数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第1课时随堂练习题

第一章　1.4　1.4.2　第1课时

A组·素养自测

一、选择题

1．已知直线l的方向向量为a＝(－1,0,1)，点A(1,2，－1)在l上，则点P(2，－1,2)到l的距离为( C )

A．　　  B．4

C．　　  D．3

[解析]　因为A(1,2，－1)，P(2，－1,2)，所以＝(－1,3，－3)，则||＝，＝，由点到直线的距离公式得d＝＝.

2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( B )

A．  B．

C．  D．3

[解析]　∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1,1)，＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，

∴两平面间的距离d＝＝＝.故选B.

3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是( B )

A．  B．

C．  D．

[解析]　建立坐标系如图，

则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，O.

∴＝(0,1,0)，＝(－1,0,1)．

设n＝(1，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量，

则

解得y＝0，z＝1，∴n＝(1,0,1)．又＝，

∴点O到平面ABC1D1的距离为＝＝.

4．(2023·泰安高二检测)已知四棱锥P－ABCD中，＝(4，－2,3)，＝(－4,1,0)，＝(－6,2，－8)，则点P到底面ABCD的距离为( D )

A．　　  B．

C．1　　  D．2

[解析]　设n＝(x，y，z)是平面ABCD的一个法向量，

则由题设即

令x＝1，可得y＝4，z＝，所以n＝，

故点P到平面ABCD的距离为d＝＝2.

5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( B )

A．  B．

C．  D．

[解析]　建立空间直角坐标系如图所示，则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．

设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝.

∴sin θ＝＝，

∴A到直线BE的距离d＝||sin θ＝2×＝.

二、填空题

6．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是_3__.

[解析]　以C为坐标原点，CA、CB、CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4，0,0)，B(0,3,0)，P，

所以＝(－4,3,0)，＝，

所以在上的投影长为＝，

所以点P到AB的距离为

d＝＝＝3.

7．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为 　.

[解析]　如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则平面ACD1的一个法向量为(1,1,1)，

∴M，A(1,0,0)，

＝.

∴点M到平面ACD1的距离

d＝＝.

∵＝，MN⊄平面ACD1，∴MN∥平面ACD1，

∴MN到平面ACD1的距离d＝.

8．已知平面α的法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(x,3,0)在平面α内，若点P(－2,1,4)到平面α的距离d为，则x＝_－1或－11__.

[解析]　由题意＝(x＋2,2，－4)，由空间中点到面距离的向量公式d＝＝，

即＝，解得x＝－1或－11.

三、解答题

9．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．

(1)求点M到直线AC1的距离；

(2)求点N到平面MA1C1的距离．

[解析]　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，M(2,0,1)，C1(0,2,2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0＝，＝(2,0,1)，故点M到直线AC1的距离

d＝＝＝.

(2)设平面MA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

取x＝1，得z＝2，故n＝(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量，因为N(1,1,0)，所以＝(－1,1，－1)，故N到平面MA1C1的距离d＝＝＝.

10．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°.求点B到直线PD的距离．

[解析]　∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，

∴∠PDA＝45°，∴PA＝AD＝4，AB＝2.

以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,4)，D(0,4,0)，＝(0，－4,4)．

方法一：设存在点E，使＝λ，且BE⊥DP，

设E(x，y，z)，∴(x，y－4，z)＝λ(0，－4,4)，

∴x＝0，y＝4－4λ，z＝4λ，

∴点E(0,4－4λ，4λ)，＝(－2,4－4λ，4λ)．

∵BE⊥DP，

∴·＝－4(4－4λ)＋4×4λ＝0，解得λ＝.

∴＝(－2,2,2)，∴||＝＝2，

故点B到直线PD的距离为2.

方法二：＝(－2,0,4)，＝(0，－4,4)，

∴·＝16，

∴在上的投影的长度为

＝＝2.

所以点B到直线PD的距离为

d＝＝＝2.

B组·素养提升

一、选择题

1．四棱锥S－ABCD中，＝(4，－1,0)，＝(0,3,0)，＝(－3,1，－4)，则这个四棱锥的高h为( D )

A．1  B．2 

C．3  D．4

[解析]　设平面ABCD的法向量为n＝，

则，即，∴，

取z＝4，则n＝，

∴这个四棱锥的高h＝＝＝4.故选D.

