湖北省四校2022-2023学年高二数学下学期5月联考试题（Word版附解析）

这是一份湖北省四校2022-2023学年高二数学下学期5月联考试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
郧阳中学恩施高中随州二中襄阳三中高二下学期五月联考
高二数学试卷

考试时间： 试卷满分：
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（    ）．
A．20 B．120 C．360 D．720
2．在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（    ）
A．4 B．8 C．16 D．32
3．近期襄阳三中在举行新团员竞选活动，已知襄阳三中优秀学生的概率约为10%，在全体学生中有20%是团员，他们中优秀学生概率约为40%，则非团员中优秀学生的概率约为（    ）
A．2.5% B．3.2% C．4.8% D．2%
4. 襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于1970年正式通车，在和襄阳城长达53年的相处里，于襄阳人来说一桥早已无可替代。江汉大桥由主桥架、上下水平纵向联结系、桥门架和中间横撑架以及桥面系组成．下面是一桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成．其中，那么直线AH与直线IG所成角的余弦值为（    ）





 
A． B． C． D．
5．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（    ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若函数在区间上有最大值，则实数m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
7．已知为椭圆上任一点，过作圆的两条切线，，切点分别为，，则的最小值为（    ）
A．0 B．
C． D．
8．已知函数，若存在两条不同的直线与函数和图像均相切，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．下列说法中正确的是（    ）
A．已知随机变量X服从二项分布，则
B．“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件
C．已知随机变量X的方差为，则
D．已知随机变量X服从正态分布且，则
10．已知为坐标原点，为抛物线上一点，直线与交于，两点，过，作的切线交于点，则下列结论正确的是（    ）
A． B．若点为，且直线与倾斜角互补，则
C．点在定直线上 D．设点为，则的最小值为3
11．已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（    ）
A．直线 // 平面
B．若，则平面
C．直线到平面的距离为
D．若取得最小值，则
12．已知是函数的零点，是函数的零点，且，则下列说法正确的是（    ）
（参考数据：）
A．a≤0
B．若．则
C．存在实数a，使得，且成等差数列
D．存在实数a，使得成等比数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则_______.
14．已知，，，且，，，其中是自然对数的底数，则实数，，的大小关系是____________.（用“0，，故在上存在唯一的零点，
即方程有解，则存在实数a，使得成等比数列，故D正确；
故选：BD.
13.511
14【答案】
【分析】构造函数，，，，，分别利用导数研究函数在上的单调性和在上的单调性，即可比较大小.
【详解】设，，则 ，，
由题意知，，，，
因为在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，即，
因为 在上恒成立，所以在上单调递减，
所以.
故答案为：
15
【答案】/
【分析】设，则，由双曲线的定义可得，由题意可知四边形为矩形，在中，由勾股定理解得，在中，由勾股定理可求得离心率.
【详解】如图所示，设双曲线的左焦点为点，连接，设，则，

由双曲线的定义可得，
由于，则,又，则四边形为矩形，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
在中，由勾股定理得，即，
．
故答案为：.
16【答案】
【分析】记事件表示从第i个盒子里取出白球，利用全概率公式可得，进而可得，然后构造等比数列，求通项公式即得.
【详解】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，，
所以，
，
，
进而可得，，
又，，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
故答案为：；.
17
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据结合题意可得是以为首项，1为公差的等差数列，进而可得的通项公式；
（2）根据累加法与错位相减法求解即可.
【详解】（1）由，得，
因为，所以，
所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，
所以，当时，，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为．
（2）由知：
当时，，
①，
则②，
由得：，
化简得：，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为．
18【答案】(1)分布列见解析，
(2)答案见解析

【分析】（1）由题意Y的可能取值为0，1，2，3．利用超几何分布求出对应的概率，进而可得分布列，结合数学期望公式计算即可求解；
（2）利用间接求法和题意中给的数据求出的概率，结合概率的定义和表示意义即可下结论.
【详解】（1）Y的可能取值为0，1，2，3．
；；
；．
所以Y的分布列如下：
Y
0
1
2
3
P




