数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示复习练习题

第一章　1.3　1.3.1

A组·素养自测

一、选择题

1．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于Ozx平面对称的点的坐标为( A )

A．(3，－1,5)　  B．(－3，－1,5)

C．(3，－1，－5)　  D．(－3,1，－5)

[解析]　点P(3,1,5)关于Ozx平面对称的点的坐标为(3，－1,5)，故选A．

2．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( C )

A．在x轴上  B．在xOy平面内

C．在yOz平面内  D．在xOz平面内

[解析]　由A(0，－2,3)的x轴坐标为0可知，点A在yOz平面内，故选C．

3．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( D )

A．7　　  B．－7

C．－1  D．1

[解析]　由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，所以c＋e＝－3＋4＝1.

4．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( C )

A．关于x轴对称

B．关于yOz平面对称

C．关于坐标原点对称

D．以上都不对

[解析]　点P与Q，x，y，z轴均相反，故关于坐标原点对称，选C．

5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于( C )

A．  B．

C．  D．

[解析]　{，，}为单位正交向量，＝＋＝－＋，∴＝.

二、填空题

6．点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝_0__.

[解析]　由题可知B(1,0，－1)，则x＝1，y＝0，z＝－1，∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0.

7．已知A(3,2，－4)，B(5，－2,2)，则线段AB中点的坐标为_(4,0，－1)__.

[解析]　A、B中点坐标为＝(4,0，－1)．

8．已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为_(5,4,1)__.

[解析]　设B(x，y，z)，则解

∴B(5,4,1)．

三、解答题

9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标．

[解析]　正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，且E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，

∴正六边形EFGHIJ各顶点的坐标为E，F，G，H，I，J.

10.如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标．

[解析]　由题意知，点B的坐标为(1,1,0)，由点A与点B关于x轴对称，得A(1，－1,0)，

由点C与点B关于y轴对称，得C(－1,1,0)，由点D与点C关于x轴对称，得D(－1，－1,0)．

又P(0,0,2)，E为AP的中点，F为PB的中点，

所以由中点坐标公式可得E，F.

B组·素养提升

一、选择题

1．设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是( C )

A．z轴

B．与Oxy平面平行的一直线

C．与Oxy平面垂直的一直线

D．Oxy平面

[解析]　(2,2，z)表示过点(2,2,0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线，选C．

2．(多选)点P(，，1)为空间直角坐标系中的点，下列说法正确的是( BC )

A．过P作y轴的垂面，垂足的坐标为(0,0,1)

B．过P作x轴的垂面，垂足的坐标为(，0,0)

C．过P作平面yOz的垂线，垂足的坐标为(0，，1)

D．过P作平面xOz的垂线，垂足的坐标为(0，，0)

[解析]　由空间点的坐标的定义，知B，C正确，A中点的坐标为(0，，0)，D中点的坐标为(，0,1)．

3.三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC的中点，以，，方向上的单位向量为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则的坐标为( B )

A．  B．

C．  D．

[解析]　＝－

＝(＋)－(＋)

＝－

＝，选B．

4．已知＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为( A )

A．(12,14,10)　  B．(10,12,14)

C．(14,10,12)　  D．(4,2,3)

[解析]　＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12,14,10)，

∴点A的坐标为(12,14,10)，故选A．

二、填空题

5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是_(3,2,5)__.

[解析]　＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，所以向量在基底{i，j，k}下的坐标是(3,2,5)．

6．如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝C．建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是 　.

[解析]　∵＝＋＋＝i＋j＋k，

∴重心G的坐标为.

7．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为_(1,1,1)__；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为 　.

[解析]　由题意知p＝2a＋b－c，

则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1,1,1)．

设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则

p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，

又∵p＝2a＋b－c，∴

解得x＝，y＝，z＝－1，

∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为.

三、解答题

8.如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．

[解析]　过点D作DE⊥BC，垂足为E.

在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得||＝1，||＝，

∴||＝||sin 30°＝，

||＝||－||＝||－||cos 60°＝1－＝，

∴点D的坐标为.

9.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点， 求DE，EF的长度．

[解析]　以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．

因为|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，所以C(0,0,0)，

＝2i＋0j＋0k所以点A的坐标为(2,0,0)，

同理B(0,2,0)，C1(0,0,2)，因为B1在Cxy平面内的射影为B(0,2,0)且|BB1|＝2，所以点B1的坐标为(0,2,2)，

由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，

所以＝(1,1,0)＝i＋j，＝(0,1,2)＝j＋2k，

所以＝(j＋2k)－(i＋j)＝－i＋2k，

||＝＝即DE＝，

同理EF＝＝.