高中2.2.3 两条直线的位置关系第2课时导学案

这是一份高中2.2.3 两条直线的位置关系第2课时导学案，共14页。

第2课时　两条直线的垂直
(教师独具内容)
课程标准：1.能根据斜率判定两条直线垂直.2.理解并掌握两条直线垂直的条件.3.能利用两条直线垂直进行实际应用．
学法指导：从法向量和倾斜角两个角度结合图形探求两直线垂直的条件．
教学重点：两条直线垂直的条件．
教学难点：利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题.




在平面直角坐标系中，如何判断两条直线垂直？能否利用直线的斜率关系来确定两直线垂直的条件？
两直线垂直，则它们的斜率有何关系？依此你能解决哪些问题呢？

知识点　　　　两条直线的垂直
(1)一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，可得l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
(2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量，所以l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔A1A2＋B1B2＝0.

1．对两直线垂直与斜率的关系要注意的几点
(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论：l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
2．常用对称的特例
(1)A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；
(2)B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；
(3)C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；
(4)D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)；
(5)P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)；
(6)Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a,2n－b)．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.(　　)
(2)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与x轴垂直．(　　)
(3)两条直线的斜率分别为k1，k2，若k1·k2≠－1，则两条直线一定不垂直．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√
2．做一做
(1)若直线ax＋2y－1＝0与直线2ax－2y＋1＝0垂直，则a值为(　　)
A．0或 B．－
C．±2 D．±
(2)已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝3，l1⊥l2，则k2＝________.
(3)已知直线l1的倾斜角为30°，直线l2经过点A(0,5)，B(，2)，则直线l1与直线l2的位置关系为________.
答案　(1)D　(2)－　(3)l1⊥l2



题型一　两条直线的垂直
例1　当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
[解]　解法一：由题意，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直；
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：
5x－4＝0不垂直；
③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2存在，
k1＝－，k2＝－.
当l1⊥l2时，k1k2＝－1，
即·＝－1，
∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
解法二：∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，
∴a＝±1时，l1⊥l2.

(1)判断两直线是否垂直的依据：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，两直线也垂直．
(2)直接使用A1A2＋B1B2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．

[跟踪训练1]　已知直线l1：mx＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋n＝0垂直且垂足为(1，p)，则m－n＋p的值为(　　)
A．－24 B．20
C．0 D．－4
答案　B
解析　由已知，得A1A2＋B1B2＝2m＋(－5)×4＝0，∴m＝10，l1的方程为5x＋2y－1＝0，∴5×1＋2×p－1＝0，∴p＝－2，∴垂足为(1，－2)，∴2×1－5×(－2)＋n＝0，∴n＝－12，∴m－n＋p＝10＋12－2＝20.故选B.
题型二　利用垂直关系求直线方程
例2　求经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
[解]　解法一：联立l1，l2的方程得交点P(0,2)，设过P点与l3垂直的直线方程为4x＋3y＋D＝0，代入P点坐标得4×0＋3×2＋D＝0，所以D＝－6.
所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
解法二：由解法一知，l1与l2交点P(0,2)，
∵直线l与l3垂直，
∴kl＝－＝－，
∴直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
解法三：设过l1，l2交点的直线方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(λ＋1)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，①
∵l与l3：3x－4y＋5＝0垂直，
∴3(λ＋1)－4(λ－2)＝0，
∴λ＝11，代入①式得4x＋3y－6＝0，
即直线l的方程为4x＋3y－6＝0.

