新教材2023年高中数学第3章圆锥曲线的方程综合测试题新人教A版选择性必修第一册

第三章综合测试题

考试时间120分钟，满分150分

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( B )

A.　　　　  B．

C．1　　　　  D．

[解析]　抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，到双曲线x2－＝1的一条渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B.

2．已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( D )

A．实轴长相等  B．虚轴长相等

C．离心率相等  D．焦距相等

[解析]　双曲线C1和C2的实半轴长分别是sin θ和cos θ，虚半轴长分别是cos θ和sin θ，半焦距都等于1，故选D.

3．(2023·淮北高二检测)焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是( C )

A.＋＝1　　  B．＋＝1

C.＋＝1  D．＋＝1

[解析]　由题意知椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

且2b＝8，所以b＝4，所以a2－c2＝b2＝16，

又e＝＝，所以可得c＝3，a＝5，

因此椭圆的标准方程为＋＝1.

4．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为( B )

A.　　  B．

C.  D．0

[解析]　抛物线y＝4x2可化为x2＝y，焦点为，准线方程l：y＝－，点M的纵坐标为y0，由抛物线定义知：y0＋＝1，解得y0＝.

5．关于椭圆有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短轴长为3；丙：离心率为；丁：椭圆上的点到焦点的距离最大值为3.若只有一个假命题，则该命题是( B )

A．甲  B．乙

C．丙  D．丁

[解析]　当命题甲乙为真命题时，a＝2，b＝，则c＝，离心率为，椭圆上的点到焦点的距离最大值为2＋，不成立；当命题甲丙为真命题时，a＝2，e＝，故c＝1，b＝，短轴长为2，椭圆上的点到焦点的距离最大值为3，成立，故甲，丙，丁为真命题，乙为假命题；当命题乙丙为真命题时，b＝，e＝，故a＝，c＝，椭圆的长轴长为2，椭圆上的点到焦点的距离最大值为；当命题乙丁为真命题时，b＝，a＋c＝3，不存在；故选B.

6．已知圆F1：(x＋2)2＋y2＝36，定点F2(2,0)，A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于点P，则点P的轨迹C的方程是( B )

A.＋＝1  B．＋＝1

C.＋＝1  D．＋＝1

[解析]　连接F2P，则|F2P|＝|PA|，

∵|F2P|＋|F1P|＝|PA|＋|F1P|＝|F1A|＝6>|F1F2|＝4，

∴由椭圆的定义可得点P的轨迹为以点F1、F2为焦点，长轴长为6的椭圆，

设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，

则a＝3，c＝2，∴b2＝a2－c2＝9－4＝5，

故点P的轨迹C的方程为＋＝1.

7．设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( A )

A.  B．

C．  D．2

[解析]　由椭圆方程知上顶点B(0,1)，设P(x，y)，

由P点在C上可得x2＝5－5y2，y∈[－1,1]，

则|PB|＝

＝

＝，

可得y＝－时，|PB|取得最大值，最大值为.

8．过双曲线－＝1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率是( B )

A.  B．1＋

C．2＋  D．3－

[解析]　由PQ⊥x轴，且∠PF1Q＝90°

所以|PF2|＝|F2F1|, P点满足－＝1，

∴y＝±＝±，

∴2c＝，即2ac＝b2＝c2－a2，

∴e2－2e－1＝0，又e>0，故e＝1＋.

故选B.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9．若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是( BD )

A．若1<t<5，则C为椭圆

B．若t<1，则C为双曲线

C．若C为双曲线，则焦距为4

D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3<t<5

[解析]　若方程＋＝1表示椭圆，则满足解得1<t<3或3<t<5.

对于A，当t＝3时，此时方程为x2＋y2＝2表示圆，所以A不正确；

对于B，当t<1时，5－t>0，t－1<0，此时表示焦点在x轴上的双曲线，所以B正确；

对于C，当t＝0时，方程－＝1所表示的曲线为双曲线，此时双曲线的焦距为2，所以C不正确；

若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则满足解得3<t<5，所以D正确．故选BD.

10．已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＋＝1(a>b>0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有( ACD )

A．y＝2x－3　　  B．y＝2x＋1

C．y＝－2x－3　　  D．y＝－2x＋3

[解析]　由于椭圆C关于原点、x轴、y轴对称．对于A选项，直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，则直线y＝2x－3截椭圆C所得弦长为7，A选项合乎要求；对于B选项，直线y＝2x＋1与直线l平行，直线y＝2x＋1截椭圆C所得弦长大于7，B选项不合乎要求；对于C选项，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，则直线y＝－2x－3截椭圆C所得弦长为7，C选项合乎要求；对于D选项，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，则直线y＝－2x＋3截椭圆C所得弦长为7，D选项合乎要求．

11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点P(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点Q(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中正确的是( ABC )

A．x1x2＝1  B．kPQ＝－

C．|PQ|＝  D．l1与l2之间的距离为4

[解析]　如图所示，由抛物线的光学性质可知，直线PQ过焦点F(1,0)，

所以x1x2＝＝1，即选项A正确；

由题意可得，点P的坐标为，点Q的坐标为(4，－4)，

所以kPQ＝＝－，即选项B正确；

由抛物线的定义可知，|PQ|＝x1＋x2＋p＝＋4＋2＝，即选项C正确；

因为l1与l2平行，所以l1与l2之间的距离d＝|y1－y2|＝5，即选项D错误．

12．如图，两个椭圆＋＝1，＋＝1，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个判断中正确命题为( BC )

A．P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值 

B．曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称 

C．曲线C所围区域面积必小于36 

D．曲线C总长度不大于6π

[解析]　 考虑点P不是交点的情况，若点P在椭圆＋＝1上，P到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故A错；

两个椭圆关于直线y＝x，y＝－x均对称，曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故B正确；

曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；

半径为3的圆在曲线C所围区域的内部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故D错误．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝ 　.

