新教材2023年高中数学本册综合测试题新人教A版选择性必修第一册

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册全册综合练习，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本册综合测试题
考试时间120分钟，满分150分
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线l过点(－3,0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为( B )
A．y＝－(x－3) B．y＝－(x＋3)
C．y＝(x－3) D．y＝(x＋3)
[解析]　因为直线y＝2x－3的斜率为2，所以直线l的斜率为－.又直线l过点(－3,0)，故所求直线的方程为y＝－(x＋3)．
2．已知向量a＝(0,1,1)，b＝(1，－2,1)．若向量a＋b与向量c＝(－2，m，－4)平行，则实数m的值是( A )
A．2　　 B．－2
C．10　　 D．－10
[解析]　a＋b＝(1，－1,2)，
由(a＋b)∥c得＝＝，解得m＝2，故选A.
3．直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长是( C )
A．10　　 B．5
C.　　 D．
[解析]　将圆的方程x2＋y2－2x－4y＝0化为标准方程，得(x－1)2＋(y－2)2＝5.圆心坐标(1,2)，半径r＝，
∴圆心到直线的距离d＝＝，
弦AB的长|AB|＝2＝.故选C.
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为( C )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
[解析]　双曲线中，e＝＝，c2＝a2＋b2，
所以＝＝＝＝＝，
故该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
5．以F(p＞0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2－y2＝2相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为( C )
A．y2＝2x　 B．y2＝4x
C．x2＝4y　 D．x2＝2y
[解析]　由题意，以F(p＞0)为焦点的抛物线C的准线y＝－，代入双曲线x2－y2＝2，可得x＝±，
∵△MNF为正三角形，∴p＝×2，
∵p＞0，∴p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.
6．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且＝2，则椭圆C的离心率为( A )
A.　　 B．
C.　　 D．3
[解析]　如图，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，B(0，b)为上顶点，F(c,0)为右焦点，

设D(x，y)，由＝2，
得(c，－b)＝2(x－c，y)，
即解得
所以D.
因为点D在椭圆上，
所以＋＝1，解得a2＝3c2，
即e2＝，所以e＝.
7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( C )
A. B．
C． D．
[解析]　建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1，1,2)，N(1,0,2)，所以＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cos θ＝＝＝.

8．(2022·全国卷甲)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为( B )
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋y2＝1
[解析]　依题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，
所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，·＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1，
又C的离心率e＝＝＝，
所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，
即C的方程为＋＝1，
故选B.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．下列说法中，正确的有( ACD )
A．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3,2)
B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为2
C．直线x－y＋1＝0的倾斜角为30°
D．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离为7
[解析]　对于A，化简得直线y＝a(x－3)＋2，故直线必过定点(3,2)，故A正确；
对于B，直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B错误；
对于C，直线x－y＋1＝0的斜率为，故倾斜角θ满足tan θ＝，0°≤θ<180°，则θ＝30°，故C正确；
对于D，因为直线x＝－2垂直于x轴，故点(5，－3)到直线x＝－2的距离为5－(－2)＝7，故D正确．故选ACD.
10．已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的是( AD )
A．m∥l B．m⊥l
C．m与圆相离 D．m与圆相交
[解析]　直线OP的斜率为，直线l的斜率为－，直线l的方程为ax＋by＝a2＋b2，
又P(a，b)在圆外，∴a2＋b2>r2，故m∥l，圆心(0,0)到直线ax＋by＝r2的距离d＝<＝|r|，故m与圆相交．
11．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是( ACD )

