高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.4 圆与圆的位置关系学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.4 圆与圆的位置关系学案及答案，共14页。

2.3.4　圆与圆的位置关系
(教师独具内容)
课程标准：1.理解圆与圆的五种位置关系.2.能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系．
学法指导：通过圆与圆位置关系的学习过程，掌握圆与圆位置关系的判定方法，再次感受坐标法在研究几何问题中的作用．
教学重点：圆与圆的五种位置关系及其判定方法．
教学难点：用坐标法探求圆与圆位置关系的过程.




观察自行车的前轮和后轮的关系，观察机器中各种齿轮之间的位置关系，你能想到圆与圆有几种位置关系吗？你能用坐标法判定它们的位置关系吗？

知识点　　　　圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含.
(2)圆与圆位置关系的判定
①几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示





d与r1，r2
的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2| d＝|r1－r2|
0 ②代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
点睛：(1)圆与圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；
(2)圆与圆相交，两圆有两个公共点；
(3)圆与圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．

1．判定两圆位置关系时，结合图形易于判断分析，而从两圆方程出发往往比较繁琐且不准确，可充分利用两圆圆心距与两圆半径的和差的比较进行判断．
2．两圆相交求其公共弦所在直线方程，可利用两圆方程作差，但应注意当两圆不相交时，作差得出的直线方程并非两圆公共弦所在直线方程．
3．两圆的公切线
两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线．两圆的公切线有如图所示的五种情况：

(1)外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；
(2)外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；
(3)相交时，有2条公切线，都是外公切线；
(4)内切时，有1条公切线；
(5)内含时，无公切线．
4．圆系方程
(1)过两已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2x＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
当λ＝－1时，变为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在)，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线．
(2)过直线与圆交点的圆系方程
设直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　)
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．做一做
(1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是______________.
(3)已知圆O1与圆O2的方程分别为(x－1)2＋y2＝1，(x＋1)2＋y2＝r2(r>1)，若两圆相交，则r的取值范围是________.
(4)若a2＋b2＝4，则两圆(x－a)2＋y2＝1与x2＋(y－b)2＝1的位置关系为________.
答案　(1)B　(2)x＋3y＝0　(3)(1,3)　(4)外切



题型一　圆与圆位置关系的判定
例1　已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m为何值时，(1)圆C1与圆C2相外切？(2)圆C1与圆C2内含？
[解]　对于圆C1，圆C2的方程，配方得
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)如果圆C1与圆C2相外切，则有
＝3＋2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.
(2)如果圆C1与圆C2内含，
则有<3－2，
即(m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0，
解得－2
判断两圆位置关系的方法
(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
②计算两圆圆心的距离d；
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．
(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
(3)如果判断两圆相交并求交点坐标时，必须求方程组的解，这样用方程组解的个数判断两圆位置关系可起到一举两得的效果．

[跟踪训练1]　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
解　将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝(k<50)，
从而|C1C2|＝＝5.
当|－1|<5<1＋，
即k∈(14,34)时，两圆相交．
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，
即k＝14时，两圆内切．
即当k＝14或k＝34时，两圆相切．
当1＋<5或|－1|>5，
即k∈(－∞，14)∪(34,50)时，两圆相离.
题型二　两圆相交的公共弦问题
例2　求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．
[解]　联立两圆的方程得方程组
两式相减得x－2y＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程．
解法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组

解得或
所以|AB|＝＝2，
即公共弦长为2.
解法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3.
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，
即50＝(3)2＋l2，解得l＝，
故公共弦长2l＝2.
[结论探究]　本例若求公共弦所在直线被圆(x－3)2＋(y－1)2＝9所截的弦长，如何求解？
解　由例2可知公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0，
∴圆心C(3,1)到公共弦所在直线的距离为
d＝＝.
∴弦长为2＝4.