(1)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0(m为参数)．
(2)与直线y＝kx＋m平行的直线方程可设为y＝kx＋b(b≠m)；与它垂直的直线方程可设为y＝－x＋n(k≠0)．

[跟踪训练2]　求过点P(1，－1)与直线2x＋3y＋10＝0垂直的直线l的方程．
解　解法一：由直线2x＋3y＋10＝0得直线的斜率为k＝－，故所求直线的斜率k′＝－＝，由直线的点斜式方程得直线l的方程为y＋1＝(x－1)，即3x－2y－5＝0.
解法二：因为直线l与直线2x＋3y＋10＝0垂直，可设直线l的方程为3x－2y＋D＝0，又因为直线l过点P(1，－1)，所以3×1－2×(－1)＋D＝0，所以D＝－5.
所以直线l的方程为3x－2y－5＝0.
题型三　对称问题
例3　(1)点关于线对称
点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　)
A．(－2,1) B．(－2,5)
C．(2，－5) D．(4，－3)
(2)线关于点对称
与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　)
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
(3)点关于点对称
过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
(4)线关于线对称
求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线m′的方程．
[解析]　(1)设对称点Q的坐标为(a，b)，
解得即Q(－2,5)．
(2)由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0.
在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)，
(3,0)关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)，
则点(－1，－2)必在所求直线上，
∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，∴C＝8.
∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.
(3)设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P(0,1)的对称点B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
∴由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
(4)在直线m上取一点，如M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′的坐标为(a，b)，则
解得M′.
设直线m与直线l的交点为N，
则由得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
[答案]　(1)B　(2)D　(3)见解析　(4)见解析

有关对称问题的两种主要类型
(1)中心对称
①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称
①设点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．

[跟踪训练3]　已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
解　(1)易知A，B两点在直线l的同侧．
设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则解得
故A′(－2,8)．
因为P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
解得
故所求的点P的坐标为(－2,3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，
||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，
点P即是直线AB与直线l的交点，
又直线AB的方程为y＝x－2，
解得
故所求的点P的坐标为(12,10).
题型四　平行与垂直的综合应用
例4　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．
[解]　由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得
kAB＝＝，
kCD＝＝，
kAD＝＝－3，kBC＝＝－.

所以kAB＝kCD，
由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，
由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形．
[条件探究]　已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
解　设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，∵kAB＝3，kBC＝0，
∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．

①若CD是直角梯形的直角腰，
则BC⊥CD，AD⊥CD，
∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3.
又kAD＝kBC，∴＝0，即y＝3，
此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3,3)．
②若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，
∵kAD＝，kCD＝，
∴·3＝－1，·＝－1.
即＝－，－·＝－1.
解得x＝，y＝，
∴点D的坐标为.
综上可知，点D的坐标为(3,3)或.

(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．
(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．

[跟踪训练4]　已知四边形ABCD的四个顶点为A(0,0)，B(3，－2)，C(5,1)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状．
解　如图，∵kAB＝＝－，kAD＝＝，kCD＝＝－，kBC＝＝.
∴kAB＝kCD，kBC＝kAD.∴AB∥CD，BC∥AD.

又kAD·kAB＝×＝－1，
∴AD⊥AB.∴四边形ABCD为矩形．
∵B(3，－2)，D(2,3)，
由勾股定理得|AB|＝＝，
|AD|＝＝，
∴|AB|＝|AD|，∴矩形ABCD为正方形．
因此四边形ABCD为正方形．