[解析]　双曲线的渐近线方程为x±my＝0，

圆x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，则圆心坐标为(0,2)，半径r＝1.

∵双曲线的渐近线与圆相切，

∴圆心到渐近线的距离d＝＝1，

得m＝.

14．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为 ＋＝1　.

[解析]　M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，

∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，∴点M的轨迹是以点C，A为焦点的椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的方程为＋＝1.

15．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝_6__.

[解析]　由于x2＝2py(p>0)的准线为y＝－，

由

解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为A，B，

所以|AB|＝2.

由△ABF为等边三角形，得|AB|＝p，解得p＝6.

16．已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为 　.

[解析]　由＋＝1，可知a＝2，b＝，

所以c＝＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.

在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos ∠PF1F2，

即|PF2|2＝|PF1|2＋4－4|PF1|×＝|PF1|2＋4＋2|PF1|①

由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，②

由①②联立可得|PF1|＝.

所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|sin ∠PF1F2＝××2×＝.

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)(2023·安徽省安庆市高二调研)求焦点在直线x－y＋2＝0上的抛物线的标准方程．

[解析]　因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，

所以其焦点坐标即为直线x－y＋2＝0与坐标轴的交点，

所以其焦点坐标为(－2,0)和(0,2)

当焦点为(－2,0)时，可知其方程中的p＝4，

所以其方程为y2＝－8x，

当焦点为(0,2)时，可知其方程中的p＝4，

所以其方程为x2＝8y，

故所求方程为y2＝－8x或x2＝8y.

18．(本小题满分12分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．

[解析]　①焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，且c＝.

设双曲线为－＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.

因为＝，所以＝，解得a＝7，m＝3.

因为椭圆和双曲线的半焦距为，

所以b2＝36，n2＝4.所以椭圆方程为＋＝1，

双曲线方程为－＝1.

②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.

19．(本小题满分12分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点是F(2,0)，离心率e＝2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．

[解析]　(1)由已知得c＝2，e＝2，所以a＝1，b＝，

所以所求双曲线方程为x2－＝1.

(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x1，y1)，N(x2，y2)．

联立整理得2x2－2mx－m2－3＝0.(*)

设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝x0＋m＝，所以线段MN垂直平分线的方程为y－＝－，即x＋y－2m＝0，

与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，

可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±，此时(*)的判别式Δ>0，

故直线l的方程为y＝x±.

20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，且|BF2|＝，点C是椭圆E上一点，直线CF2交椭圆于点A.

(1)求椭圆E的方程；

(2)求△ABC的面积．

[解析]　(1)因为顶点B的坐标为(0，b)，|BF2|＝，

所以|BF2|＝＝a＝，

因为点C在椭圆上，

所以＋＝1，解得b2＝1，

故所求椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)因为点C的坐标为，点F2的坐标为(1,0)，

所以直线CF2的斜率k＝＝1，所以直线CF2的方程为y＝x－1，

由得，3x2－4x＝0，

所以或，

所以点A的坐标为(0，－1)，所以|AB|＝2，所以S△ABC＝×2×＝.

21．(本小题满分12分)(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.

(1)求l的斜率；

(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．

[解析]　(1)将点A的坐标代入双曲线方程得－＝1，

化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，

故双曲线C的方程为－y2＝1.

由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2) ，

联立直线l与双曲线C的方程并整理得(2k2－1)x2＋4kbx＋2b2＋2 ＝0，

故x1＋x2＝－，x1x2＝.

kAP＋kAQ＝＋＝＋＝0，

化简得2kx1x2＋(b－1－2k)(x1＋x2)－4(b－1)＝0，

故＋(b－1－2k)－4(b－1)＝0，

整理得(k＋1)(b＋2k－1)＝0，

又直线l不过点A，即b＋2k－1≠0，故k＝－1.

(2)不妨设直线PA的倾斜角为θ，

由题意知∠PAQ＝π－2θ，

所以tan∠PAQ＝－tan 2θ＝＝2，

解得tan θ＝或tan θ＝－(舍去)，

由，得x1＝，

所以|AP|＝|x1－2|＝，

同理得x2＝，

所以|AQ|＝|x2－2|＝.

因为tan∠PAQ＝2，所以sin∠PAQ＝，

故S△PAQ＝|AP||AQ|sin∠PAQ＝×××＝.

22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

[解析]　　(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，

∵A在椭圆C上，

∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝2，

∴a＝，b2＝a2－c2＝1，

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)假设这样的直线存在，设直线l的方程为y＝2x＋t，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，

由，消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，

∴y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)＞0，

故y0＝＝且－3＜t＜3，

由＝，知四边形PMQN为平行四边形，

而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点，

∴y0＝＝，得y4＝，又－3＜t＜3，可得－＜y4＜－1，

∴点Q不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l.