高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离导学案

2.2.4　点到直线的距离

(教师独具内容)

课程标准：1.探索并掌握点到直线的距离公式.2.会求两条平行直线间的距离．

学法指导：经历由两点之间的距离公式和向量数量积公式推导点到直线距离的过程，使学生再次体会坐标法及数学的转化与化归思想，从而加深对公式的理解．

教学重点：点到直线的距离公式，两条平行直线之间的距离．

教学难点：点到直线的距离公式的推导过程.

如图，在铁路的附近，有一大型仓库．现要修建一条公路与之连接起来．怎样设计才能使公路最短？你能算出最短路程吗？这就是今天我们要学习的距离公式．

知识点一　　　点到直线的距离

(1)点到直线的距离公式

点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

(2)点到特殊直线的距离

点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|，到平行于x轴的直线y＝a的距离d＝|y0－a|，到y轴的距离d＝|x0|，到平行于y轴的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.

知识点二　　　两条平行直线之间的距离

(1)两条平行线之间的距离

两条平行线之间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.

(2)两条平行线之间的距离公式

①P(x1，y1)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2之间的距离为d＝.

②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝.

1．应用点到直线的距离公式应注意的三个问题

(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．

(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．

(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．

2．对两条平行直线之间的距离公式的理解

(1)求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式．

(2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．

(3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．

①两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；

②两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是.(　　)

(2)连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(　　)

(3)两平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√

2．做一做

(1)已知点A(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　)

A．  B．2－

C．－1  D．＋1

(2)点P(1,2)到直线2x＋y－4＝0的距离等于________.

(3)若点(4,3)到直线3x－4y＋C＝0的距离为1，则C＝________.

(4)两平行线4x＋6y＝16与2x＋3y＋18＝0间的距离等于________.

答案　(1)C　(2)0　(3)±5　(4)2

题型一　点到直线的距离

例1　已知P1(2,3)，P2(－4,5)与点A(－1,2)，求过点A且与P1，P2距离相等的直线l的方程．

[解]　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，即x＋1＝0，符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，

即kx－y＋k＋2＝0，因为P1，P2到直线l的距离相等，

所以＝，

化简得|3k－1|＝|3k＋3|，解得k＝－，

故直线l的方程为x＋3y－5＝0.

综上可知，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0.

[解法探究]　本例还有其他解法吗？

解　因为l过点A且与P1，P2距离相等，所以l有两种情况(如图所示)．

①当P1，P2在l的同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.

②当P1，P2在l的异侧时，l必过P1P2的中点(－1,4)，此时l的方程为x＝－1，即x＋1＝0.

所以所求直线的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0.

点到直线的距离的求解方法

(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．

(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.

(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．

[跟踪训练1]　求点P0(－1,2)到下列直线的距离．

(1)2x＋y－10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y－1＝0.

解　(1)根据点到直线的距离公式得

d＝＝2.

(2)直线方程可化为x＋y－2＝0，

所以d＝＝.

(3)因为直线y－1＝0平行于x轴，

所以d＝|2－1|＝1.

题型二　两条平行直线之间的距离

例2　求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0距离为2的直线方程．

[解]　由已知，可设所求的直线方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，

则它与直线2x－y－1＝0的距离d＝＝＝2，

∴|C＋1|＝2，

即C＝2－1或C＝－2－1.

∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.

[解法探究]　本例还有其他解法吗？

解　解法一：设所求直线的方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，在直线2x－y－1＝0上任取一点A(0，－1)，点A(0，－1)到直线2x－y＋C＝0的距离为＝，

由题意得＝2，

解得C＝2－1或C＝－2－1.

故所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.

解法二：设P(x，y)为所求直线上任意一点，

则P到2x－y－1＝0的距离为

d＝＝＝2，

∴2x－y－1＝±2.

∴所求直线的方程为

2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.

求两平行直线间距离的两种思路

(1)利用“化归”法将求两条平行线之间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．

[跟踪训练2]　两条平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2之间的距离为5，求两直线方程．

解　依题意，两直线的斜率存在，

设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，

l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.

因为l1与l2之间的距离为5，

所以＝5，解得k＝0或.

所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.

题型三　距离公式的应用

例3　已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．

(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；

(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．

[解]　(1)联立⇒交点P(2,1)．

当直线斜率存在时，

设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，

∴＝3，解得k＝.

∴l的方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0.

而直线斜率不存在时，直线x＝2也符合题意，

故所求l方程为4x－3y－5＝0或x＝2.