1．在平面直角坐标系中，直线l1：x－ay＋1＝0和直线l2：ax＋y＋10＝0的位置关系是(　　)
A．平行 B．重合
C．垂直 D．无法判断
答案　C
解析　∵1·a＋(－a)·1＝0，∴l1⊥l2.
2．过点P(1,2)与直线2x＋y－5＝0垂直的直线的截距为(　　)
A．3 B．
C．5 D．－
答案　B
解析　设直线为x－2y＋m＝0，将P(1,2)代入得m＝3，即x－2y＋3＝0，令x＝0，得y＝.
3．(多选)下列直线与直线x－2y＋1＝0垂直的是(　　)
A．2x－y－3＝0 B．2x＋y＋3＝0
C．2x－4y＋5＝0 D．4x＋2y－5＝0
答案　BD
解析　直线x－2y＋1＝0的斜率为，与直线x－2y＋1＝0垂直的直线的斜率为－2.对于A，直线2x－y－3＝0的斜率为2，不符合；对于B，直线2x＋y＋3＝0的斜率为－2，符合；对于C，直线2x－4y＋5＝0的斜率为，不符合；对于D，直线4x＋2y－5＝0的斜率为－2，符合．故选BD.
4．已知直线l：3x－y＋3＝0，则点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为________.
答案　(－2,7)
解析　令P′(x，y)，
解得
5．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，求点D，使直线CD⊥AB且CB∥AD.
解　设点D的坐标为(x，y)，由已知得，直线AB的斜率kAB＝3，直线CD的斜率kCD＝，直线CB的斜率kCB＝－2，直线AD的斜率kAD＝，由CD⊥AB且CB∥AD，得×3＝－1，－2＝，所以x＝0，y＝1，所以点D的坐标是(0,1)．



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．若直线ax＋y－1＝0与直线4x＋(a－3)y－2＝0垂直，则实数a的值等于(　　)
A．－1 B．4
C． D．－
答案　C
解析　由4a＋(a－3)＝0得a＝.故选C．
2．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2且l1⊥l2，则(　　)
A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90°
C．α1＋α2＝180° D．|α1－α2|＝90°
答案　D
解析　①l1⊥l2，当直线l1，l2的倾斜角分别为α1＝90°，α2＝0°或α1＝0°，α2＝90°时，|α1－α2|＝90°.
②当直线l1，l2的斜率都存在时，如图，则α2－α1＝90°或α1－α2＝90°，因此|α1－α2|＝90°.综上可得|α1－α2|＝90°.故选D.

3．过A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线l：2x＋y－1＝0互相垂直，则m等于(　　)
A．－8 B．8
C．0 D．2
答案　D
解析　∵kAB＝，kl＝－2，∴＝，m＝2.
4．直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于直线x＋y＝0对称，则a与b的值分别为(　　)
A．－3，－9 B．3，－9
C．－9,3 D．9，－3
答案　C
解析　解法一：在直线ax＋3y－9＝0上取一点(0,3)，它关于x＋y＝0的对称点(－3,0)在直线x－3y＋b＝0上，所以b＝3，同理在直线x－3y＋b＝0上取一点(0,1)，它关于x＋y＝0的对称点(－1,0)在直线ax＋3y－9＝0上，∴a＝－9.故选C．
解法二：把(－y，－x)代入ax＋3y－9＝0，得－ay－3x－9＝0，即3x＋ay＋9＝0，它与x－3y＋b＝0重合，
∴＝＝，∴a＝－9，b＝3.故选C．
5．(多选)已知A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下列四个结论正确的为(　　)
A．AB∥CD B．AB⊥AD
C．AB⊥BD D．AC⊥BD
答案　ABD
解析　由题意，得kAB＝－，kAD＝，kCD＝－，kAC＝，kBD＝－4，∴kAB＝kCD，kAB·kAD＝－1，kAC·kBD＝－1.∴AB∥CD，AB⊥AD，AC⊥BD，A，B，D正确．又kAB·kBD≠－1，∴C错误．故选ABD.
二、填空题
6．已知△ABC，其顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,3)，C(4，－1)，则BC边上的高所在的直线方程为________.
答案　x－2y＋1＝0
解析　∵kBC＝＝－2，∴高线所在直线斜率为.又∵A在此直线上，∴BC边上的高所在的直线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
7．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是________.
答案　4x－2y－5＝0
解析　因为kAB＝＝－，所以线段AB的垂直平分线的斜率是2.又线段AB的中点为，所以所求直线的方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0.
8．已知两直线方程l1：mx＋2y＋8＝0和l2：x＋my＋3＝0，当m＝________时，两直线平行；当m＝________时，两直线垂直．
答案　±　0
解析　当m＝0时，l1与l2显然不平行．当m≠0时，l1的斜率k1＝－，在y轴上的截距b1＝－4，l2的斜率k2＝－，在y轴上的截距b2＝－.
∵l1∥l2，∴k1＝k2，且b1≠b2，
即－＝－，且－4≠－，∴m＝±.
综上可知，当m＝±时，两直线平行．
当m＝0时，l1显然与l2垂直．
当m≠0时，l1的斜率为k1＝－，l2的斜率为k2＝－.
∵l1⊥l2，∴－·＝－1，此时无解．
综上可知，当m＝0时，两直线垂直．
三、解答题
9．在一个矩形花园ABCD内需要铺两条笔直的小路，已知|AD|＝5 m，|AB|＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM互相垂直？
解　以点B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(如图所示)，由|AD|＝5 m，|AB|＝3 m，

