人教A版 (2019)3.1 椭圆第1课时课后测评

第三章　3.1　3.1.2　第1课时

A组·素养自测

一、选择题

1．椭圆3x2＋4y2＝12的长轴长、短轴长分别为( C )

A．2，  B．，2

C．4,2  D．2，4

[解析]　把3x2＋4y2＝12化成标准形式为＋＝1，得a2＝4，b2＝3，则长轴长为4，短轴长为2.

2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为( A )

A.  B．

C．  D．

[解析]　由题意，得a＝2c，∴e＝＝.

3．椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1　(0<k<9)有( B )

A．等长的长轴  B．相等的焦距

C．相等的离心率  D．等长的短轴

[解析]　依题意知椭圆C2的焦点在y轴上，对于椭圆C1：焦距＝2＝8，对于椭圆C2：焦距＝2＝8，故选B.

4．(多选)关于椭圆＋＝1，以下表述正确的是( BCD )

A．长轴长为2

B．焦距为2

C．离心率为

D．左顶点的坐标为(－，0)

[解析]　椭圆＋＝1的焦点在y轴上，a＝2，b＝c＝.对于A选项，该椭圆的长轴长为2a＝4，A错误；对于B选项，该椭圆的焦距为2c＝2，B正确；对于C选项，该椭圆的离心率为e＝＝，C正确；对于D选项，该椭圆的左顶点坐标为(－，0)，D正确．

5．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，离心率相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为( B )

A．30 cm　  B．20 cm

C．10 cm  D．10 cm

[解析]　设大椭圆的长轴长、短轴长、离心率分别为2a1,2b1，e1，则a1＝20 cm，b1＝10 cm，e1＝＝，

设小椭圆的长轴长、短轴长、离心率分别为2a2,2b2，e2，则b2＝5 cm，e2＝，

由e＝1－2得＝1－，解得a2＝10 cm，

故小椭圆的长轴长为20 cm，故选B.

二、填空题

6．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为 ＋x2＝1　.

[解析]　由已知，2a＝8,2c＝2，∴a＝4，c＝，

∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，

∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.

7．(2023·江苏苏州高二期末)如图所示，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角(母线与竖直方向所成角)后，液面呈椭圆形，当α＝30°时，该椭圆的离心率为 　.

[解析]　设圆柱形杯子的底面半径为b，示意图如图，则OC是椭圆的长半轴长，OB是椭圆的短半轴长，则BC＝＝＝c.又∠COB＝α＝30°，则e＝＝sin α＝.

8．与椭圆＋＝1有相同的离心率且长轴长与＋＝1的长轴长相等的椭圆的标准方程为 ＋＝1或＋＝1　.

[解析]　椭圆＋＝1的离心率为e＝，椭圆＋＝1的长轴长为4.

所以解得a＝2，c＝，故b2＝a2－c2＝6.

又因为所求椭圆焦点既可在x轴上，也可在y轴上，故方程为＋＝1或＋＝1.

三、解答题

9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．

[解析]　椭圆方程可化为＋＝1，

∵m－＝>0，∴m>.

即a2＝m，b2＝，c＝＝.

由e＝得，＝，∴m＝1.

∴椭圆的标准方程为x2＋＝1，

∴a＝1，b＝，c＝.

∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1、F2；四个顶点分别为A1(－1,0)、A2(1,0)、B1、B2.

10．椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M为其上的动点，当∠F1MF2为钝角时，求点M的纵坐标的取值范围．

[解析]　设M(x，y)，焦点F1(－，0)，F2(，0)．

因为∠F1MF2为钝角，

所以cos∠F1MF2＝<0，

即|MF1|2＋|MF2|2<|F1F2|2⇒(x＋)2＋y2＋(x－)2＋y2<12，

整理得x2＋y2<3.因为点M(x，y)在椭圆＋y2＝1上，将x2＝4－4y2代入x2＋y2＜3，

解得y>或y<－.又因为－1≤y≤1，

所以点M的纵坐标y的取值范围为∪.

