高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第2课时同步练习题

第三章　3.2　3.2.2　第2课时

A组·素养自测

一、选择题

1．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为( B )

A．x2－y2＝6　  B．x2－y2＝9

C．x2－y2＝16　  D．x2－y2＝25

[解析]　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，与y＝x联立，得x2＝a2，∴|AB|＝×a＝2，∴a＝3，故选B.

2．(2023·房山区期末检测)已知双曲线＋＝1的离心率e<2，则实数k的取值范围是( C )

A．k＜0或k＞3  B．－3＜k＜0

C．－12＜k＜0  D．－8＜k＜3

[解析]　双曲线＋＝1可知k＜0，并且a＝2，

c＝，双曲线的离心率为：e＝，

∵1＜e＜2，∴1＜＜2，

解得－12＜k＜0，综上－12＜k＜0.故选C.

3．直线x＋y＝1与双曲线4x2－y2＝1相交所得弦长为( B )

A.  B．

C．  D．

[解析]　将直线x＋y＝1代入4x2－y2＝1

得3x2＋2x－2＝0.

设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，

∴|AB|＝|x1－x2|

＝·＝.故选B.

4．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的( C )

[解析]　方程可化为y＝ax＋b和＋＝1.从B，D中的两椭圆看a，b∈(0，＋∞)，但B中直线有a<0，b<0矛盾，应排除；D中直线有a<0，b>0矛盾，应排除；再看A中双曲线的a<0，b>0，但直线有a>0，b>0，也矛盾，应排除；C中双曲线的a>0，b<0和直线中a、b一致．故选C.

5．(2023·西安三中模拟)已知点P是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线是PF1的中垂线，则该双曲线的离心率是( D )

A.  B．

C．2  D．

[解析]　记双曲线的另一焦点为F2，连接PF2，则易知△PF1F2是直角三角形，直线PF2与线段PF1的中垂线平行，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则＝.

∵a2＋b2＝c2，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，∴m＝2b，n＝2a，b＝2a，∴c＝a，∴e＝＝.

二、填空题

6．已知双曲线x2－y2＝1和斜率为的直线l交于A，B两点，当l变化时，线段AB的中点M的坐标(x，y)满足的方程是_y＝2x__.

[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)．

因为x－x≠0，M的坐标为(x，y)，所以＝，又直线l的斜率为 ，所以＝，即y＝2x.

7．过双曲线－＝1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为，这样的直线有_1__条．

[解析]　依题意得右焦点F(5,0)，所以过F且垂直x轴的直线是x＝5，代入－＝1，得y＝±，所以此时弦长为×2＝.当直线不垂直于x轴时，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比长．因为两顶点间距离为4，即左右两支上的点的最短距离是4，所以如果交于两支的话，弦长不可能为，故只有一条．

8．经过点M(2,1)作直线l交双曲线x2－＝1于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为 4x－y－7＝0　.

[解析]　设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，M(x0，y0)，

则2x－y＝2　①

2x－y＝2　②

①－②得2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，

2×2x0＝2y0，所以8－2k＝0，所以k＝4，

所以y－1＝4(x－2)，所以直线l的方程为4x－y－7＝0.

三、解答题

9．(2023·黑龙江省学业水平考试)已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点(3，－)．

(1)求双曲线标准方程；

(2)若直线y＝k(x－1)与双曲线有两个不同的公共点，求k的取值范围．

[解析]　(1)由双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点(3，－)，

设双曲线的方程为：－＝1(a＞0，b＞0)，

由e＝＝，

可得a＝b，由其过点(3，－)，

可得－＝1，

可得a＝b＝，故双曲线标准方程为：－＝1.

(2)联立直线y＝k(x－1)与双曲线－＝1，

可得：(1－k2)x2＋2k2x－k2－6＝0，

可得：1－k2≠0，且Δ＞0，

可得：4k4－4(1－k2)(－k2－6)＞0，

可得：k≠±1，且－＜k＜，

故k的取值范围是∪(－1,1)∪.

10．(1)已知双曲线－y2＝1，求过点P(3，－1)，且被点P平分的双曲线的弦AB所在直线的方程．

(2)求过定点(0,1)的直线被双曲线x2－＝1截得的弦AB的中点的轨迹方程．

[解析]　(1)设弦AB的两端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)．

则

由①－②化简，得＝，

将③④代入上式得＝－，即直线AB的斜率为－.所以直线AB的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.经检验直线3x＋4y－5＝0与双曲线－y2＝1确定有两个交点，满足题意．

故所求直线方程为3x＋4y－5＝0.

(2)因为该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，故可设直线的方程为y＝kx＋1，且设该直线被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由得(4－k2)x2－2kx－5＝0.

则4－k2≠0，即k≠±2，且Δ＝4k2＋20(4－k2)>0，

所以16k2<80，即|k|<，k≠±2，且x1＋x2＝，x1x2＝－，所以x＝(x1＋x2)＝，y＝(y1＋y2)＝(x1＋x2)＋1＝.

由消去k得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)．

B组·素养提升

一、选择题

1．设离心率为e的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是( C )

A．k2－e2>1  B．k2－e2<1

C．e2－k2>1  D．e2－k2<1

[解析]　直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是直线l的斜率－<k<，两边平方得，k2<＝＝e2－1，即e2－k2>1.

