人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程练习题

第二章　2.2　2.2.1

A　组·素养自测

一、选择题

1．经过点(－3,2)，斜率为的直线方程是( C )

A．y＋2＝(x－3)　　　　　　  B．y－2＝(x＋3)

C．y－2＝(x＋3)  D．y＋2＝(x－3)

[解析]　由直线的点斜式方程的定义可知选项C正确．

2．过点(1,0)且与直线y＝x－1平行的直线方程是( A )

A．y＝x－　  B．y＝x＋

C．y＝－2x＋2　  D．y＝－x＋

[解析]　过点(1,0)且与直线y＝x－1平行的直线方程为y－0＝(x－1)，即y＝x－.故选A.

3．直线y－4＝－(x＋3)的倾斜角和所经过的定点分别是( B )

A．30°，(－3,4)  B．120°，(－3,4)

C．150°，(3，－4)  D．120°，(3，－4)

[解析]　斜率k＝－，过定点(－3,4)．

4．(2023·广东清远市期末)倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为( B )

A．y＝－x＋2  B．y＝－x－2

C．y＝x＋2  D．y＝x－2

[解析]　斜率为tan 120°＝－，利用斜截式直接写出直线方程，即y＝－x－2.

5．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有( A )

A．a>0，c>0  B．a>0，c<0

C．a<0，c>0  D．a<0，c<0

[解析]　∵直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，

∴直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0.

二、填空题

6．在平面直角坐标系中，下列三个结论：

①每一条直线都有点斜式方程；

②方程k＝与方程y＋1＝k(x－2)可表示同一条直线；

③直线l过点P0(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0.

其中正确结论的序号为_③__.

[解析]　点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以①错误．点 (2，－1)不在方程k＝所表示的直线上，所以②错误．③显然正确．

7．斜率为2的直线经过(3,5)，(a,7)两点，则a＝_4__.

[解析]　经过点(3,5)，斜率为2的直线的点斜式方程为y－5＝2(x－3)，将(a,7)代入y－5＝2(x－3)，解得a＝4.

8．若直线y＝2x－2绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程为 y－4＝－(x－3)　.

[解析]　逆时针旋转90°即与y＝2x－2垂直，由于y＝2x－2的斜率为2，则所求直线的斜率为－，又因过点(3,4)，故直线方程为y－4＝－(x－3)．

三、解答题

9．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1的斜率相等且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．

[解析]　由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，

所以l的斜率k＝k1＝－2，

由题意知l2在y轴上的截距为－2，

所以l在y轴上的截距b＝－2，

由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.

10．三角形的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)．

(1)求BC边上的高所在直线的点斜式方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的斜截式方程．

[解析]　(1)BC边所在直线的斜率为

kBC＝＝，因为BC所在直线的斜率与BC高线的斜率乘积为－1，所以BC高线的斜率为－.又因为BC高线所在的直线过A(4,0)，

所以BC高线所在直线的点斜式方程为

y－0＝－(x－4)．

(2)设BC中点为M，则中点M(3,5)，又kAM＝－5，所以BC边上的中线AM所在直线的点斜式方程为y－5＝－5(x－3)，化为斜截式方程为y＝－5x＋20.

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知直线l1的方程是y＝ax＋b，l2的方程是y＝bx－a(ab≠0，a≠b)，则下列图形中，正确的是( D )

[解析]　逐一判定即可．对于选项A，由l1的图象知a>0，b>0，由l2的图象知a<0，b<0，矛盾，故A错误；对于选项B，由l1的图象知a>0，b<0，由l2的图象知a<0，b>0，矛盾，故B错误；对于选项C，由l1的图象知a<0，b>0，由l2的图象知a<0，b<0，矛盾，故C错误；对于选项D，由l1的图象知a<0，b>0，由l2的图象知a<0，b>0，故D正确．

2．已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最小值为( A )

A．－1  B．3

C．7  D．8

[解析]　直线AB的斜率为kAB＝＝－2，所以直线AB的方程为y－1＝－2(x－4)，即y＝－2x＋9.

所以线段AB的方程为y＝－2x＋9(2≤x≤4)，

所以2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9∈[－1,7]，

因此，2x－y的最小值为－1，故选A.

3．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( A )

A．y＝－x＋  B．y＝－x＋1

C．y＝3x－3  D．y＝x＋1

[解析]　将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得到的直线为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.

4．(多选)(2023·诸城一中高一检测)经过点M(1,1)且在两轴上截距相等的直线是( BD )

A．x－y＝2  B．x＝y

C．x＝1或y＝1  D．x＋y＝2

[解析]　当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x＋y＝a，把(1,1)代入所设的方程得a＝2，则所求直线的方程为x＋y＝2；当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y＝kx，把(1,1)代入所设的方程得k＝1，则所求直线的方程为y＝x，经过点M(1,1)且在两轴上截距相等的直线是x＋y＝2或x＝y，故选BD.

二、填空题

5．(2023·杭州高一检测)直线l1与直线l2：y＝3x＋1平行，又直线l1过点(3,5)，则直线l1的方程为 y＝3x－4　.

[解析]　∵直线l2的斜率k2＝3，l1与l2平行．

∴直线l1的斜率k1＝3.

又直线l1过点(3,5)，

∴l1的方程为y－5＝3(x－3)，即y＝3x－4.

6．已知直线l：y＝kx＋b(k≠0)，且l不经过第三象限，若x∈[2,4]时，y∈[－1,1]，则k，b的值分别为_－1，3__.

[解析]　由题可知，该直线过第二、四象限或第一、二、四象限，且y随x增大而减小，∴当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝－1，

故解

7．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是 y＝x－6或y＝－x－6　.

[解析]　与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为k＝tan 60°＝，或k＝tan 120°＝－，

所以y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是y＝x－6或y＝－x－6.

三、解答题

8．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0，

(1)求证：不论a为何值，直线l总过第一象限；

(2)为了使直线l不过第二象限，求a的取值范围．

[解析]　(1)证明：直线l的方程可化为y－＝a，由点斜式方程可知直线l的斜率为a，且过定点A，由于点A在第一象限，所以直线一定过第一象限．

(2)如图，直线l的倾斜角介于直线AO与AP的倾斜角之间，kAO＝＝3，直线AP的斜率不存在，故a≥3.

9．(2022·武威一中高一期末)求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线的斜截式方程．

[解析]　设所求直线的方程为y＝x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－b，由已知，得＝6，即b2＝6，解得b＝±3.

故所求的直线的斜截式方程是y＝x±3，即3x－4y±12＝0.