(2)由解得交点P(2,1)．

过P任意作直线l，设d为A到l的距离，

则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，

∴dmax＝|PA|＝.

[解法探究]　本例(1)还有其他解法吗？

解　设经过两条已知直线交点的直线系方程为

(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，

即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，

∴＝3，

即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或.

∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.

两种距离公式在解析几何中的应用

(1)点到直线的距离公式及两条平行直线之间的距离公式是解析几何的基本公式，在解析几何中具有重要的作用．

(2)在使用距离公式时要首先把直线方程化为一般式．

[跟踪训练3]　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：

(1)d的变化范围；

(2)当d取最大值时两条直线的方程．

解　(1)解法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x＝6和x＝－3，

则它们之间的距离为9.

②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为

l1：y－2＝k(x－6)，

l2：y＋1＝k(x＋3)，

即l1：kx－y－6k＋2＝0，

l2：kx－y＋3k－1＝0，

∴d＝＝，

即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0.

∵k∈R，且d≠9，d>0，

∴Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0，

即0<d≤3且d≠9.

综合①②可知，所求d的变化范围为(0,3]．

解法二：如图所示，显然有0<d≤|AB|，

而|AB|＝＝3，

故所求的d的变化范围为(0，3]．

(2)由图可知，当d取最大值时，两条直线均垂直于AB.

而kAB＝＝，

∴所求直线的斜率为－3.

故所求的直线方程分别为

y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，

即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.

1．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意的点，则|PQ|的最小值为(　　)

A．  B．

C．3  D．6

答案　C

解析　∵＝≠，∴两直线平行，方程可化为3x＋4y－12＝0与3x＋4y＋3＝0.|PQ|的最小值为平行线间的距离d＝＝3.

2．已知点A(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点A的坐标为(　　)

A．(0，－2)  B．(2,4)

C．(0，－2)或(2,4)  D．(1,1)

答案　C

解析　(1＋t,1＋3t)到直线2x－y－1＝0的距离d＝＝，解得t＝±1，当t＝1时，A(2，4)，当t＝－1时，A(0，－2)．故选C．

3．(多选)若点P到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点P的坐标应满足的方程可以是(　　)

A．32x－56y＋65＝0  B．4x－8y＋9＝0

C．7x＋4y＝0  D．x－4y＋4＝0

答案　AC

解析　由点P(x，y)到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，可得＝.∴32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0.故选AC．

4．经过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________.

答案　2

解析　由可解得故两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点坐标为(1,3)．又知过该点的直线与原点的距离为1，分类讨论如下：若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题意；若直线的斜率存在，则可设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，整理得kx－y＋3－k＝0，因其到原点的距离为1，由公式＝1，故有1＋k2＝9－6k＋k2，即9－6k＝1，得k＝.所以所求直线方程为y－3＝(x－1)．综上，满足条件的直线有2条．

5．已知直线l1：2x＋3y－1＝0与l2：4x＋6y－5＝0，直线l∥l1∥l2，且直线l在直线l1与l2的正中间位置，求直线l的方程．

解　∵直线l1的方程可化为4x＋6y－2＝0，

∴可设直线l的方程为4x＋6y＋C＝0，

又直线l在直线l1与l2的正中间位置，

∴＝，

即|C＋2|＝|C＋5|，解得C＝－.

∴直线l的方程为4x＋6y－＝0，

整理得8x＋12y－7＝0.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．直线l经过点P(－2,1)且点A(－2，－1)到直线l的距离等于1，则直线l的方程是(　　)

A．x－y＋1＋2＝0

B．－x－y＋1－2＝0

C．x－y＋1＋2＝0或－x－y＋1－2＝0

D．x－y＋1＋2＝0或x＋y－1－2＝0

答案　C

解析　设直线l的方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.

∵过P点，∴b－2k＝1，①

点A(－2，－1)到直线kx－y＋b＝0的距离为

＝1，②

由①②得或∴直线l的方程为x－y＋1＋2＝0或－x－y＋1－2＝0.

2．已知两直线3x＋2y－3＝0与6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离等于(　　)

A．4  B．

C．  D．

答案　D

解析　因为3x＋2y－3＝0与6x＋my＋1＝0互相平行，所以－＝－，所以m＝4.所以6x＋my＋1＝0为6x＋4y＋1＝0，即3x＋2y＋＝0.所以两平行线间的距离d＝＝＝.