2．已知直线l：x－y＋2＝0与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A，B两点，点P(1,4)是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为( D )

A.　　  B．2

C.　　  D．

[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

因为P(1,4)是弦AB的中点，

根据中点坐标公式，可得

又由直线l：x－y＋2＝0的斜率为1，

所以＝1.

因为A，B两点在双曲线上，

可得两式相减并化简得

＝＝×1＝4，

所以＝2，所以e＝＝.

3．(多选)若双曲线C1：－＝1(b＞0)与椭圆C2：＋＝1有相同的左右焦点F1，F2，且C1，C2在第一象限相交于点P，则( BD )

A．|PF1|＝

B．C1的渐近线方程为y＝±x

C．直线y＝x＋2与C1有两个公共点

D．△PF1F2的面积为2

[解析]　因为双曲线C1：－＝1(b＞0)与椭圆C2：＋＝1有相同的左右焦点F1，F2，所以2＋b2＝8－4，解得b2＝2，

即C1：－＝1，所以其渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为F1(－2,0)，F2(2,0)，即B正确；

因为y＝x＋2与双曲线C1的一条渐近线平行，且y＝x＋2过左焦点F1(－2,0)，

所以直线y＝x＋2与C1只有一个交点，即C错；

由解得，

又C1，C2在第一象限相交于点P，所以P(2，)，

因此|PF1|＝＝3，即A错，

△PF1F2的面积为S△PF1F2＝|F1F2|·yP＝2，即D正确．

4．(多选)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个顶点分别是A1，A2，左、右两个焦点分别是F1，F2，P是双曲线上异于A1，A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有( BC )

A．||PA1|－|PA2||＝2a

B．直线PA1，PA2的斜率之积等于定值

C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个

D．△PF1F2的面积为

[解析]　在△A1PA2中，两边之差小于第三边，即||PA1|－|PA2||<|A1A2|＝2a，所以A是假命题；设点P(x，y)，y≠0，x2≠a2，有－＝1(a>0，b>0)，y2＝b2，直线PA1，PA2的斜率之积kPA1·kPA2＝·＝＝＝，所以B是真命题；根据双曲线的对称性分析，要使△PF1F2为等腰三角形，则F1F2必为腰，若点P在第一象限，则当|PF1|＝2c时，|PF2|＝2c－2a；当|PF2|＝2c时，|PF1|＝2c＋2a.这两种情况都满足△PF1F2为等腰三角形．同理可得第二、三、四象限每个象限都有两个点使△PF1F2为等腰三角形，故这样的点一共有八个，所以C是真命题；易知<，由焦点三角形面积的结论，知S△PF1F2＝，所以D是假命题．故选BC.

二、填空题

5．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－3,0)的直线与双曲线交M，N两点，且线段MN的中点坐标为(3,6)，则双曲线方程是 －＝1　.

[解析]　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则－＝1，－＝1，

两式相减可得＝，

所以＝，

因为点(3,6)是线段MN的中点，

所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝12，

所以kMN＝＝×＝×＝，

因为kMN＝＝1，

所以＝1，即b2＝2a2，

因为c2＝a2＋b2＝3a2＝9，所以a2＝3，b2＝6，

所以双曲线方程是－＝1.

6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为 　.

[解析]　如图，由题意知点A(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝x，即bx－ay＝0，

∴点A到l的距离d＝.

又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，

∴△MAN为等边三角形，

∴d＝MA＝b，

即＝b，

∴a2＝3b2，

∴e＝＝＝.

7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则∠F1BF2＝_90°__，C的离心率为_2__.

[解析]　方法一：由＝，得A为F1B的中点．

又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2.

又·＝0，∴∠F1BF2＝90°.

∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B.

又∵∠F1OA＝∠BOF2，

∠F1OA＝∠OF2B，

∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．

如图1所示，不妨设B为.

∵点B在直线y＝－x上，∴＝，

∴离心率e＝＝2.

方法二：∵·＝0，

∴∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c.如图2，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得＝，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c，0)．

又∵＝，∴A为F1B的中点．

∴OA∥F2B，∴＝，∴c＝2a，∴离心率e＝＝2.

三、解答题

8．(2022·福州市八县(市)协作校期末)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(2,0)，直线3x－2y＝0与双曲线C的一个交点的横坐标为2.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点(0,1)，倾斜角为135°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．

[解析]　(1)设双曲线C的标准方程是－＝1(a>0，b>0)．

由题意可知：点(2,3)在双曲线C上，

从而有解得

所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.

(2)由已知得直线l的方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0，

所以原点O到直线l的距离为d＝＝.

联立

消去y可得x2＋x－2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，x1x2＝－2，

所以|AB|＝·＝·＝3，

所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝×3×＝.

9．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，如图，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足||，||，||成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.

(1)求证：·＝·；

(2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E，D，求双曲线离心率e的取值范围．

[解析]　(1)双曲线的渐近线为y＝±x，F(c,0)，

所以直线l的斜率为－，

所以直线l：y＝－(x－c)．

由得P，

因为||，||，||成等比数列，

所以xA·c＝a2，所以xA＝，

A，＝，

＝，＝，

所以·＝－，

·＝－，则·＝·.

(2)由

得x2＋2cx－＝0，

x1x2＝，

因为点E，D分别在左右两支上，所以<0，所以b2>a2，所以e2>2，所以e>.