高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式课时练习

第二章　2.3　2.3.3　2.3.4

A　组·素养自测

一、选择题

1．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离等于1，则实数m等于( C )

A.  B．－

C．－  D．

[解析]　由题意得＝1，解得m＝－.

2．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( D )

A．1  B．－1

C．  D．±

[解析]　由题意，得＝1，即|a|＝，

∴a＝±.

3．原点到直线y＝－x＋的距离为( B )

A．1  B．

C．2  D．3

[解析]　直线y＝－x＋，即x＋2y－5＝0，

故原点到直线y＝－x＋的距离为＝.

4．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( C )

A.  B．

C．  D．

[解析]　因为＝≠－，

所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，

由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.

5．两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( C )

A．(0，＋∞)　　  B．[0,5]

C．(0,5]　　  D．[0，]

[解析]　当两条平行直线l1，l2与直线PQ垂直时，l1，l2间的距离最大，最大距离为|PQ|＝＝5，所以l1，l2之间的距离的取值范围是(0,5]．

二、填空题

6．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离d是_5__.

[解析]　两条直线的方程分别为x＝－2，x＝3，所以这两条直线间的距离d＝|3－(－2)|＝5.

7．过点A(－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是 3x－y＋10＝0　.

[解析]　当原点与点A的连线与过点A的直线垂直时，距离最大．∵kOA＝－，∴所求直线的方程为y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋10＝0.

8．若A(1,4)、B(－3,1)，过点B的直线l与点A的距离为d.

(1)d的取值范围为_[0,5]__；

(2)当d取最大值时，直线l的方程为_4x＋3y＋9＝0__；

(3)当d＝4时，直线l的方程为_7x＋24y－3＝0或x＝－3__.

[解析]　(1)用数形结合法容易得到，当直线l⊥AB时，d取最大值，当l经过A、B时，d取最小值，

∴0≤d≤5.

(2)当d＝5时，kl＝－，kAB＝＝，

∴直线l的方程y－1＝－(x＋3)，即：4x＋3y＋9＝0.

(3)设l：y－1＝k(x＋3)，即：kx－y＋3k＋1＝0，

由A(1,4)到l距离为4知

＝4，∴k＝－，

当斜率k不存在时，x＝－3也满足题意．

故所求直线方程为：7x＋24y－3＝0或x＝－3.

三、解答题

9．求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．

[解析]　方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，不合题意，因此直线l的斜率存在，设为k.

又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.

由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等，

得＝，

解得k＝0或k＝1.

∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.

方法二：当直线l过线段AB的中点时，

直线l与点A，B的距离相等．

∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)，

∴直线l的方程是x－y＋2＝0；

当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等．

∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0，

∴直线l的方程为y＝2.

综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.

10．已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程．

[解析]　由解得

所以中心坐标为(－1,0)．

所以中心到已知边的距离为＝.

设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.

因为正方形中心到各边距离相等，

所以＝和＝.

所以m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0.

所以其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知点A(1,3)、B(3,1)、C(－1,0)，则△ABC的面积等于( C )

A．3  B．4

C．5  D．6

[解析]　设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5.

2．(多选)与直线l：3x－4y－1＝0平行且到直线l的距离为2的直线方程是( AB )

A．3x－4y－11＝0  B．3x－4y＋9＝0

C．3x－4y＋11＝0  D．3x－4y－9＝0

[解析]　设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，由题意得＝2，

解得m＝9或－11.

3．到两条直线l1：3x－4y＋5＝0与l2：5x－12y＋13＝0的距离相等的点P(x，y)必定满足方程( D )

A．x－4y＋4＝0

B．7x＋4y＝0

C．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0

D．7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0

[解析]　结合图形可知，这样的直线应该有两条，恰好是两条相交直线所成角的平分线．由公式可得＝，即＝±，

化简得7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0.

4．已知直线l：kx－y＋2＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( B )

A.  B．

C.　　  D．3

[解析]　直线l：kx－y＋2＝0恒过点(0,2)，

∴M(0,2)．

∵点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，

∴|MP|的最小值为点M到直线2x＋y－1＝0的距离，

∴d＝＝＝.故选B.

二、填空题

5．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(1,3)到直线l的距离为，则直线l的方程为_x－y＝0或7x＋y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0__.

[解析]　由题意知，若截距为0，

则设所求直线l的方程为y＝kx(k≠0)．

由题意知＝，解得k＝1或－7，此时直线l的方程为x－y＝0或7x＋y＝0.

若截距不为0，则设所求直线l的方程为x＋y－a＝0(a≠0)．

由题意知＝，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.

综上，所求直线l的方程为x－y＝0或7x＋y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.

6．已知∠BAC的顶点A的坐标为(－1，－1)，AD为其角平分线，点P(3,1)在边AB上，P关于点的对称点Q在AD上，则Q点的坐标为 (0,0)　，AC所在直线的方程为 2x－y＋1＝0　.

[解析]　因为点P(3,1)关于点的对称点为Q，所以Q的坐标为，即(0,0)，又点A(－1，－1)，所以直线AD的方程为y＝x，

设点P关于直线AD的对称点为P′，

则P′(1,3)，因为AD是∠BAC的角平分线，

所以点P′(1,3)在直线AC上，

所以kAC＝＝2，直线AC的方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.

7．已知a＋b＝3，则的最小值为 3　.

[解析]　由题意易得点P(a，b)在直线x＋y－3＝0上，

而＝，因此原问题可以转化为求点P(a，b)与点A(－5,2)的距离的最小值，又点A(－5,2)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝3，故的最小值为3.

三、解答题

8．已知△ABC三边所在直线方程：lAB：3x－2y＋6＝0，lAC：2x＋3y－22＝0，lBC：3x＋4y－m＝0(m∈R，m≠30)．

(1)判断△ABC的形状；

(2)当BC边上的高为1时，求m的值．

[解析]　(1)直线AB的斜率为kAB＝，直线AC的斜率为kAC＝－，

所以kAB·kAC＝－1，

所以直线AB与AC互相垂直，

因此，△ABC为直角三角形．

(2)解方程组，得，即A(2,6)．

由点到直线的距离公式得d＝＝，

当d＝1时，＝1，即|30－m|＝5，

解得m＝25或m＝35.

9．已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上．求直线l的方程．

[解析]　方法一：∵点M在直线x＋y－3＝0上，

∴设点M坐标为(t,3－t)，则点M到l1、l2的距离相等，

即＝，

解得t＝，∴M.

又l过点A(2,4)，

由两点式得＝，

即5x－y－6＝0，

故直线l的方程为5x－y－6＝0.

方法二：设与l1、l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋c＝0，由两平行直线间的距离公式得＝，解得c＝0，即l3：x－y＝0.由题意得中点M在l3上，又点M在x＋y－3＝0上．

解方程组，得.

∴M.又l过点A(2,4)，

故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0.

方法三：由题意知直线l的斜率必存在，

设l：y－4＝k(x－2)，

由，得，

由，得.

∴直线l与l1、l2的交点分别为，

.

∵M为中点，∴M.

又点M在直线x＋y－3＝0上，

∴＋－3＝0，解得k＝5.

故所求直线l的方程为y－4＝5(x－2)，

即5x－y－6＝0.