高中人教B版 (2019)2.6.1 双曲线的标准方程学案设计

这是一份高中人教B版 (2019)2.6.1 双曲线的标准方程学案设计，共15页。

2.6 双曲线及其方程
2.6.1　双曲线的标准方程
(教师独具内容)
课程标准：1.经历从具体问题情境抽象出双曲线模型的过程，掌握双曲线的定义和标准方程.2.能利用双曲线的定义和标准方程分析解决有关问题．
学法指导：学习本节内容时，应注意以下几点：1.先通过动手试验得到双曲线模型的直观图形，再通过“数”的精确描述来下定义；2.要善于运用类比来学习，即类比椭圆的定义和标准方程，找出它们之间的联系和区别；3.体会数形结合思想方法在学习中的作用．
教学重点：双曲线的定义及标准方程．
教学难点：双曲线标准方程的推导.




一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s．已知A，B两地相距800 m，若此时的声速为340 m/s，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．

知识点一　双曲线的定义
一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距.
知识点二　双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形


标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
特别提醒：对双曲线标准方程中参数的理解

(1)在双曲线的标准方程中，c2＝a2＋b2，c>a>0，其中c最大，a，b的大小关系可能为a＝b，ab，其中a，b，c构成如图的直角三角形，我们把它称为“特征三角形”．
(2)方程中的两个参数a与b，确定双曲线的形状和大小，是双曲线的定型条件，焦点F1，F2的位置，是双曲线的定位条件，它决定双曲线标准方程的类型．
(3)方程Ax2＋By2＝C表示双曲线的充要条件：ABC≠0，且AB<0.若AC>0，则焦点在x轴上；若AC<0，则焦点在y轴上．

1．双曲线的定义中应注意的三个问题
(1)注意定义中的条件2a<|F1F2|不可缺少．若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；若2a>|F1F2|，则动点的轨迹不存在．
(2)注意定义中的常数2a是小于|F1F2|且大于0的实数．若a＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
(3)注意定义中的关键词“绝对值”．若去掉定义中的“绝对值”，则动点的轨迹只能是双曲线的一支．
2．求双曲线标准方程的方法
(1)定义法：若由题设条件能判断出动点的轨迹是双曲线，可根据双曲线的定义确定其方程，以减少运算量．
(2)待定系数法，其步骤为：
①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；
②设方程：根据上述判断设标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)；
③寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c的方程组；
④得方程：解方程组代入所设方程即为所求．
3．方程mx2＋ny2＝1(mn<0)表示的曲线为双曲线，它包含焦点在x轴上和在y轴上两种情形，方程变形为＋＝1.
当m>0，n<0时，方程为－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，此时a＝，b＝；
当m<0，n>0时，方程为－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，此时a＝，b＝.在求双曲线的标准方程时，若焦点的位置不确定，则常考虑上述设法．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在双曲线的标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．(　　)
(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．(　　)
(3)双曲线－＝1的焦点在x轴上，且a＞b.(　　)
(4)若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M(1,2)到点N(－3，－1)的距离，则点P的轨迹为双曲线．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)双曲线x2－4y2＝1的焦距为________.
(2)与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线的方程为________.
(3)双曲线－＝1上一点P到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为________.
答案　(1)　(2)－＝1　(3)23或7



题型一 双曲线的定义
例1　已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝17，求|PF2|的值．
[解]　在双曲线－＝1中，
因为a＝8，b＝6，故c＝10.
由P是双曲线上一点，得||PF1|－|PF2||＝16.
所以|PF2|＝1或|PF2|＝33.
又|PF2|≥c－a＝2，得|PF2|＝33.

本题容易忽略|PF2|≥c－a这一条件，而得出错误的结论|PF2|＝1或|PF2|＝33.在双曲线中，为什么有|PF2|≥c－a呢？事实上，设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P点为双曲线右支上的点，则由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a.又由三角形两边之和大于第三边可知，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2c(当且仅当P在线段F1F2上时等号成立)，∴|PF2|＋2a＋|PF2|≥2c，即|PF2|≥c－a.

[跟踪训练1]　已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
解　①当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
②当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
③当k<0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
④当0 ⑤当k>1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆.
题型二 双曲线的标准方程
例2　求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在坐标轴上，且过M，N两点；
(2)两焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，且过点P.
[解]　(1)解法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵点M，N在双曲线上，
∴无解．
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)．
∵点M，N在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
解法二：∵双曲线的焦点位置不确定，
∴设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
∵点M，N在双曲线上，则有
解得
∴所求双曲线的标准方程为－＋＝1，
即－＝1.
(2)由已知可设双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，
代入点P可得－＝1，　①
又a2＋b2＝25, ②
由①②联立可得a2＝9，b2＝16，
∴双曲线的标准方程为－＝1.

