高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.4 曲线与方程导学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.4 曲线与方程导学案及答案，共15页。

2．4　曲线与方程
(教师独具内容)
课程标准：1.了解曲线与方程的对应关系，领会“曲线的方程与方程的曲线”的概念.2.熟悉求曲线方程的步骤以及利用方程研究曲线的性质.3.掌握求动点轨迹方程的方法．
学法指导：通过体会曲线上点的坐标与方程解的关系，进一步感受数形结合的基本思想，并类比直线、圆的学习过程，理解曲线的方程、曲线的性质及曲线之间的关系．
教学重点：曲线与方程的概念；求动点的轨迹方程．
教学难点：分析、判断曲线与方程的关系；求动点的轨迹方程.




有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，回运的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍．已知A，B两地相距10千米，顾客选A地或选B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A，B两地的售货区域分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．

知识点一　　　曲线的方程与方程的曲线的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
(1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.
则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程．
知识点二　　　两曲线的交点
已知两条曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)＝0，G(x，y)＝0，求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要联立两个方程得方程组求方程组的实数解就可以得到．
知识点三　　　点的轨迹方程
曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程．
知识点四　　　求动点M轨迹方程的一般步骤
(1)设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)；
(2)写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来；
(3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程．

1．曲线与方程概念的理解
(1)建立平面直角坐标系后，由于平面内的点与作为它的坐标的有序实数对建立了一一对应的关系，曲线上的点所满足的关系反映在点的横坐标x与纵坐标y之间有一定关系，这个关系通常用关于x，y的方程f(x，y)＝0表示出来．也就是说，曲线的几何条件在曲线和方程的概念中被转化成方程了．因此，曲线和方程的概念有它的纯粹性和完备性．“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，这阐明了曲线上的点的坐标没有不满足方程的(纯粹性)；“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，这阐明了适合条件的所有点都在曲线上(完备性)．只有同时具备了上述两个条件才能称方程f(x，y)＝0为曲线C的方程，同时称曲线C为方程f(x，y)＝0的曲线．它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．
(2)从集合的意义上来理解曲线和方程的概念
如果把直角坐标平面内曲线上的点所组成的集合记作A，方程f(x，y)＝0的解所对应的点的集合记作B，那么曲线和方程之间的两个关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，反映在集合A和B之间的关系上，就是A⊆B且B⊆A，即A＝B.
从集合相等的意义上来理解上述两条规定的必要性，有助于掌握曲线和方程的概念．
注意：(1)理解曲线和方程的概念，必须注意“两性”：定义中的条件①阐明曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外；定义中的条件②阐明适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏．这个概念的实质是一一对应，即作为曲线C的点集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程来研究曲线的性质，又可以深刻认识方程的几何背景．
(2)解决与“曲线”与“方程”有关命题的真假的判定问题，只要一一检验定义中的“两性”是否满足，并作出相应的回答即可．
2．对求动点M轨迹方程步骤的几点说明
(1)在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，要首先建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单．
(2)第三步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x(或y)的取值予以剔除．
(3)求动点的轨迹与求动点的轨迹方程既有联系又有区别，轨迹通常指的是图形(曲线的形状)，而轨迹方程则是一个方程．
3．求动点轨迹方程常见的方法
(1)直接法
当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等)变换成表示动点坐标(x，y)间的关系式(等式)的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法．直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质．
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法．利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征．
(3)代入法
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹的方法称为代入法(又称相关点法)．
(4)参数法
如果所求轨迹的动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法．参数法中常选变角、变斜率等为参数．
注意：①参数的取值范围影响着方程中x和y的取值范围．
②化简方程前后要注意等价性．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求曲线方程的关键是建立坐标系，而坐标系的建立通常是唯一的．(　　)
(2)x2＋y2＝1(x>0)表示的曲线是圆．(　　)
(3)y＝x和＝1表示相同的曲线．(　　)
(4)方程xy2＋x2y＝1所表示的曲线关于y＝x对称．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知定点A(0,1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C．则动点C的轨迹E的方程为________.
(2)点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.
(3)已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹方程是________.
答案　(1)x2＝4y　(2)5　(3)y2＝4x(x≥0)