1．两圆相交时，公共弦所在直线的方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、弦长的一半、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．

[跟踪训练2]　已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．
解　设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
题型三　圆系方程问题
例3　求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0与圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．
[解]　解法一：联立两圆的方程，得

相减并化简，得公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0.
由
解得或
即两圆的交点坐标分别为(－1,2)，(5，－6)．
∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)，半径长为 ＝5.
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
解法二：由解法一可知公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0.设所求圆的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ≠－1)．
可求得圆心C.
∵圆心C在公共弦所在直线上，
∴4·＋3·－2＝0，解得λ＝.
∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0.

圆系方程
一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．

[跟踪训练3]　求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：(1)过原点；(2)有最小面积．
解　设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，
即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0.
(1)∵此圆过原点，
∴1＋4λ＝0，∴λ＝－，
故所求圆的方程为x2＋y2＋x－y＝0.
(2)将圆系方程化为标准式得(x＋1＋λ)2＋2＝2＋.
要使其面积最小，必须圆的半径取最小值，此时λ＝.
∴满足条件的圆的方程为2＋2＝.



1．圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝m(m>0)与圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0有3条公切线，则m＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　A
解析　∵圆C1与圆C2有3条公切线，∴圆C1与圆C2外切，∴它们的圆心距等于半径之和．圆C2可化为(x－2)2＋(y－5)2＝16，∴两圆的圆心距d＝＝4＋，解得m＝1.
2．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是(　　)
A．r<＋1 B．r>＋1
C．|r－|<1 D．|r－|≤1
答案　D
解析　由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为＝.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤≤r＋1，∴－1≤r≤＋1，即－1≤r－≤1，∴|r－|≤1.
3．(多选)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.下列结论正确的为(　　)
A．当两圆外切时，m＝25＋10
B．当两圆内切时，m＝25－10
C．当m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0
D．当m＝45时，两圆的公共弦长为2
答案　ABCD
解析　因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为，.对于A，当两圆外切时，由＝＋，得m＝25＋10，正确；对于B，当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以－＝5，解得m＝25－10，正确；对于C，由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，正确；对于D，两圆的公共弦长为2＝2，正确．故选ABCD.
4．点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为__________，最大值为________.
答案　1　5
解析　如图，x轴与圆O交于P1，P2，与圆C交于Q1，Q2，当P在P1处，Q在Q1处时，|PQ|最小为|P1Q1|＝|OC|－r1－r2＝1.当P在P2处，Q在Q2处时，|PQ|最大为|P2Q2|＝|OC|＋r1＋r2＝5.

5．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2,1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解　(1)设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2.
因为两圆外切，
所以|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)，
故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
将两圆的方程相减，
即得两圆公共弦AB所在直线的方程：
4x＋4y＋r－8＝0.①
作O1H⊥AB，则|AH|＝|AB|＝，
|O1H|＝＝，
由圆心O1(0，－1)到直线①的距离得＝，解得r＝4或r＝20，
故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的位置关系是(　　)
A．外切 B．内切
C．相交 D．相离
答案　B
解析　圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0的圆心是C1(－2,2)，半径为r1＝1；圆x2＋y2－4x－10y－7＝0的圆心是C2(2,5)，半径为r2＝6，而|C1C2|＝＝5＝r2－r1，故两圆内切．
2．过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线方程是(　　)
A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0
C．5x＋3y－2＝0 D．不存在
答案　A
解析　两圆的公共弦所在直线方程为两圆方程相减而得，即x2＋y2＋6x＋4y－(x2＋y2＋4x＋2y－4)＝0，整理，得2x＋2y＋4＝0，即x＋y＋2＝0.
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是(　　)
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
答案　C
解析　圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标分别为(2，－3)和(3,0)，由题意，知线段AB的垂直平分线必过两圆圆心，所以线段AB的垂直平分线的方程是3x－y－9＝0，所以C正确．
4．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是(　　)
A．x2＋y2＝2
B．(x－2)2＋(y－2)2＝2
C．2＋2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝1
答案　B
解析　将已知圆的方程化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝5.过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为＝，则圆C2的半径长为.设C2的坐标为(x0，y0)，则＝，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圆心C2的坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.故选B.