B组·素养提升

一、选择题

1．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( C )

A．13  B．12

C．9  D．6

[解析]　∵a2＝9，b2＝4，则|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，

∴|MF1|·|MF2|≤2＝9，

当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．

故选C.

2．已知椭圆的标准方程为＋＝1，则椭圆上的点P到椭圆中心的距离|OP|的取值范围为( C )

A．[6,10]  B．[6,8]

C．[8,10]  D．[16,20]

[解析]　设点P(x0，y0)，则|OP|＝.

由椭圆的范围，知|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8.

∵点P在椭圆上，∴＋＝1，则y＝64－x，

∴|OP|＝.

∵0≤x≤100，

∴64≤x＋64≤100，即8≤|OP|≤10.

3．(多选)已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围可以是( AD )

A．m<－1  B．m<2

C．1<m<2  D．1<m<

[解析]　由题意得

即

∴1<m<或m<－1，故选AD.

4．(多选)在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)上存在点P，使得|PF1|＝3|PF2|，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为( BCD )

A.　　  B．

C．3－6　　  D．

[解析]　设椭圆的焦距为2c(c＞0)，由椭圆的定义可得解得|PF1|＝，|PF2|＝，由题意可得解得≥.又0＜＜1，所以≤＜1，所以该椭圆离心率的取值范围是，故符合条件的选项为BCD.

二、填空题

5．(2023·安徽屯溪一中高二期中)如图，点F，B分别为椭圆C：＋＝1(a>)的右焦点和上顶点，O为坐标原点，且△OFB的周长为3＋，则实数a的值为_2__.

[解析]　根据题意可知△OFB的周长为a＋b＋c＝3＋，又b＝，可知a＋c＝3，结合a2－c2＝b2＝3，可以解得，故实数a的值为2.

6．已知椭圆的焦点F1、F2在x轴上，它与y轴的一个交点为P，且△PF1F2为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的方程为 ＋＝1　.

[解析]　∵椭圆的焦点在x轴上，则设方程为＋＝1(a>b>0)，两焦点F1(－c,0)、F2(c,0)、P(0，b)．

不妨设x轴与椭圆的一个交点为A(a,0)，

由△PF1F2为正三角形可知：|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|，

∴a＝2c①

又焦点到椭圆上的点的最短距离为a－c，

于是a－c＝②

由①②可得：a＝2，c＝，从而b2＝a2－c2＝9.

∴所求椭圆方程为＋＝1.

7．椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则它的离心率e的最大值为 　，此时a的值为 　.

[解析]　由题意知5a>4a2＋1，∴<a<1，

∴e＝＝

≤＝.

三、解答题

8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A，B，与y轴的交点为C，且B为线段CF1的中点，若|k|≤，求椭圆离心率e的取值范围．

[解析]　依题意得F1(－c,0)，直线l：y＝k(x＋c)，则C(0，kc)．

因为点B为CF1的中点，所以B.

因为点B在椭圆上，所以＋＝1，

即＋＝1，所以＋＝1，

所以k2＝.

由|k|≤，得k2≤，即≤，

所以2e4－17e2＋8≤0，解得≤e2≤8.

因为0＜e＜1，所以≤e＜1.故离心率e的取值范围为.

9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率e＝，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设A、B是直线l：x＝2上的不同两点，若·＝0，求|AB|的最小值．

[解析]　(1)由题意得：，

解得：.

所以椭圆的标准方程为：＋＝1.

(2)由(1)知，F1、F2的坐标分别为F1(－，0)、F2(，0)，设直线l：x＝2上的不同两点A、B的坐标分别为A(2，y1)、B(2，y2)，则＝(－3，－y1)、＝(－，－y2)，由·＝0得y1y2＋6＝0，

即y2＝－，不妨设y1>0，则|AB|＝|y1－y2|＝y1＋≥2，当y1＝、y2＝－时取等号，所以|AB|的最小值是2.