题型一　曲线与方程的概念
例1　下列命题是否正确？若不正确，说明原因．
(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程是|x|＝2；
(2)以O(0,0)为圆心，2为半径的圆的方程是y＝；
(3)设点A(2,0)，B(0,2)，则线段AB的方程为x＋y－2＝0.
[解]　(1)错误．因为以方程|x|＝2的解为坐标的点，不都在直线l上，直线l只是方程|x|＝2所表示的图形的一部分．
(2)错误．以方程y＝的任一组解M(x0，y0)为坐标的点，均满足y0＝，即x＋y＝4，就是说M在以原点为圆心，2为半径的圆上，但是以原点为圆心，2为半径的圆上的点不全是方程y＝的解．如N(0，－2)在圆上，但不满足方程y＝，所以以O(0,0)为圆心，2为半径的圆的方程不是y＝.
(3)错误．方程x＋y－2＝0的解(－1,3)不在线段AB上，线段AB的方程是x＋y－2＝0(0≤x≤2)．

解决此类问题要从两方面入手
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．

[跟踪训练1]　设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是(　　)
A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0
C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f(x，y)＝0
答案　D
解析　命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的，“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A，C错误，而B显然错误，选D.
题型二　点与曲线的位置关系
例2　已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m.
[解]　(1)∵12＋(－2－1)2＝10，
()2＋(3－1)2＝6≠10，
∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上．
(2)∵M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
∴＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－.

判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．
(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；
(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．

[跟踪训练2]　已知0≤α<2π，若点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，求α.
解　∵点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，
∴(cosα－2)2＋sin2α＝3，∴cos2α－4cosα＋4＋sin2α＝3，
∴cosα＝.又0≤α<2π，∴α＝或.
题型三　两曲线的交点问题
例3　已知直线l：x＋y＝a及曲线C：x2＋y2－4x－4＝0.则实数a取何值时，l与C分别有一个交点、两个交点、无交点？
[解]　联立方程
消去y得2x2－(2a＋4)x＋a2－4＝0，
则Δ＝(2a＋4)2－8(a2－4)＝－4a2＋16a＋48，
Δ＝0即a2－4a－12＝0，得a＝6或a＝－2，此时有一解；
Δ>0即a2－4a－12<0，得－2 Δ<0即a2－4a－12>0，得a<－2或a>6，此时无解．
综上所述，当a＝－2或a＝6时有一个交点；
当－2 当a<－2或a>6时无交点．

(1)两曲线的交点个数的判断可以通过两曲线的方程联立求解来实现．方程组有几组解，则曲线就有几个交点．
(2)若验证点是否在两曲线上，或点是否为两曲线的交点，则只需将点的坐标代入两方程看是否是两方程的解即可判断．

[跟踪训练3]　(1)若直线x－2y－2k＝0与y＝x＋k的交点在曲线x2＋y2＝25上，则k的值是(　　)
A．1 B．－1
C．1或－1 D．以上都不对
(2)过曲线x2＋y2＝2和y＝x2交点的直线方程是(　　)
A．y＝－1 B．y＝－x
C．y＝1 D．y＝x
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)联立方程得两直线交点坐标为(－4k，－3k)，又点在曲线x2＋y2＝25上，代入得(－4k)2＋(－3k)2＝25，解得k＝±1.故选C．
(2)联立方程消去x，得y2＋y－2＝0，解得y＝1或y＝－2(舍去)，此时x＝1或x＝－1，∴交点为(1,1)和(－1,1)．故选C．
题型四　求曲线的方程
例4　设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．
[解]　解法一：(直接法)设B点坐标为(x，y)，由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，即OA中点B的轨迹方程为2＋y2＝(x≠0)．
解法二：(几何法)设B点坐标为(x，y)，由题意知CB⊥OA，OC的中点记为M，如右图，则|MB|＝|OC|＝，∴B点在以M为圆心，为半径的圆上，故B点的轨迹方程为2＋y2＝(x≠0)．

解法三：(代入法)设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x，y)，
由题意得即
又因为(x1－1)2＋y＝1，
所以(2x－1)2＋(2y)2＝1，
即2＋y2＝(x≠0)．
解法四：(交轨法)设直线OA的方程为y＝kx，当k＝0时，B为(1,0)；当k≠0时，直线BC的方程为y＝－·(x－1)，直线OA，BC的方程联立消去k即得其交点轨迹方程：y2＋x(x－1)＝0，
即2＋y2＝(x≠0,1)．显然B(1，0)满足2＋y2＝，故2＋y2＝(x≠0)为所求．

