案　－6
解析　由题意得l1∥l2，∴kAB＝kMN.∵kAB＝＝－，kMN＝＝3，∴－＝3，∴a＝－6.
8．已知直线l：(m2＋m－2)x＋(m2＋3m＋2)y－5＝0，若l与x轴平行，则m＝________；若l与y轴平行，则m＝________.
答案　1　－1
解析　若l与x轴平行，则m2＋m－2＝0，
且m2＋3m＋2≠0，∴m＝1.
若l与y轴平行，则m2＋m－2≠0，且m2＋3m＋2＝0，∴m＝－1.
三、解答题
9．(1)求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程；
(2)求过点P(3,2)且与经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直线平行的直线方程．
解　(1)解法一：已知直线的斜率为－，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是－，根据点斜式，得到所求直线的方程是y＋4＝－(x－1)，即2x＋3y＋10＝0.
解法二：设与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线l的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，
∵l经过点A(1，－4)，
∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10，
∴所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
(2)经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直线的斜率为
k＝＝1.
∵所求直线经过点P(3,2)，
∴所求直线方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.
10．已知直线l1：(m－2)x＋2y＋m－2＝0，l2：2x＋(m－2)y＋3＝0，当m为何值时，满足下列条件：
(1)l1与l2相交；(2)l1∥l2；(3)l1与l2重合．
解　(1)由A1B2－A2B1＝(m－2)(m－2)－2×2＝(m－2)2－4≠0，得(m－2)2≠4，即m－2≠±2，
∴当m≠4且m≠0时，l1与l2相交．
(2)由A1B2－A2B1＝0，得m＝0或m＝4，
当m＝0时，两直线方程分别为－2x＋2y－2＝0,2x－2y＋3＝0，此时l1∥l2；当m＝4时，两直线方程为2x＋2y＋2＝0,2x＋2y＋3＝0，此时l1∥l2，
故m＝0或m＝4时，l1∥l2.
(3)由(2)知，直线l1与l2不可能重合．
B级：“四能”提升训练
1．对于直线l上任一点(x，y)，点(4x＋2y，x＋3y)也在直线l上，求直线l的方程．
解　设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，①
∵点(4x＋2y，x＋3y)在直线l上，
∴A(4x＋2y)＋B(x＋3y)＋C＝0，②
∵①②为同一条直线，
∴当C≠0时，＝＝，此时无解；
当C＝0时，＝，
∴(2A＋B)(A－B)＝0，
∴x－2y＝0或x＋y＝0.
2．当实数m为何值时，三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形？
解　由解得
将x＝1，y＝－1代入l1：3x＋my－1＝0，得m＝2，
即m＝2时，三条直线相交于一点，此时l1，l2，l3不能构成三角形．
∵l2与l3不平行，∴当l1∥l2时，＝，
∴m＝－2，即m＝－2时，l1，l2，l3不能构成三角形．
当l1∥l3时，＝，∴m＝，
即m＝时，l1，l2，l3不能构成三角形．
综上，当m＝±2或m＝时，l1，l2，l3不能构成三角形．