求双曲线标准方程的一般步骤
(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能．
(2)设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，也可设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a，b，c(m，n)代入所设方程即为所求．

[跟踪训练2]　根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)经过点P，Q；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
解　(1)解法一：若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
由于点P和Q在双曲线上，
所以无解．
若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
将P，Q两点坐标分别代入可得
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
解法二：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
因为点P，Q在双曲线上，
所以解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)依题意可设双曲线的方程为
－＝1(a＞0，b＞0)．
则有解得
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.
题型三 双曲线定义的应用
例3　如图，F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．

(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[解]　因为双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
由于c－a＝5－3＝2,10>2,22>2，故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝0，
所以∠F1PF2＝90°，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.

1．双曲线中的焦点三角形
双曲线上一点与双曲线的两个焦点构成的三角形称为焦点三角形，如本题中的△PF1F2.
2．求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：利用公式S△PF1F2＝|F1F2|·|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题时，要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系．

[跟踪训练3]　(1)若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围；
(2)双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，求点P的坐标．
解　(1)因为方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，
所以即
所以m>5.
所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．
(2)由双曲线的方程知，a＝3，b＝4，c＝5，不妨设点P在第一象限，坐标为(xP，yP)，F1为左焦点，F2为右焦点，那么
由①得，(|PF1|－|PF2|)2＝36，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
所以|PF1|·|PF2|＝32.
在直角三角形PF1F2中，|PF1|·|PF2|＝|F1F1|·yP＝32，所以yP＝，代入双曲线的方程得，xP＝，即点P的坐标是，再根据双曲线的对称性得点P的坐标还可以是，，.
题型四 利用双曲线的定义求轨迹方程
例4　如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指出它表示什么曲线．

[解]　如图，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理得sinA＝，
sinB＝，sinC＝.
因为2sinA＋sinC＝2sinB，
所以2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
即|AC|－|BC|＝.
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|.
所以由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支且不包括点(，0)．
因为a＝，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝6.
所以顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．
故顶点C的轨迹为双曲线右支且除去点(，0)．

寻找动点C的约束条件很关键．解答本题应注意：
(1)将角的关系2sinA＋sinC＝2sinB转换为三角形边的关系|CA|－|CB|＝|AB|，然后联想双曲线的定义使问题简化．
(2)不可忽视三角形的条件，由点A，B，C不共线，除去特殊点．

[跟踪训练4]　如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

解　∵圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
∴圆心为F1(－5,0)，半径r1＝1.
∴圆F2：(x－5)2＋y2＝42，
∴圆心为F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3<|F1F2|＝10，
∴M点的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，
且a＝，c＝5，∴b＝，
∴动圆圆心M的轨迹方程为
x2－y2＝1.



1．动点P到点M(1,0)的距离与到点N(5,0)的距离之差为2a，则当a＝1和a＝2时，点P的轨迹分别是(　　)
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
答案　C
解析　由题意，知|MN|＝4，当a＝1时，|PM|－|PN|＝2a＝2＜4，此时点P的轨迹是双曲线的一支；当a＝2时，|PM|－|PN|＝2a＝4＝|MN|，点P的轨迹为以N为端点沿x轴向右的一条射线．故选C.
2．若双曲线的一个焦点坐标为(0，－2)，且经过点(3,2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．y2－＝1 D．－＝1
答案　C
解析　设P(3,2)，F1(0，－2)，F2(0,2)，则|PF1|＝5，|PF2|＝3，∴2a＝|PF1|－|PF2|＝2，即a＝1，又双曲线的焦点在y轴上，∴该双曲线的标准方程为y2－＝1.
3．(多选)若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．x2－＝1 D．x2－y2＝1
答案　AD
解析　不妨设曲线的焦点为F1，F2，假设|PF1|＝2|PF2|，若是椭圆，则|PF1|＋|PF2|＝2|PF2|＋|PF2|＝3|PF2|＝2a，即|PF1|＝，|PF2|＝；若是双曲线，则|PF1|－|PF2|＝2|PF2|－|PF2|＝|PF2|＝2a，即|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
可以验证，对于选项B，C，上述条件下的数量关系都不能保证构成三角形PF1F2，只有A，D中的|PF1|，|PF2|，|F1F2|能构成三角形．即存在“Ω点”的曲线是＋＝1和x2－y2＝1.
4．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________.
答案　－y2＝1
解析　由题意可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由·＝0得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.又根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝±2a，两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，b2＝c2－a2＝5－4＝1.所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
5．已知双曲线的两个焦点F1，F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．
解　若以线段F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式．由题意得2a＝24,2c＝26.
所以a＝12，c＝13，b2＝132－122＝25.
此时双曲线的焦点在x轴上，
双曲线的方程为－＝1.
若以线段F1F2所在的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系．
此时双曲线的焦点在y轴上，
则双曲线的方程为－＝1.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．在方程mx2＋ny2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
答案　D
解析　方程可化为＋y2＝1，∵mn<0，∴<0.∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．
2．已知方程－＝1表示的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)
A．k>5 B．k>5或－2 C．k>2或k<－2 D．－2 答案　B
解析　由于方程－＝1只需满足(k－5)与(|k|－2)同号，方程即能表示双曲线，所以(k－5)(|k|－2)>0，即或解得k>5或－2 3．若F1，F2是双曲线8x2－y2＝8的两焦点，点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，则△PF1F2的周长为(　　)
A．17 B．16
C．20 D．16或20
答案　D
解析　双曲线8x2－y2＝8化为标准方程为x2－＝1，所以a＝1，c＝3，|F1F2|＝2c＝6.因为点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，所以|PF1|＝|F1F2|＝6或|PF2|＝|F1F2|＝6，不妨设|PF1|>|PF2|，当|PF1|＝6时，根据双曲线的定义有|PF2|＝|PF1|－2a＝6－2＝4，所以△PF1F2的周长为6＋6＋4＝16；同理当|PF2|＝6时，△PF1F2的周长为6＋6＋8＝20.故选D.
4．已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为(　　)
A．8 B．9
C．16 D．20
答案　B
解析　由已知，得|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20.又|AB|＝4，则|AF2|＋|BF2|＝16.根据双曲线的定义，知2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，所以4a＝|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，即a＝3，所以m＝a2＝9.
5．(多选)若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线可能是下图中的(　　)