A．平面D1A1P⊥平面A1AP
B.·不是定值
C．三棱锥B1－D1PC的体积为定值
D．DC1⊥D1P
[解析]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，显然D1A1⊥平面A1AP，又D1A1⊂平面D1A1P，所以平面D1A1P⊥平面A1AP，所以A正确；·＝(＋)·＝·＋·＝||·||cos 45°＋||||cos 90°＝1××＝1，故·＝1，故B错误；易知VB1－D1PC＝VP－B1D1C，△B1D1C的面积是定值，A1B∥平面B1D1C，点P是线段A1B上动点，所以点P到平面B1D1C的距离是定值，所以VB1－D1PC＝VP－B1D1C是定值，故C正确；因为DC1⊥A1D1，DC1⊥A1B，A1D1∩A1B＝A1，所以DC1⊥平面A1D1P，D1P⊂平面A1D1P，所以DC1⊥D1P，故D正确．故选ACD.
12．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，抛物线y2＝4x的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列结论正确的是( BCD )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2x
B．双曲线C的方程为－y2＝1
C．k1k2为定值
D．存在点P，使得k1＋k2＝2
[解析]　因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，
所以e＝＝，＝＝，渐近线方程为y＝±x，故A错误；
又c＝，则a＝2，b2＝1，所以双曲线方程为－y2＝1，故B正确；
因为A(－2,0)，B(2,0)，设P(x，y)，则k1·k2＝·＝＝，故C正确；
k1＋k2＝＋＝＝·＝·，
因为点P在第一象限，渐近线方程为y＝±x，所以02，
所以k1＋k2>1，
所以存在点P，使得k1＋k2＝2，故D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_x＋2y－3＝0__.
[解析]　当直线AB与l1，l2均垂直时，l1，l2间的距离最大．∵A(1,1)，B(0，－1)，
∴kAB＝＝2，∴kl1＝－.
∴直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
14．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝ 2　，|AB|＝ 2　.
[解析]　如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，

∴∠DBO＝30°，又|OD|＝＝1，
∴r＝2|OD|＝2.|AB|＝2＝2.
15．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为 x＝－　.
[解析]　不妨设P所以Q，＝(6，－p)，因为PQ⊥OP，所以×6－p2＝0因为p>0所以p＝3所以C的准线方程为x＝－.
16．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为4，点H在棱AA1上，且HA1＝1，在侧面BCC1B1内作边长为1的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长，则当点P运动时，HP2的范围是 　.

[解析]　根据题意，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．

作HM⊥BB1交BB1于点M，连接PM，则HM⊥PM.
作PN⊥CC1交CC1于N，则PN即为点P到平面CDD1C1的距离．
设P(x,4，z)，则F(1,4,3)，M(4,4,3)，N(0,4，z)，0≤x≤4,0≤z≤4，
因为点P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长，所以PN＝PF，
由两点间距离公式可得x＝，
化简得2x－1＝(z－3)2，则2x－1≥0，解不等式可得x≥.
综上可得≤x≤4.
则在Rt△HMP中HP2＝HM2＋MP2＝42＋(x－4)2＋
(z－3)2＝42＋(x－4)2＋2x－1＝(x－3)2＋22(≤x≤4)，
所以HP2∈.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知圆心为(1,1)的圆C经过点M(1,2)．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线x＋y＋m＝0与圆C交于A，B两点，且△ABC是直角三角形，求实数m.
[解析]　(1)由已知，圆的半径
r＝|CM|＝＝1，
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
(2)由题意可知，|CA|＝|CB|＝1，且∠ACB＝90°，所以圆心C到直线x＋y＋m＝0的距离为，即＝，解得m＝－1或m＝－3.
18．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.
[解析]　(1)由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4，－)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)由双曲线的方程为x2－y2＝6，可得a＝b＝，c＝2，所以F1(－2，0)，F2(2，0)．由点M(3，m)，得＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，又点M(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，解得m2＝3，所以·＝m2－3＝0.
19．(本小题满分12分)如图所示，点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝3，N为PD的中点．

