高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课后测评

第三章　3.1　3.1.1

A组·素养自测

一、选择题

1．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( D )

A．(0，＋∞)  B．(0,2)

C．(1，＋∞)  D．(0,1)

[解析]　因为方程x2＋ky2＝2，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，所以>2，故0<k<1.

2．椭圆＋＝1的焦距为( C )

A．4  B．5

C．6  D．9

[解析]　因为椭圆的方程为＋＝1，所以a2＝25，b2＝16，因此c2＝a2－b2＝9，所以c＝3，所以焦距为2c＝6.故选C.

3．(2023·南京模拟)与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4的椭圆方程是( B )

A.＋＝1  B．＋＝1

C.＋＝1  D．＋＝1

[解析]　由9x2＋4y2＝36可得＋＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，又2b＝4，所以b＝2，a2＝25，所以所求椭圆方程为＋＝1.

4．已知曲线C：＋＝－1，则“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的( A )

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　将曲线C的方程化为＋＝1，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则k－3>5－k>0，即4<k<5，故“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．

5．(多选)椭圆＋＝1上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为( BD )

A．(4,0)  B．(0,5)

C．(－4,0)  D．(0，－5)

[解析]　记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，

则知m＝|PF1|·|PF2|≤2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25，所以点P的坐标为(－4,0)或(4,0)．

二、填空题

6．椭圆＋＝1的焦距是_16__，焦点坐标是_(－8,0)，(8,0)__.

[解析]　由椭圆方程知，椭圆焦点在x轴上，且a2＝100，b2＝36，所以c2＝a2－b2＝64，解得c＝8.所以焦距2c＝16，两焦点的坐标分别是(－8,0)，(8,0)．

7．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆标准方程为 ＋＝1　.

[解析]　如图，当P在y轴上时，△PF1F2的面积最大，所以×8b＝12，所以b＝3.

又因为c＝4，所以a2＝b2＋c2＝25.

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

8．若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为 2　.

[解析]　由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc＝1，因为a2＝b2＋c2＝b2＋≥2，所以a≥，故长轴长的最小值为2，答案为2.

三、解答题

9．求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；

(2)ac＝135，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.

[解析]　(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a＝＋＝8，

所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.

又焦点在y轴上，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又＝，所以c＝5，

所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，

因为焦点所在的坐标轴不确定，

所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

10．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切(如图所示)，求圆心P的轨迹方程．

[解析]　设圆P的半径为r，

又圆P过点B，∴|PB|＝r，

又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10.

∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，

即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．

∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．

∴2a＝10,2c＝|AB|＝6，

∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.

即点P的轨迹方程为＋＝1.

B组·素养提升

一、选择题

1．椭圆＋＝1(0<m<3)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点C，则四边形AF1CF2的周长为( C )

A．6  B．4m

C．12  D．4

[解析]　∵过F2的直线与椭圆交于A、B两点，点B关于y轴的对称点为点C，

∴四边形AF1CF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|CF1|＋|CF2|＝4a.

∵椭圆＋＝1(0<m<3)，∴a＝3，

∴四边形AF1CF2的周长为12.故选C.

2．P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为( A )

A．60°　 B．30°　

C．120°　 D．150°

[解析]　由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2，

所以(|PF1|＋|PF2|)2＝64，

因为|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|2＋|PF2|2＝40，

在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝，

因为0°＜∠F1PF2＜180°，所以∠F1PF2＝60°.

3．(多选)直线2x＋by＋3＝0过椭圆10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值可以为( AB )

A．－1  B．1

C．－  D．

[解析]　椭圆方程化为标准形式为x2＋＝1，

∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b＝1.故选AB.

4．(2023·湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则△MF1F2的面积为( D )

A．5  B．10

C．2  D．  4

[解析]　设M(m，n)，m，n＞0，则m∈(0,6)，n∈(0，2)，

椭圆C：＋＝1的a＝6，b＝2，c＝4.

设F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，

由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，|F1F2|＝2c＝8，

因为|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，所以|MF1|＞6，|MF2|＜6，

△MF1F2为等腰三角形，只能|MF1|＝2c＝8，则|MF2|＝4，

由勾股定理得|MF2|2＝(4－m)2＋n2＝16，

又＋＝1，联立并消去n得

m2－18m＋45＝0，且m∈(0,6)，解得m＝3，则n＝.

则△MF1F2的面积为×8×＝4.故选D.

二、填空题

5．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝_2__，∠F1PF2的大小为_120°__.

[解析]　由|PF1|＋|PF2|＝6，且|PF1|＝4，知|PF2|＝2.

在△PF1F2中，

cos∠F1PF2＝＝－.

故∠F1PF2＝120°.

6．若椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点为(0，)，则k的值为 －1或－　.

[解析]　椭圆方程可化为＋＝1.

因为椭圆的一个焦点(0，)在y轴上，

所以即

即k的值为－1或－.

7．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为_15__.

[解析]　由椭圆的方程可得a＝5，b＝4，c＝3.

∴F1(－3,0)，F2(3,0)，如图所示，

由椭圆的定义可得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，

∴|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2a－|PF2|＝10＋(|PM|－|PF2|)≤10＋|MF2|＝10＋＝15，

∴|PM|＋|PF1|的最大值为15.

三、解答题

8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，∠F1PF2＝120°，|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求点P的坐标．

[解析]　(1)由椭圆的定义得，2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，∴a＝2.

在△PF1F2中，由余弦定理可得，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°，

∴4c2＝15，∴c＝，b2＝a2－c2＝4－＝，

故椭圆C的方程为＋4y2＝1.

(2)设点P(m，n)，由题意可知m＞0，

∵S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 120°＝×(2＋)×(2－)×＝×2c×|n|，∴n＝±.

将点P的坐标代入椭圆的方程可得＋＝1，解得m＝，

故点P的坐标为或.

9.如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，求点M的轨迹方程．

[解析]　如图所示，连接MA，由题知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.

又点M在AQ的垂直平分线上，

所以|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.

又A(1,0)，C(－1,0)，

故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，

且2a＝5，c＝1，故a＝，b2＝a2－c2＝－1＝.

故点M的轨迹方程为＋＝1.