．
（2）
.
0.013概率非常小，因此中奖人数不超过6人是小概率事件，
在一次试验中几乎不可能发生，而现在发生了，从这个角度，就可以怀疑商场是虚假宣传．
换一个角度，因为样本数据较少，中奖人数不超过6人是一个随机事件，
在一次试验中可能发生，所以从这个角度也可以不怀疑商场的宣传.
19【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）先证明平面,再根据线面垂直的性质定理即可证明结论；
（2）建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，设，求出平面的一个法向量，根据平面与平面的夹角的余弦值求得参数，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）连接与相交于点，连接，如图所示：

∵四边形为菱形，∴为的中点，则．
为等边三角形，有，平面，
，∴平面,
平面，∴，
又，平面，，
∴平面,∵平面，∴．
（2）由（1）知，，且平面，
故平面，而平面，故平面平面，
分别取的中点，连接，
则，∴平面，为等边三角形，，
而平面平面，平面，故平面，
以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
设，则，
∴，，
设平面的一个法向量，则有，
令，则，，即，
又∵平面的法向量为，
∴平面与平面的夹角的余弦值为,
∴，∴或（舍），
此时，又，
∴点到平面的距离为：．
20【答案】(1)分布列见解析，
(2)方案二，理由见解析
(3)（万元）

【分析】（1）根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式，计算出概率，列分布列即可得出期望；
（2）根据方案二，按照（1）的方法计算期望，比较方案一的期望即可；
（3）根据正态分布，利用给定区间的概率计算即可得解.
【详解】（1）对于方案一，由条件可知有可能取值为3，4，5，6，
， ，
，  ，
∴的分布列为：

3
4
5
6





期望值.
（2）对于方案二，由条件可得值为3，4，5，6，
，  ，
，  ，
∴的期望值
∵所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高.
（3）由（1）（2）可知，平均每位员工获得奖金的数学期望的最大值为，
则给员工颁发奖金的总数为（万元），
设每位职工为企业的贡献的数额为，
所以获得奖金的职工数约为
.
（人）
则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）.
21【答案】(1)方程为．
(2)方程为．

【分析】（1）直线AB的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式求出的值，即可得解；
（2）设直线AB的方程为，与抛物线联立可得，直线AQ的方程与抛物线联立，设，则，设，同理可得，利用三角形面积公式可得，求解即可.
【详解】（1）设，因为抛物线C的焦点为，
所以当直线l过C的焦点时，直线AB的方程为，
由得．
则，
，
整理得，
所以，故抛物线C的方程为．
（2）易知直线AB的斜率在且不为零，设直线AB的方程为，
由得，
则，即或，．
易知直线AQ的方程为，
由得，
设，则，
设，同理可得，
则
，
得，故直线AB的方程为．

22【答案】(1)
(2)比更接近，理由见解析

【分析】（1）根据已知条件转化为最值问题，讨论的单调性，从而求出a的取值范围；
（2）根据已知条件转化为比较两个函数的大小，利用函数的单调性，求出比更接近
【详解】（1）因为存在，使得成立，即
由题设知，，
①当时，恒成立，在R上单调递增；
即在单调递增，，不满足，
所以舍去.
②当时，令，得，
当时，单调递减，当时，单调递增；
当时，在单调递增，，不满足，所以，舍去.
当时，，在单调递减，在单调递增，               所以成立，故当时成立.
综上：实数a的取值范围.
（2）令，
，在单调递减．因为
故当时，；当时，；
令，
，令，，在单调递增，
故，所以，则在单调递增，
所以，由（1）知，;
①当时，，,
令，
所以，故在单调递减，
所以，由（1）知，所以，
即，故，
所以比更接近；
②当时，，，
令，，令，
，在上单调递减，
所以，，在单调递减，
所以，由（1）知，所以，
即，故，
所以比更接近；
综上：当及，比更接近．