答案　CD
解析　方程可化为y＝ax＋b和＋＝1.从选项B，D中的两个椭圆看，a，b∈(0，＋∞)，但由B中直线可知a<0，b<0，矛盾，故B错误；由D中直线可知a>0，b>0，故D正确．由A中双曲线可知a<0，b>0，但直线中a>0，b>0，矛盾，故A错误．由C中的双曲线可知a>0，b<0，和直线中a>0，b<0一致，故C正确．故选CD.
二、填空题
6．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且·＝0，||·||＝2，则该双曲线的标准方程是__________________.
答案　－y2＝1
解析　∵·＝0，∴⊥，∴||2＋||2＝40.∵|||－|||＝2a，∴||·||＝20－2a2＝2，∴a2＝9，b2＝1，∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
7．已知双曲线－＝1上一点P到F(3,0)的距离为6，O为坐标原点，若＝(＋)，则||的值为________.
答案　1或5
解析　如图，当P在右支上时，F(3,0)是右焦点，F1(－3,0)是左焦点，∵|PF1|－|PF|＝2a＝4，

∴|PF1|＝10.
∵＝(＋)，
∴Q为PF的中点，
则||＝|PF1|＝5.
当P在左支上时，同理可得||＝1.
综上所述，答案为1或5.
8．已知椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是________，△F1PF2的面积为________.
答案　　
解析　不妨设点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点，因为P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2.又P在双曲线上，所以|PF1|－|PF2|＝2，两式联立，
得|PF1|＝＋，|PF2|＝－.又|F1F2|＝4，根据余弦定理可以求得cos∠F1PF2＝.
sin∠F1PF2＝＝，
所以S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝.
三、解答题
9．已知椭圆x2＋2y2＝32的左、右两个焦点分别为F1，F2，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4.求动点P的轨迹E的方程．
解　椭圆的方程可化为＋＝1，
所以|F1F2|＝2c＝2＝8，
又因为|PF1|－|PF2|＝4<8.
所以动点P的轨迹E是以F1(－4,0)，F2(4,0)为焦点，
2a＝4，a＝2的双曲线的右支，
由a＝2，c＝4得b2＝c2－a2＝16－4＝12，
故动点P的轨迹E的方程为－＝1(x≥2)．
10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
解　(1)椭圆的方程可化为＋＝1，
焦点在x轴上，且c＝＝，
故设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则有解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设点M在右支上，则有
|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，
又|F1F2|＝2，
所以在△MF1F2中，边MF1最长，
cos∠MF2F1＝＜0，
所以∠MF2F1为钝角，△MF2F1为钝角三角形．
B级：“四能”提升训练
1．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离．
解　如图所示，不妨设点M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，则由·＝0可得MF1⊥MF2，

设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线的定义知，m－n＝2a＝8，　①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，　 ②
由①②得mn＝8，
所以S△MF1F2＝mn＝4＝|F1F2|·h，
所以h＝.
2．A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角．
解　如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5，2)．

因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．
设敌炮阵地P的坐标为(x，y)，
因为kBC＝－，BC的中点D(－4，)，
所以直线lPD：y－＝(x＋4)．①
又|PB|－|PA|＝4，
故P在以A，B为焦点的双曲线的右支上．
则双曲线的方程为－＝1(x>0)．②
联立①②式，得x＝8，y＝5，
所以点P的坐标为(8,5)．
因此kPA＝＝.故炮击的方向角为北偏东30°.