可得C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．
设点M的坐标为(x,0)，
∵AC⊥DM，由图可知直线AC，DM的斜率都存在，
∴kAC·kDM＝－1，
即·＝－1，解得x＝.
即|BM|＝ m时，两条小路AC与DM互相垂直．
10．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程．
(1)l′与l平行且过点(－1,3)；
(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形的面积为4.
解　(1)解法一：直线l：3x＋4y－12＝0的斜率为kl＝－，又l′∥l，所以kl′＝kl＝－.
所以直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
解法二：设直线l′的方程为3x＋4y＋m＝0，点(－1,3)在直线l′上，所以3×(－1)＋4×3＋m＝0，解得m＝－9，
所以直线l′的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)解法一：因为l′⊥l，所以kl′＝.
设l′在y轴上的截距为b，则直线l′的方程为y＝x＋b，l′在x轴上的截距为－b.
由题意可知，S＝|b|·|－b|＝4，
解得b＝±.
所以直线l′的方程为y＝x＋或y＝x－，即4x－3y＋4＝0或4x－3y－4＝0.
解法二：设直线l′的方程为4x－3y＋m＝0，则l′在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为，由题意可知
S＝||·|－|＝4，解得m＝±4，
所以直线l′的方程为4x－3y＋4＝0或4x－3y－4＝0.
B级：“四能”提升训练
1．直线y＝2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线，若A，B两点的坐标分别为A(－4,2)，B(3,1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．
解　把A，B两点坐标代入y＝2x知，A，B均不在直线y＝2x上，因此直线y＝2x为∠C的平分线所在的直线．
设点A(－4,2)关于y＝2x的对称点为A′(a，b)，
则kAA′＝，线段AA′的中点坐标为，
则解得
∴A′(4，－2)．
∵y＝2x是∠C的平分线所在直线的方程，
∴点A′在直线BC上，
∴直线BC的方程为＝，即3x＋y－10＝0，
由解得∴C(2,4)．
∴kBC＝＝－3，kAC＝＝，kBC·kAC＝－1，
∴∠ACB＝90°，即△ABC为直角三角形．
△ABC的形状还可用下列方法判断：通过计算三边长判断△ABC的形状：|AB|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
|BC|2＋|AC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形．
2．已知直线l：3x－y－1＝0，在l上求一点P，
(1)使得点P到点A(4,1)和点B(0,4)的距离之差最大；
(2)使得点P到点A(4,1)和点C(3,4)的距离之和最小．
解　(1)如图，设点B关于直线l的对称点为B′(a，b)，
则
解得即B′(3,3)．

所以直线AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.
解得
所以l与AB′的交点为(2,5)，即P(2,5)．
所以P点坐标为(2,5)时，P到A，B的距离之差最大．
(2)如图所示，设点C关于直线l的对称点为C′，同(1)可求得C′的坐标为.所以AC′所在直线的方程为

19x＋17y－93＝0，由方程组
可求得AC′和l的交点P.
所以P点坐标为时，P到A，C的距离之和最小．