5．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，下列结论正确的有(　　)
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0
B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a
D．y1＋y2＝2b
答案　ABC
解析　圆C2的方程可化为C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的坐标代入可得2ax1＋2by1＝a2＋b2,2ax2＋2by2＝a2＋b2.两式相减可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A，B正确；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确，D不正确．故选ABC．
二、填空题
6．两圆相交于(1,3)和(m，－1)两点，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________.
答案　3
解析　由平面几何性质知，两相交圆圆心的连线与两圆的公共弦垂直，且经过弦的中点，则＝－1，解得m＝5.∵弦中点坐标为(3,1)，∴3－1＋c＝0，解得c＝－2.∴m＋c＝3.
7．圆x2＋y2－16＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________.
答案　
解析　两圆的公共弦所在直线方程为4x－4y－4＝0，即x－y－1＝0，圆x2＋y2－16＝0的圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.由勾股定理，得公共弦长的一半为 ＝，
∴公共弦长为.
8．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为________.
答案　5－3
解析　根据题意，设圆G与圆N关于x轴对称，点Q′与点Q关于x轴对称，圆N的方程为(x＋4)2＋(y－2)2＝1，其圆心坐标为(－4,2)，半径r＝1，则圆G的圆心坐标为(－4，－2)，半径r′＝1，则圆G的方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝1，又由Q为圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，则Q′在圆G上，则有|AP|＋|AQ|＝|AP|＋|AQ′|，又|AP|＋|AQ′|的最小值为|MG|－R－r′＝－3＝5－3.

三、解答题
9．求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．
解　解法一：设经过两圆交点的圆系方程为
x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，
即x2＋y2－x－y－6＝0，
所以圆心坐标为.
又圆心在直线x－y－4＝0上，
所以－－4＝0，即λ＝－.
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
解法二：由得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x，
由解得或
所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y－1＝－(x－1)，
由得
所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，
半径为＝4，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
10．已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．
解　设圆B的半径长为r，
∵圆B的圆心在直线l：y＝2x上，
∴圆B的圆心可设为(t,2t)，
则圆B的方程是(x－t)2＋(y－2t)2＝r2，
即x2＋y2－2tx－4ty＋5t2－r2＝0，①
圆A的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，②
由②－①，得两圆的公共弦所在直线的方程为
(2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t2＋r2－2＝0.③
又圆B平分圆A的周长，∴圆A的圆心(－1，－1)必在公共弦上，将x＝－1，y＝－1代入方程③，
并整理得r2＝5t2＋6t＋6＝52＋≥，
∴当t＝－时，rmin＝.
此时，圆B的方程是2＋2＝.
B级：“四能”提升训练
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．

解　圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0 于是圆N的半径为y0，
从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.
因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为
y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝＝.
因为BC＝OA＝＝2，
而MC2＝d2＋2，
所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.

2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2＋y2＝4交于点A，B，与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于两个不同的点C，D.
(1)若直线AB的斜率为，求CD的长；
(2)若CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．

解　(1)因为直线CD的斜率为－，
所以直线CD的方程为y＝－x＋1，
即x＋y－＝0.
又圆M的圆心到CD的距离为＝，
所以|CD|＝2＝.
(2)当AB⊥x轴，CD∥x轴时，此时|AB|＝4，点E与点M重合，|PM|＝2，所以△ABE的面积S＝4，
当AB∥x轴，CD⊥x轴时，显然不存在(舍去)，
当AB与CD都不平行于坐标轴时，
可设AB：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
则点O到直线AB的距离d＝，
因为AB⊥CD，所以kCD＝－，
所以CD：y＝－x＋1，即x＋ky－k＝0，
点M(2,1)到直线CD的距离d′＝.
由题意知|AB|＝2＝2
＝2，
因为d′＝<1，所以k2>3.
因为点E是CD的中点，所以ME⊥CD，
所以|PE|＝＝＝，
所以△ABE的面积
S＝|AB|·|PE|＝，
记＝t，则0 S＝＝2∈，
综上所述S∈.