3．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　)

A．3x－2y－6＝0  B．2x＋3y＋7＝0

C．3x－2y－12＝0  D．2x＋3y＋8＝0

答案　D

解析　设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0，由题意可知＝.∴C＝－6(舍去)或C＝8.故所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0.

4．已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数y＝x2的图像上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)

A．4  B．3

C．2  D．1

答案　A

解析　设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2.由于△ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝.由点到直线的距离公式，得＝，即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．

5．(多选)S＝，下列结论中正确的是(　　)

A．当θ＝时，S中直线的斜率为

B．S中所有直线均经过同一个定点

C．当m≥n时，S中的两条平行直线之间的距离的最小值为2n

D．当m＝n时，存在某个定点，该定点到S中的所有直线的距离相等

答案　CD

解析　当θ＝时，sinθ＝cosθ，S中直线的斜率为－，故A不正确；根据x＋y＝1，可知S中所有直线不可能经过一个定点，B不正确；当m≥n时，S中的两条平行直线之间的距离为d＝≥2n，即最小值为2n，C正确；当m＝n时，方程为xsinθ＋ycosθ＝m，存在定点(0,0)，该定点到S中的所有直线的距离均相等，D正确．故选CD.

二、填空题

6．若点(2，－k)到直线5x＋12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________.

答案　－3或

解析　d＝＝，由题意知＝4，即＝1，得k＝－3或k＝.

7．若直线m被两条平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0截得的线段长为2，则直线m的倾斜角是________.

答案　75°或15°

解析　如图，两平行线间的距离为|AH|＝＝，

直线m被平行线截得线段的长为|AB|＝|AC|＝2，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.

8．已知M(x，y)是直线x＋y＋1＝0上的任意一点，则式子S＝的最小值为________，此时点M的坐标为________.

答案　　

解析　∵x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2，∴上式可看成是一个动点M(x，y)到一个定点N(1，1)距离的平方，即为点N与直线l：x＋y＋1＝0上任意一点M(x，y)距离的平方．∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，即|MN|min＝d＝＝.由得x＝y＝－，即此时点M的坐标为.

三、解答题

9．在△ABC中，已知点A(3,3)，B(2，－2)，C(－7,1)，求∠A的平分线AD所在的直线方程．

解　设点M(x，y)为∠A的平分线上的任意一点，由两点式易得AC所在的直线方程为x－5y＋12＝0，AB所在的直线方程为5x－y－12＝0.由角平分线的性质可知，直线AD上任意一点到直线AC，AB的距离相等，

即＝，

∴x－5y＋12＝5x－y－12或x－5y＋12＝y－5x＋12，

整理，得y＝－x＋6或y＝x.

结合图形，可知kAC<kAD<kAB，即<kAD<5，

则y＝－x＋6不符合题意，舍去．

故∠A的平分线AD所在的直线方程为y＝x.

10．已知点P(m，n)是直线3x＋4y－12＝0上的一点，求(m－1)2＋(n－2)2的最小值．

解　解法一：因为P(m，n)是直线3x＋4y－12＝0上的一点，

所以3m＋4n－12＝0，即n＝，

所以(m－1)2＋(n－2)2＝(m－1)2＋2＝m2－m＋2.

所以当m＝＝时，

(m－1)2＋(n－2)2有最小值.

解法二：因为点(1,2)到直线3x＋4y－12＝0的距离

d＝＝，

所以(m－1)2＋(n－2)2的最小值为2＝.

B级：“四能”提升训练

1．在△ABC中，点B(4,4)，角A的内角平分线所在直线的方程为y＝0，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋2＝0.

(1)求点C的坐标；

(2)求△ABC的面积．

解　(1)由题意知直线BC的斜率为－2，又点B(4,4)，

∴直线BC的方程为y－4＝－2(x－4)，

即2x＋y－12＝0.

解方程组

得

∴点A的坐标为(－2,0)．

又∠A的内角平分线所在直线的方程为y＝0，

∴点B(4,4)关于直线y＝0的对称点B′(4，－4)在直线AC上，

∴直线AC的方程为y＝－(x＋2)，

即2x＋3y＋4＝0.

解方程组得

∴点C的坐标为(10，－8)．

(2)由(1)知|BC|＝＝6.

∵直线BC的方程是2x＋y－12＝0，

∴点A到直线BC的距离

d＝＝，

∴△ABC的面积是|BC|·d＝×6×＝48.

2．设a，b∈R，利用点到直线的距离公式证明≥2.

证明　如图，设M(a，b)为平面内任一点，则M到直线y＝－x的距离为，点M到原点的距离为，由图可直观得出≥，即≥2.