选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算综合训练题

第一章　1.1　1.1.1

A组·素养自测

一、选择题

1．空间任意四个点A，B，C，D，则＋－等于( D )

A．  B．

C．  D．

[解析]　＋－＝(＋)－＝－＝.

2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是 ( D )

A．a＝b　　　　　　　　  B．a＋b为实数0

C．a与b方向相同　　  D．|a|＝3

[解析]　因为a＝－b且|b|＝3，所以|a|＝|－b|＝3.

3．(多选)下列说法错误的是( ABC )

A．在平面内共线的向量在空间不一定共线

B．在空间共线的向量在平面内不一定共线

C．在平面内共线的向量在空间一定不共线

D．在空间共线的向量在平面内一定共线

[解析]　在平面内共线的向量，在空间一定共线，A错，C错．在空间共线的向量，平移到一个平面上一定共线，B错，D对．

4．在三棱柱ABC－DEF中，G为AD的中点，若＝a，＝b，＝c，＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝( B )

A．1  B．0

C．－1  D．2

[解析]　＝＋＝＋

＝(－)＋(－)

＝(a－b)＋(c－a)＝a－b＋c，

∴x＝，y＝－1，z＝，∴x＋y＋z＝0.

5．如图P为空间中任意一点，动点Q在△ABC所在平面内运动，且＝2－3＋m，则实数m＝( C )

A．0　　  B．2

C．－2　　  D．1

[解析]　因为＝2－3＋m，所以＝2－3－m.又动点Q在△ABC所在平面内运动，所以2－3－m＝1，解得m＝－2.

二、填空题

6．空间任意四个点A，B，C，D，则＋－＋2＝  　.

[解析]　＋－＋2＝＋＋2

＝－＋2

＝＋2＝.

7．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若＝x·＋2y·＋3z·，则x＋y＋z＝ 　.

[解析]　如图所示，有＝＋＋＝＋＋(－1)·.

又∵＝x·＋2y·＋3z·，

∴解得

∴x＋y＋z＝1＋－＝.

8．如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝_1__.

[解析]　如题图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋(－＋－)

＝＋＋－＝＋＋.

∵＝x＋y＋z，∴x＋y＋z＝＋＋＝1.

三、解答题

9.如图所示，在四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，底面ABCD为矩形，化简下列各式．

(1)＋－＋－；

(2)－＋－.

[解析]　(1)原式＝＋＋－－＝.

(2)原式＝＋－＝.

10．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，点E在AC′上，且AEEC′＝12，点F、G分别是B′D′和BD′的中点，求下列各式中的x、y、z的值．

(1)＝x＋y＋z；

(2)＝x＋y＋z；

(3)＝x＋y＋z.

[解析]　(1)∵AEEC′＝12，

∴＝

＝(＋＋)＝(＋＋)

＝＋＋，

∴x＝，y＝，z＝.

(2)∵F为B′D′的中点，

∴＝(＋)＝(＋＋＋)

＝(2＋＋)＝＋＋，

∴x＝1，y＝，z＝.

(3)∵G、F分别为BD′、B′D′的中点，

∴＝，∴x＝，y＝0，z＝0.

B组·素养提升

一、选择题

1．已知正方形ABCD的边长为1，设＝a、＝b、＝c，则|a＋b＋c|等于( D )

A．0  B．3

C．2＋  D．2

[解析]　利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a＋b＋c|＝2||＝2.

2．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，则＋＝( A )

A．a＋b＋c

B．a＋c

C．a＋b＋c

D．a＋b＋c

[解析]　＋＝＋＋＋＋＝＋＋＝a＋b＋c，故选A．

3．(多选)(2023·泰州高二检测)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是( BD )

A．＝2－－

B．＝＋－

C．＝＋＋

D．＝＋＋

[解析]　当＝m＋n时，

可知点M与点A，B，C共面，所以＋＝m(＋)＋n(＋)，

所以(m＋n－1)＝－＋m＋n，

所以＝

＝－＋＋，

不妨令－＝x，＝y，＝z，且此时x＋y＋z＝1，

因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1,1＋＋＝≠1，＋＋＝1，由上可知：B，D满足要求．

二、填空题

4．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中：

①－＝；②＝＋＋；③＝；④＋＋＋＝.

正确的是_①②③④__.

[解析]　－＝＋＝，①正确；＋＋＝＋＋＝，②正确；③显然正确；∵＋＋＝，＋＝，∴④正确．

5．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PMMC＝21，N为PD中点，则满足＝x＋y＋z的实数x＝ －　，y＝ －　，z＝ 　.

[解析]　在PD上取一点F，使PFFD＝21，连接MF，则＝＋，

∵＝－＝－＝＝(－)，

＝＝＝－，

∴＝－－＋，

∴x＝－，y＝－，z＝.

6．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝ 　.

[解析]　∵P、A、B、C四点共面，对于＝＋＋λ，∴＋＋λ＝1，解得λ＝.

三、解答题

7．已知三个向量a、b、c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，向量p、q、r是否共面？

[解析]　假设存在实数λ、μ，使p＝λq＋μr，则a＋b－c＝(2λ－7μ)a＋(－3λ＋18μ)b＋(－5λ＋22μ)c，

∵a，b，c不共面，

∴，∴.

即存在实数λ＝，μ＝，

使p＝λq＋μr，故p、q、r共面．

8．已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，＝α＋β，求α＋β的值．

[解析]　∵A、B、P三点共线，

∴存在实数t，使＝t，

∵＝－，＝－，

∴有＝(1－t)＋t，

∵＝α＋β，

∴α＝1－t，β＝t.∴α＋β＝1.