(1)求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝2，求MN的长．
[解析]　(1)取PC的中点E，连接NE，则＝－＝－(－)＝－＝－＝－－(－＋＋)＝－－＋，所以x＝－，y＝－，z＝.
(2)因为PA＝AB＝1，AD＝2，且PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD，
而||2＝2
＝2＋2＋2
＝＋＋＝，
所以||＝.故MN的长为.
20．(本小题满分12分)已知m>0，n>0，过P(m，n)的直线l与x轴交于A点，与y轴交于B点，记l与坐标轴围成的三角形AOB的面积为S.
(1)若点P的坐标为(2,4)，且＝2，求直线l的方程；
(2)若点A，B都在正半轴上，求S的最小值．
[解析]　(1)由题意可设A(a,0)，B(0，b)，因为P(2，4)，
所以＝(a－2，－4)，＝(－2，b－4)，
因为＝2，所以解得
故所求直线方程为＋＝1，即x－y＋2＝0.
(2)因为点A，B都在正半轴上，由(1)可得a>0，b>0，
设直线l的方程为＋＝1，将P(m，n)代入得＋＝1，
又m>0，n>0，所以>0，>0，
因此1＝＋≥2，即ab≥4mn，
所以直线l与坐标轴围成的三角形AOB的面积S△AOB＝ab≥2mn.
即S的最小值为2mn，当且仅当＝＝时取得最小值．
21．(本小题满分12分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.

(1)证明：BF⊥DE.
(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？
[解析]　因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB，
因为A1B1∥AB，BF⊥A1B1，所以BF⊥AB，
又BB1∩BF＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.
所以BA，BC，BB1两两垂直．
以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．

所以B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0,2)，A1(2,0,2)，C1(0,2,2)，E(1,1,0)，F(0,2,1)．
由题设D(a,0,2)(0≤a≤2)．
(1)因为＝(0,2,1)，＝(1－a,1，－2)，
所以·＝0×(1－a)＋2×1＋1×(－2)＝0，所以BF⊥DE.
(2)设平面DFE的法向量为m＝(x，y，z)，
因为＝(－1,1,1)，＝(1－a,1，－2)，
所以，即.
令z＝2－a，则m＝(3,1＋a,2－a)，
因为平面BCC1B1的法向量为＝(2,0,0)，
设平面BCC1B1与平面DEF的二面角的平面角为θ，
则＝＝＝.
当a＝时，2a2－2a＋4取最小值为，
此时cos θ取最大值为＝.
所以(sin θ)min＝＝，
此时B1D＝.
22．(本小题满分12分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
[解析]　(1)由题意得c＝2　①.
因为双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，所以＝　②.
又c2＝a2＋b2　③，
所以联立①②③得a＝1，b＝，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0)，将直线PQ的方程代入C的方程，整理得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝－>0，
所以3－k2<0，
所以x1－x2＝
＝.
设点M的坐标为(xM, yM)，则
，
两式相减，得y1－y2＝2xM－(x1＋x2)，
又y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)，
所以2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，解得xM＝；
两式相加，得2yM－(y1＋y2)＝(x1－x2)，
又y1＋y2＝(kx1＋b) ＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2) ＋2b，
所以2yM＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2b，
解得yM＝＝xM.
因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．
若选择①②：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A在直线y＝x上，
则由，
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－，
所以xA＋xB＝，yA＋yB＝.
点M的坐标满足，
得xM＝＝，yM＝＝，
故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.
若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，
此时M不在直线y＝x上，矛盾．
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A在直线y＝x上，
则由，
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－，
因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，所以xM＝＝，
yM＝＝，
又点M在直线y＝x上，
所以＝·，
解得k＝m，因此PQ∥AB.
若选择②③：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A在直线y＝x上，
则由，
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－.
设AB的中点为C(xC, yC)，则xC＝＝，
yC＝＝.
因为|MA|＝|MB|，所以M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y－yC＝－(x－xC)，
即y－＝－上，
与y＝x联立，得xM＝＝xC，yM＝＝yC，
即点M恰为AB的中点，故点M在直线AB上．