2.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是( C )

A．5  B．8

C．  D．

[解析]　以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,12,0)，D1(0,0,5)．

设B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x≠0)．设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，由n⊥，n⊥，得n·＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0，

n·＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0，∴a＝0，b＝c，∴可取n＝(0,5,12)．

又＝(0,0，－5)，

∴点B1到平面A1BCD1的距离为＝.

∵B1C1∥平面A1BCD1，∴B1C1到平面A1BCD1的距离为.

3.如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为( C )

A．  B．

C．  D．

[解析]　如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，可作为x，y，z轴方向上的单位向量，

因为＝＋＋，

所以＝，＝(1,0,0)，＝，

所以P点到AB的距离

d＝＝＝.

4．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝AD＝，E是侧面AA1D1D的中心，F是底面ABCD的中心，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则( ABD )

A．是单位向量

B．n＝(1,0，)是平面A1BC的一个法向量

C．点A到直线EF的距离为

D．点E到平面A1BC的距离为

[解析]　由题意可知，A(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(，0,0)，B1(，0,1)，C(，，0)，D(0，，0)，因为E是侧面AA1D1D的中心，F是底面ABCD的中心，所以E，F，

故＝，所以||＝1，

所以是单位向量，故选项A正确；

因为＝(，0，－1)，＝(0，，0)，

所以·n＝0，·n＝0，又A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，所以n＝(1,0，)是平面A1BC的一个法向量，故选项B正确；

因为＝，＝，所以＝，

所以点A到直线EF的距离为||2－2)＝，故选项C错误；

因为＝，所以点E到平面A1BC的距离为＝＝，故选项D正确．

二、填空题

5.如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为 　.

[解析]　取AB的中点O，连接OE，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2)，＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)，设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，则

即

令y＝1，则平面ACE的一个法向量为(－1，1，－1)．

故点D到平面ACE的距离d＝＝＝.

6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为 　.

[解析]　由题意得A1B1∥EF，A1B1⊄平面D1EF，EF⊂平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，则点G到平面D1EF的距离等于点A1到平面D1EF的距离．

以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则D1(0,0,2)，E(2,0,1)，F(2,2,1)，A1(2,0,2)，所以＝，＝(2,2，－1)，＝(0,0，－1)．

设平面D1EF的法向量为n＝，

则⇒，

令x＝1，则y＝0，z＝2，

所以平面D1EF的一个法向量n＝.

点A1到平面D1EF的距离d＝＝＝，即点G到平面D1EF的距离为.

7．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，CD的中点，则点B到截面AEC1F的距离为  　 .

[解析]　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，F，E，B(1,1,0)，所以＝，＝.

设平面AEC1F的一个法向量为n＝(1，λ，μ)，则n·＝0，n·＝0，

所以所以所以n＝(1,2，－1)．

又因为＝(0,1,0)，所以点B到截面AEC1F的距离d＝＝＝.

三、解答题

8．四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝4，E是PA的中点，求PC与平面BED的距离，并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系．

[解析]　以A为原点，AB所在直线为x轴，△ACD中CD边上的高AF所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则F为CD的中点，A(0，0,0)，B(4,0,0)，F(0，2，0)，C(2，2，0)，D(－2，2，0)，P(0,0,4)，E(0,0,2)．

设平面BED的一个法向量为n＝(x，y，z)，由＝(－4,0,2)，＝(2，－2，2)，

得∴即

取z＝2，则x＝1，y＝，得n＝(1，，2)．

∵＝(2,2，－4)，∴n·＝2＋6－8＝0，

∴n⊥，故PC∥平面BED，

∴PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离．

∵＝(0,0,2)，

∴点P到平面BED的距离d＝＝＝，

即PC到平面BED的距离为，且直线PC上各点到平面BED的距离都相等．

9.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

[解析]　取AD的中点O，在△PAD中，∵PA＝PD，∴PO⊥AD.

又侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PO⊥平面ABCD.

建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1，0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，

则＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)．

假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，

设Q(0，y,0)(－1≤y≤1)，则＝(－1，y,0)．

设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，

则∴即x0＝y0＝z0，取x0＝1，则平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,1)．

∴点Q到平面PCD的距离d＝＝＝，

∴y＝－或y＝(舍去)．此时＝，＝，则||＝，||＝.

∴存在点Q满足题意，此时＝.