在一道题中求轨迹方程的方法可以有多种．在解题过程中，最容易出错的环节是轨迹方程中自变量的范围．

[跟踪训练4]　过点P(1,3)作两互相垂直的直线l1和l2，l1交x轴于点A，l2与y轴交于点B，求线段AB中点M的轨迹方程．

解　解法一：(直接法)
由平面几何知识可得P，O，A，B四点共圆，且AB中点M为圆心，设M(x，y)是轨迹上任一点，
则|OM|＝|PM|，故＝，
∴轨迹方程为x＋3y－5＝0.
解法二：(代入法或称相关点法)
设M(x，y)是轨迹上任一点，A(xA,0)，B(0，yB)，
∴x＝，y＝，∴A(2x,0)，B(0,2y)，∵l1⊥l2，
若l1与l2的斜率都存在(2x≠1)，
则k1k2＝－1，且k1＝，k2＝，
∴＝，∴x＋3y－5＝0.
若l1的斜率不存在，则A(1,0)，B(0,3)，
则将中点M代入方程x＋3y－5＝0适合．
∴所求轨迹方程为x＋3y－5＝0.
解法三：(参数法)
由题意可知l1的斜率存在且不为零或斜率不存在，则分以下两种情况讨论：
当l1的斜率存在且不为零时，
设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，
l1：y－3＝k(x－1)，故A点坐标为，
l2：y－3＝－(x－1)，故B点坐标为，
设AB中点坐标为(x，y)，
∴
∴＝2y－3，∴x＋3y－5＝0，
若l1的斜率不存在，则A(1,0)，B(0,3)，
中点M代入方程x＋3y－5＝0适合，
∴所求轨迹方程为x＋3y－5＝0.
题型五　由方程研究曲线的类型和性质
例5　(1)方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线是__________________________________________.
(2)讨论曲线C：|x|＋|y|＝1的性质，并画出其图像．
[解析]　(1)由方程(x＋y－1)＝0可得
或
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.∴方程表示的曲线是直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)由|x|＋|y|＝1及|x|≥0，|y|≥0，知|x|≤1，|y|≤1，所以曲线C在直线x＝1，x＝－1，y＝1，y＝－1围成的正方形内(包括边界)．
将x(或y)换为－x(或－y)，方程不变，则曲线C关于y轴(或x轴)对称，因此曲线C也关于原点对称．
当x≥0，y≥0时，曲线C即x＋y＝1(0≤x≤1)，表示以(1,0)与(0,1)为端点的线段，由对称性知曲线C的图像如图所示．

[答案]　(1)直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)　(2)见解析

讨论曲线的几何性质一般包括的几个方面
(1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围；
(2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点；
(3)研究曲线的对称性(关于x轴，y轴，原点等的对称性)；
(4)研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况；
(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表描点的方法先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线．

[跟踪训练5]　(1)方程xy2＋x2y＝1所表示的曲线(　　)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
(2)指出方程(2x＋3y－5)·[log2(x＋2y)－3]＝0表示的曲线是什么？
答案　(1)D　(2)见解析
解析　(1)设P(x0，y0)是曲线xy2＋x2y＝1上的任意一点，则x0y＋xy0＝1，点P关于直线y＝x的对称点为P′(y0，x0)，
∴y0x＋yx0＝x0y＋xy0＝1，
∴点P′在曲线xy2＋x2y＝1上，故该曲线关于直线y＝x对称．故选D.
(2)因为(2x＋3y－5)·[log2(x＋2y)－3]＝0，所以可得或者x＋2y＝8，也就是2x＋3y－5＝0(x<10)或者x＋2y＝8，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x<10)(去除端点)和一条直线x＋2y＝8.



1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　∵y＝－2≤0，而y2＝4x中y可正可负，∴点M在曲线y2＝4x上，但M的坐标不一定满足y＝－2.反之点M的坐标满足y＝－2时，点M却一定在曲线y2＝4x上．故选B.
2．已知直线l：x＋y－4＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,2)(　　)
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
答案　A
解析　将点M(2,2)的坐标代入方程验证知M∈l，M∉C．
3．方程＋＝1表示的图形是(　　)
A．一条直线
B．两条平行线段
C．一个正方形
D．一个正方形(除去四个顶点)
答案　D
解析　由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且x≠0，y≠0.当x>0，y>0时，方程可化为x＋y＝1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D.
4．若动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，连接点P与点Q(0，－1)，则线段PQ中点的轨迹方程是________.
答案　y＝4x2
解析　设P(x1，y1)，线段PQ的中点为M(x，y)，因为Q(0，－1)，所以所以因为P(x1，y1)在曲线y＝2x2＋1上，所以y1＝2x＋1，所以2y＋1＝2(2x)2＋1，化简为y＝4x2，所以线段PQ中点的轨迹方程为y＝4x2.
5．求平面内到点F(1,0)的距离和它到直线x＝－1的距离相等的点的轨迹方程．
解　设点M(x，y)为轨迹上任意一点，到直线的距离为d，则点M属于集合P＝{M||MF|＝d}．
由两点间的距离及点到直线的距离公式得
＝|x＋1|，
两边平方整理得y2＝4x为所求．



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点坐标是(　　)
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(1,1)，(－1，－1) D．(0,0)
答案　C
解析　由得或故选C．
2．已知A(1,0)，B(－1,0)，动点M满足||MA|－|MB||＝2，则点M的轨迹方程是(　　)
A．y＝0(－1≤x≤1) B．y＝0(x≥1)
C．y＝0(x≤－1) D．y＝0(|x|≥1)
答案　D
解析　∵||MA|－|MB||＝2＝|AB|，∴动点M的轨迹是两条射线，一条射线的端点为B，方向水平向左，另一条射线的端点为A，方向水平向右．
3．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是(　　)
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
答案　B
解析　由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度为＝5.设点C的坐标为(x，y)，则×5×＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
4．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，且M∩N≠∅，则b的取值范围是(　　)
A．－3≤b≤3 B．－3 C．0≤b≤ D．－3 答案　D
解析　曲线y＝即x2＋y2＝9(y>0)，表示半圆，直线斜率为1，画出图像知－3
5．(多选)曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．则下列结论正确的是(　　)
A．曲线C过坐标原点
B．曲线C关于x轴对称
C．曲线C关于坐标原点对称
D．若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2
答案　BCD
解析　由题意，得曲线C上的点P(x，y)满足的方程为·＝a2.对于A，将(0,0)代入方程，得a2＝1，与a>1矛盾，A错误；对于B，对曲线C上的任一点(x0，y0)，其关于x轴的对称点(x0，－y0)也在曲线C上，故曲线C关于x轴对称，B正确；对于C，对曲线C上的任一点(x0，y0)，其关于坐标原点的对称点(－x0，－y0)也在曲线C上，故曲线C关于坐标原点对称，C正确；对于D，S△F1PF2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即△F1PF2的面积不大于a2，D正确．故选BCD.
二、填空题
6．一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为________.
答案　3x2＋4y2＝48
解析　设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|，即|8－x|＝2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
7．已知方程①x－y＝0；②－＝0；③x2－y2＝0；④＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________.
答案　①
解析　①正确；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；④不正确．如点(0,0)在曲线C上，但其坐标不满足方程＝1.
8．曲线y＝－与曲线y＋|ax|＝0(a∈R)的交点个数是________.
答案　2
解析　y＝－即x2＋y2＝1(y≤0)．对于y＝－|ax|，当a≥0时，y＝当a＜0时，y＝画出它们在同一平面直角坐标系中的大致图像如图所示，由图知曲线y＝－与曲线y＋|ax|＝0(a∈R)有两个交点．

三、解答题
9．已知O为坐标原点，直线y＝x－2与曲线y2＝2x相交于A，B两点，求证：OA⊥OB.
证明　联立两个方程得方程组
解方程组可得或
不妨令A的坐标为(3＋，1＋)，B的坐标为(3－，1－)，
则＝(3＋，1＋)，＝(3－，1－)，
·＝(3＋)(3－)＋(1＋)(1－)＝0，
所以OA⊥OB.
10．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．
由题设知·＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为y＝－x＋.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，
|PM|＝，所以△POM的面积为.
B级：“四能”提升训练
1．已知在△ABC中，三边c>b>a，且2b＝a＋c，b＝2，试求点B的轨迹方程．
解　如图，以AC所在的直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
由于b＝|AC|＝2，则A点坐标为(－1,0)，C点坐标为(1,0)．
因为2b＝a＋c，
所以4＝|AB|＋|BC|.

设B点坐标为(x，y)，则
|AB|＝，|BC|＝.
所以4＝＋.
移项，两边平方并整理，
得4－x＝2.
两边再平方并整理，得3x2＋4y2＝12.
又c>a，即|AB|>|BC|，且A，B，C三点不共线，
所以0 所以符合题意的动点B的轨迹方程为
3x2＋4y2＝12(0 2．已知A，B为两定点，动点M到点A的距离与其到点B的距离的比值为常数λ，求动点M的轨迹曲线的形状．
解　以的方向为x轴的正方向，线段AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系．
设|AB|＝2a(a>0)，则A(－a,0)，B(a,0)．
设M(x，y)，则由题设，得＝λ，
即＝λ，
化简得(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋2a(1＋λ2)x＋(1－λ2)a2＝0.
①当λ＝1，即|MA|＝|MB|时，动点M的轨迹方程是x＝0，
所以动点M的轨迹是直线x＝0.
②当λ≠1时，动点M的轨迹方程是
x2＋y2＋x＋a2＝0.
所以动点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
综上，当λ＝1时，动点M的轨迹是直线x＝0；当λ≠1时，动点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆．