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2023年广东省深圳市南山区育才三中中考数学三模试卷
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这是一份2023年广东省深圳市南山区育才三中中考数学三模试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
育才三中2023年中考数学三模试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1． －5的相反数为（ ）
A．5 B．－5 C．5或－5 D．
2． 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3． 2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.448×106 B．44.8×104 C．4.48×105 D．4.48×106
4． 下列运算结果正确的是（ ）
A．a3·a2＝a6 B．(2a3)3＝6a9
C．－6x5÷(2x3)＝－3x2 D．(m＋n)2＝m2＋n2
5． 下列命题是假命题的是（ ）
A．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3
B．对顶角相等
C．如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除
D．内错角相等
6． 如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形，∠1＝50°，则∠2的大小为（ ）
A．60°
B．80°
C．70°
D．100°
7．使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＝2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2
8． 袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．10
9． 已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（ ）
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
10．如图，在矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点G．若BF·AD＝12，则AF的长度为（ ）
A．6
B．12
C．
D．2
二、填空题（每题3分，共15分）
11．因式分解：ax2－ay2＝________．
12．如图，□ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于点F，则CF＝________．
13．正六边形的一个内角是正n边形一个外角的5倍，则n等于________．
14．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE·AB．已知AB＝2，则线段BE＝________．
15．如图，点A，B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，连接AB并延长交x轴于点C．若点B是AC的中点，S△AOC＝12，则k的值为_______．
三、解答题（共55分）
16．（5分）计算：()＋－|－2|－(π－2023)0．
17．（7分）先化简，再求值：(－)÷，其中a满足a2＋2a－1＝0．
18．（8分）初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此某市教育局对该市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了________名学生；
（2）将图①补充完整；
（3）图②中C级所占的圆心角的度数为_______°；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该市近20000名初中生中大约有多少名学生学习态度达标？（达标包括A级和B级）
19．（8分）已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，BM⊥AB．
（1）尺规作图：求作AB的中点O，连CO并延长，交BM于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求∠BDC的余弦值．
条件①：△AOC和△BOD的面积为S1和S2，且S1∶S2＝3∶5；
条件②：△BOC和△AOC的周长为C1和C2，且C1－C2＝AC．
20．（8分）冬天是吃羊肉的好时节．白萝卜炖羊肉，不仅鲜美可口，对慢性支气管炎、脾虚积食等病症有补益效果．所以一到冬天，羊肉就是各大超市的畅销品．某超市在冬至这天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了4斤羊腿，3斤羊排，一共花了272元；顾客乙买了2斤羊腿，1斤羊排，一共花了116元．
（1）羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？
（2）第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共180斤，且羊腿的重量不少于120斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利6元，每斤羊排可盈利8元，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？
21．（9分）图象对于探究函数性质有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探究．
画函数y1＝3|x|的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y1＝3|x|
…
9
6
3
0
3
6
9
…
在同一平面直角坐标系中，经历同样的过程画出函数y2＝3|x－2|的图象如图所示．
（1）观察发现：两个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形，且图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化．所以可以将函数y1的图象向右平移2个单位得到y2的图象，则此时函数y2的图象的最低点A的坐标为________．
（2）探索思考：将函数y2＝3|x－2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x－2|＋2，请在网格图中画出函数y3的图象，并求出当x≥4时，函数y3的最小值．
（3）拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到函数y4＝3|x－m|＋2的图象，其最低点为点P．
①用m表示最低点P的坐标为________；
②当－1≤x≤2时，函数y4有最小值为5，求此时m的值．
22．（10分）矩形ABCD中，＝(k＞1)，点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
【特例证明】
（1）如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
【类比探究】
（2）如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）；
【拓展运用】
（3）如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，PF＝2，则BC的长为________．
育才三中2023年中考数学三模试卷参考答案与试题解析
一．选择题
1．－5的相反数为（ ）
A．5 B．－5 C．5或－5 D．
【解答】解：－5的相反数为5．故选：A．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B的图形字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．
3．2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.448×106 B．44.8×104 C．4.48×105 D．4.48×106
【解答】解：44.8万＝448000＝4.48×105．故选：C．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．a3·a2＝a6 B．(2a3)3＝6a9 C．－6x5÷(2x3)＝－3x2 D．(m＋n)2＝m2＋n2
【解答】解：A．a3•a2＝a3＋2＝a5，故原选项计算错误，不符合题意；
B．（2a3）3＝8a9，故原选项计算错误，不符合题意；
C．－6x5÷2x3＝－3x2，故原选项计算正确，符合题意；
D．(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2，故原选项计算错误，不符合题意；故选：C．
5．下列命题是假命题的是（ ）
A．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3
B．对顶角相等
C．如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除
D．内错角相等
【解答】解：A、如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3，正确，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除，正确，是真命题，不符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．故选：D．
6．如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形，∠1＝50°，则∠2的大小为（ ）
A．60° B．80° C．70° D．100°
【解答】解：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，
∵l1∥l2，∠1＝50°，∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠4＝180°－∠3－∠A＝70°，∴∠2＝70°．故选：C．
7．使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＝2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2
【解答】解：有意义，则x－2＞0，解得x＞2．故选：B．
8．袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．10
【解答】解：袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能大于8．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．
9．已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：由作法得OD＝OC，DO＝DE，
∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝（180°－∠COD）＝×（180°－40°）＝70°，
∵DO＝DE，∴∠DEO＝∠DOE＝40°，
∵∠OCD＝∠CDE＋∠DEC，
∴∠CDE＝70°－40°＝30°．故选：B．
10．如图，在矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点G．若BF•AD＝12，则AF的长度为（ ）
A．6 B．12 C． D．2
【解答】解：连接BG，
在矩形ABCD中，AD∥BC，∠DAF＝∠AFB，∴AE＝EF，AD＝DF，
∴DE垂直平分AF于点G，
∵∠ABF＝90°，∴BG＝AF＝AG＝FG，
∴∠GBA＝∠GAB，∠BGF＝2∠BAG＝2∠ADE＝∠FDA，
∴△GBF∽△DAF，∴，∴AF•BG＝12，∴AF2＝12，∴AF＝2．故选：D．
二．填空题
11．因式分解：ax2－ay2＝ a（x＋y）（x－y） ．
【解答】解：ax2－ay2＝a（x2－y2）＝a（x＋y）（x－y）．
故答案为：a（x＋y）（x－y）．
12．如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF＝ 2 ．
【解答】解：如图，∵AE平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，
平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠2＝∠3，∠1＝∠F，
又∵∠3＝∠4（对顶角相等），
∴∠1＝∠3，∠4＝∠F，
∴AD＝DE，CE＝CF，
∵AB＝5，AD＝3，
∴CE＝DC－DE＝AB－AD＝5－3＝2，
∴CF＝2．
故答案为：2．
13．正六边形的一个内角是正n边形一个外角的5倍，则n等于 15 ．
【解答】解：正六边形的一个内角为：，
∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的5倍，
∴正n边形一个外角为：120°÷5＝24°，
∴n＝360°÷24°＝15．
故答案为：15．
14．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB＝2，则线段BE＝ －1＋ ．
【解答】解：∵BE2＝AE•AB，
设BE＝x，则AE＝（2－x），
∵AB＝2，
∴x2＝2（2－x），
即x2＋2x－4＝0，
解得：x1＝－1，x2＝－1－（舍去），
∴线段BE＝－1＋．
故答案为：－1＋．
15．如图，点A，B在反比例函数的图象上，连接AB并延长交x轴于点C．若B是AC的中点，S△AOC＝12，则k的值为 8 ．
【解答】解：过A作AD⊥OC，过B作BE⊥OC，分别交OC于点D，E，连接BO，
则：BE∥AD，
∴△ADC∽△BEC，
∴，
∵B为AC的中点，
∴，
∴，
∵点A，B在反比例函数的图象上，
∴S△ODA＝S△OEB，
即：，
∵AD＝2BE，
∴OE＝2OD，
∴OD＝DE，
∴OC＝3OD，
∴，
∵S△AOC＝12，B是AC的中点，则S△OCB＝6，
∴，
∴k＝2S△OBE＝2×4＝8．
故答案为：8．
三．解答题
16．计算：()＋－|－2|－(π－2023)0．
【解答】解：原式＝3＋2－2＋－1＝3．
17．先化简，再求值：，其中a满足a2＋2a－1＝0．
【解答】解：（－）÷
＝[＋]•a（a－1）
＝（＋）•a（a－1）
＝•a（a－1）
＝a（a＋2）
＝a2＋2a，
∵a2＋2a－1＝0，
∴a2＋2a＝1，
当a2＋2a＝1时，
原式＝1．
18．初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此某市教育局对该市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了 200 名学生；
（2）将图①补充完整；
（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该市近20000名初中生中大约有多少名学生学习态度达标？（达标包括A级和B级）
【解答】解：（1）50÷25%＝200（人）；故答案为：200；
（2）C级人数：200－120－50＝30（人）．
条形统计图如图所示：
（3）C所占圆心角度数＝360°×（1－25%－60%）＝54°．
（4）20000×（25%＋60%）＝17000（名）．
答：估计该市初中生中大约有17000名学生学习态度达标．
19．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，BM⊥AB．
（1）尺规作图：求作AB的中点O，连CO并延长，交BM于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求∠BDC的余弦值．
条件①：△AOC和△BOD的面积为S1和S2，且S1：S2＝3：5；
条件②：△BOC和△AOC的周长为C1和C2，且C1－C2＝AC．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）选择条件①，过点C作CE⊥AB于点E．
∵AO＝OB，
∴CO＝OA＝OB，
∵AB⊥BM，
∴S1＝•AO•CE，S2＝•OB•DB，
∵S1：S2＝3：5，
∴CE：BD＝3：5，
∵∠CEO＝∠EBD＝90°，
∴CE∥BD，
∴＝＝，
设CO＝3x，则DO＝5x，
∴CO＝BO＝3x，
在Rt△BOD中，BD＝＝4x，
∴cos∠BDC＝＝＝．
选择条件②∵C1＝OC＋OB＋BC，C2＝AC＋AO＋CO，
∴C1－C2＝BC－AC，
∵C1－C2＝AC，
∴BC－AC＝AC，
∴BC＝2AC，
设AC＝x，则BC＝2x，AB＝x，
∴OA＝OB＝OC＝x，
∵•AC•CB＝•AB•CE，
∴CE＝＝x，
∵EC∥BM，
∴∠ECO＝∠BDC，
∴cos∠BDC＝cos∠ECO＝＝＝．
20．冬天是吃羊肉的好时节．白萝卜炖羊肉，不仅鲜美可口，对慢性支气管炎、脾虚积食等病症有补益效果．所以一到冬天，羊肉就是各大超市的畅销品．某超市在冬至这天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了4斤羊腿，3斤羊排，一共花了272元；顾客乙买了2斤羊腿，1斤羊排，一共花了116元．
（1）羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？
（2）第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共180斤，且羊腿的重量不少于120斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利6元，每斤羊排可盈利8元，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设羊腿的售价每斤为a元，羊排的售价每斤为b元，根据题意，得：
，解得，
答：羊腿和羊排的售价分别是38元，40元；
（2）设购进羊腿x斤，这批羊肉卖完时总获利为w元，
根据题意，得：x≥120，
w＝6x＋8（180－x）＝－2x＋1440，
∵－2＜0，∴w随x的增大而减小，
∴当x＝120时，w有最大值，w最大＝－2×120＋1440＝1200，
此时，180－120＝60（斤），
答：超市老板应该购进120斤羊腿，60斤羊排，才能使得这批羊肉卖完时获利最大，最大利润是1200元．
21．图象对于探究函数性质有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探究．
画函数y1＝3|x|的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y1＝3|x|
…
9
6
3
0
3
6
9
…
在同一平面直角坐标系中，经历同样的过程画出函数y2＝3|x－2|的图象如图所示．
（1）观察发现：两个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形，且图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化．所以可以将函数y1的图象向右平移2个单位得到y2的图象，则此时函数y2的图象的最低点A的坐标为 （2，0） ．
（2）探索思考：将函数y2＝3|x－2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x－2|＋2，请在网格图中画出函数y3的图象，并求出当x≥4时，函数y3的最小值．
（3）拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到函数y4＝3|x－m|＋2的图象，其最低点为点P．
①用m表示最低点P的坐标为 （m，2） ；
②当－1≤x≤2时，函数y4有最小值为5，求此时m的值．
【解答】解：（1）由图象可得A（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）将函数y2＝3|x－2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x－2|＋2，如图：
当x≥4时，y3取到最小值，最小值为8；
（3）拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到y4＝3|x－m|＋2，其最低点为点P．
①最低点P的坐标为（m，2），
故答案为（m，2）；
②若m＜－1，
当x＝－1时，y4有最小值5，
∴3×|－1－m|＋2＝5
∴m＝0（舍），或m＝－2
若－1≤m≤2，
当x＝m时，y4有最小值2，不符合题意，舍去．
若m＞2，
当x＝2时，y4有最小值5，
∴3×|2－m|＋2＝5
∴m＝1（舍），或m＝3
综上所述，m＝－2或m＝3．
22．矩形ABCD中，（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
【特例证明】（1）如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
【类比探究】（2）如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）；
【拓展运用】（3）如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，PF＝，则BC的长为 4 ．
【解答】（1）证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH，
∵k＝2，
∴AB＝BC，
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°－∠1＝135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠3＝∠DCG＝45°，
∴∠ECF＝∠3＋∠4＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠6＋∠AEB＝90°，
∵∠5＋∠AEB＝90°，
∴∠5＝∠6，
∵AB＝BC，BH＝BE，
∴AH＝EC，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠BHE＝∠BEH＝45°，
∴∠AHE＝135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠DCF＝∠DCG＝45°．
∴∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠FEC＋∠AEB＝90°，
∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，
∴△AHE∽△ECF，∴，
∵，E是BC边的中点，∴EC＝HB＝BC，∴AH＝AB－BC＝（k－）BC，
∴＝k－1；
（3）解：连接AE，延长AP、EF交于Q，
当k＝3时，设AB＝3a，则BC＝2a，
设BE＝EC＝a，则AE＝a，
∵∠PAE＝45°，AE⊥EF，
∴△AEQ是等腰直角三角形，∴AE＝EQ，
作作QM⊥BC交BC的延长线于点M，
∵∠AEB＋∠QEM＝90°，∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠QEM，
∵AE＝EQ，∴△ABE≌△EMQ（AAS），
∴EM＝AB＝3a，MC＝EM－EC＝2a，
作QN⊥CD交于N，
∴四边形NCMQ是矩形，
∴QN＝CM＝AD＝2a，
∵∠APD＝∠NPQ，∠D＝∠PNQ，
∴△ADP≌△QNP（AAS），∴AP＝PQ，
∵EF＝AE＝EQ，∴EF＝FQ，PF＝AE，
∴a＝2，∴a＝2，∴BC＝4，故答案为：4．
育才三中2023年中考数学三模试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1． －5的相反数为（ ）
A．5 B．－5 C．5或－5 D．
2． 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3． 2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.448×106 B．44.8×104 C．4.48×105 D．4.48×106
4． 下列运算结果正确的是（ ）
A．a3·a2＝a6 B．(2a3)3＝6a9
C．－6x5÷(2x3)＝－3x2 D．(m＋n)2＝m2＋n2
5． 下列命题是假命题的是（ ）
A．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3
B．对顶角相等
C．如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除
D．内错角相等
6． 如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形，∠1＝50°，则∠2的大小为（ ）
A．60°
B．80°
C．70°
D．100°
7．使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＝2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2
8． 袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．10
9． 已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（ ）
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
10．如图，在矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点G．若BF·AD＝12，则AF的长度为（ ）
A．6
B．12
C．
D．2
二、填空题（每题3分，共15分）
11．因式分解：ax2－ay2＝________．
12．如图，□ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于点F，则CF＝________．
13．正六边形的一个内角是正n边形一个外角的5倍，则n等于________．
14．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE·AB．已知AB＝2，则线段BE＝________．
15．如图，点A，B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，连接AB并延长交x轴于点C．若点B是AC的中点，S△AOC＝12，则k的值为_______．
三、解答题（共55分）
16．（5分）计算：()＋－|－2|－(π－2023)0．
17．（7分）先化简，再求值：(－)÷，其中a满足a2＋2a－1＝0．
18．（8分）初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此某市教育局对该市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了________名学生；
（2）将图①补充完整；
（3）图②中C级所占的圆心角的度数为_______°；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该市近20000名初中生中大约有多少名学生学习态度达标？（达标包括A级和B级）
19．（8分）已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，BM⊥AB．
（1）尺规作图：求作AB的中点O，连CO并延长，交BM于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求∠BDC的余弦值．
条件①：△AOC和△BOD的面积为S1和S2，且S1∶S2＝3∶5；
条件②：△BOC和△AOC的周长为C1和C2，且C1－C2＝AC．
20．（8分）冬天是吃羊肉的好时节．白萝卜炖羊肉，不仅鲜美可口，对慢性支气管炎、脾虚积食等病症有补益效果．所以一到冬天，羊肉就是各大超市的畅销品．某超市在冬至这天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了4斤羊腿，3斤羊排，一共花了272元；顾客乙买了2斤羊腿，1斤羊排，一共花了116元．
（1）羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？
（2）第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共180斤，且羊腿的重量不少于120斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利6元，每斤羊排可盈利8元，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？
21．（9分）图象对于探究函数性质有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探究．
画函数y1＝3|x|的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y1＝3|x|
…
9
6
3
0
3
6
9
…
在同一平面直角坐标系中，经历同样的过程画出函数y2＝3|x－2|的图象如图所示．
（1）观察发现：两个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形，且图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化．所以可以将函数y1的图象向右平移2个单位得到y2的图象，则此时函数y2的图象的最低点A的坐标为________．
（2）探索思考：将函数y2＝3|x－2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x－2|＋2，请在网格图中画出函数y3的图象，并求出当x≥4时，函数y3的最小值．
（3）拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到函数y4＝3|x－m|＋2的图象，其最低点为点P．
①用m表示最低点P的坐标为________；
②当－1≤x≤2时，函数y4有最小值为5，求此时m的值．
22．（10分）矩形ABCD中，＝(k＞1)，点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
【特例证明】
（1）如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
【类比探究】
（2）如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）；
【拓展运用】
（3）如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，PF＝2，则BC的长为________．
育才三中2023年中考数学三模试卷参考答案与试题解析
一．选择题
1．－5的相反数为（ ）
A．5 B．－5 C．5或－5 D．
【解答】解：－5的相反数为5．故选：A．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B的图形字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．
3．2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.448×106 B．44.8×104 C．4.48×105 D．4.48×106
【解答】解：44.8万＝448000＝4.48×105．故选：C．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．a3·a2＝a6 B．(2a3)3＝6a9 C．－6x5÷(2x3)＝－3x2 D．(m＋n)2＝m2＋n2
【解答】解：A．a3•a2＝a3＋2＝a5，故原选项计算错误，不符合题意；
B．（2a3）3＝8a9，故原选项计算错误，不符合题意；
C．－6x5÷2x3＝－3x2，故原选项计算正确，符合题意；
D．(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2，故原选项计算错误，不符合题意；故选：C．
5．下列命题是假命题的是（ ）
A．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3
B．对顶角相等
C．如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除
D．内错角相等
【解答】解：A、如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3，正确，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除，正确，是真命题，不符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．故选：D．
6．如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形，∠1＝50°，则∠2的大小为（ ）
A．60° B．80° C．70° D．100°
【解答】解：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，
∵l1∥l2，∠1＝50°，∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠4＝180°－∠3－∠A＝70°，∴∠2＝70°．故选：C．
7．使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＝2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2
【解答】解：有意义，则x－2＞0，解得x＞2．故选：B．
8．袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．10
【解答】解：袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能大于8．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．
9．已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：由作法得OD＝OC，DO＝DE，
∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝（180°－∠COD）＝×（180°－40°）＝70°，
∵DO＝DE，∴∠DEO＝∠DOE＝40°，
∵∠OCD＝∠CDE＋∠DEC，
∴∠CDE＝70°－40°＝30°．故选：B．
10．如图，在矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点G．若BF•AD＝12，则AF的长度为（ ）
A．6 B．12 C． D．2
【解答】解：连接BG，
在矩形ABCD中，AD∥BC，∠DAF＝∠AFB，∴AE＝EF，AD＝DF，
∴DE垂直平分AF于点G，
∵∠ABF＝90°，∴BG＝AF＝AG＝FG，
∴∠GBA＝∠GAB，∠BGF＝2∠BAG＝2∠ADE＝∠FDA，
∴△GBF∽△DAF，∴，∴AF•BG＝12，∴AF2＝12，∴AF＝2．故选：D．
二．填空题
11．因式分解：ax2－ay2＝ a（x＋y）（x－y） ．
【解答】解：ax2－ay2＝a（x2－y2）＝a（x＋y）（x－y）．
故答案为：a（x＋y）（x－y）．
12．如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF＝ 2 ．
【解答】解：如图，∵AE平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，
平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠2＝∠3，∠1＝∠F，
又∵∠3＝∠4（对顶角相等），
∴∠1＝∠3，∠4＝∠F，
∴AD＝DE，CE＝CF，
∵AB＝5，AD＝3，
∴CE＝DC－DE＝AB－AD＝5－3＝2，
∴CF＝2．
故答案为：2．
13．正六边形的一个内角是正n边形一个外角的5倍，则n等于 15 ．
【解答】解：正六边形的一个内角为：，
∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的5倍，
∴正n边形一个外角为：120°÷5＝24°，
∴n＝360°÷24°＝15．
故答案为：15．
14．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB＝2，则线段BE＝ －1＋ ．
【解答】解：∵BE2＝AE•AB，
设BE＝x，则AE＝（2－x），
∵AB＝2，
∴x2＝2（2－x），
即x2＋2x－4＝0，
解得：x1＝－1，x2＝－1－（舍去），
∴线段BE＝－1＋．
故答案为：－1＋．
15．如图，点A，B在反比例函数的图象上，连接AB并延长交x轴于点C．若B是AC的中点，S△AOC＝12，则k的值为 8 ．
【解答】解：过A作AD⊥OC，过B作BE⊥OC，分别交OC于点D，E，连接BO，
则：BE∥AD，
∴△ADC∽△BEC，
∴，
∵B为AC的中点，
∴，
∴，
∵点A，B在反比例函数的图象上，
∴S△ODA＝S△OEB，
即：，
∵AD＝2BE，
∴OE＝2OD，
∴OD＝DE，
∴OC＝3OD，
∴，
∵S△AOC＝12，B是AC的中点，则S△OCB＝6，
∴，
∴k＝2S△OBE＝2×4＝8．
故答案为：8．
三．解答题
16．计算：()＋－|－2|－(π－2023)0．
【解答】解：原式＝3＋2－2＋－1＝3．
17．先化简，再求值：，其中a满足a2＋2a－1＝0．
【解答】解：（－）÷
＝[＋]•a（a－1）
＝（＋）•a（a－1）
＝•a（a－1）
＝a（a＋2）
＝a2＋2a，
∵a2＋2a－1＝0，
∴a2＋2a＝1，
当a2＋2a＝1时，
原式＝1．
18．初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此某市教育局对该市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了 200 名学生；
（2）将图①补充完整；
（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该市近20000名初中生中大约有多少名学生学习态度达标？（达标包括A级和B级）
【解答】解：（1）50÷25%＝200（人）；故答案为：200；
（2）C级人数：200－120－50＝30（人）．
条形统计图如图所示：
（3）C所占圆心角度数＝360°×（1－25%－60%）＝54°．
（4）20000×（25%＋60%）＝17000（名）．
答：估计该市初中生中大约有17000名学生学习态度达标．
19．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，BM⊥AB．
（1）尺规作图：求作AB的中点O，连CO并延长，交BM于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求∠BDC的余弦值．
条件①：△AOC和△BOD的面积为S1和S2，且S1：S2＝3：5；
条件②：△BOC和△AOC的周长为C1和C2，且C1－C2＝AC．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）选择条件①，过点C作CE⊥AB于点E．
∵AO＝OB，
∴CO＝OA＝OB，
∵AB⊥BM，
∴S1＝•AO•CE，S2＝•OB•DB，
∵S1：S2＝3：5，
∴CE：BD＝3：5，
∵∠CEO＝∠EBD＝90°，
∴CE∥BD，
∴＝＝，
设CO＝3x，则DO＝5x，
∴CO＝BO＝3x，
在Rt△BOD中，BD＝＝4x，
∴cos∠BDC＝＝＝．
选择条件②∵C1＝OC＋OB＋BC，C2＝AC＋AO＋CO，
∴C1－C2＝BC－AC，
∵C1－C2＝AC，
∴BC－AC＝AC，
∴BC＝2AC，
设AC＝x，则BC＝2x，AB＝x，
∴OA＝OB＝OC＝x，
∵•AC•CB＝•AB•CE，
∴CE＝＝x，
∵EC∥BM，
∴∠ECO＝∠BDC，
∴cos∠BDC＝cos∠ECO＝＝＝．
20．冬天是吃羊肉的好时节．白萝卜炖羊肉，不仅鲜美可口，对慢性支气管炎、脾虚积食等病症有补益效果．所以一到冬天，羊肉就是各大超市的畅销品．某超市在冬至这天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了4斤羊腿，3斤羊排，一共花了272元；顾客乙买了2斤羊腿，1斤羊排，一共花了116元．
（1）羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？
（2）第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共180斤，且羊腿的重量不少于120斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利6元，每斤羊排可盈利8元，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设羊腿的售价每斤为a元，羊排的售价每斤为b元，根据题意，得：
，解得，
答：羊腿和羊排的售价分别是38元，40元；
（2）设购进羊腿x斤，这批羊肉卖完时总获利为w元，
根据题意，得：x≥120，
w＝6x＋8（180－x）＝－2x＋1440，
∵－2＜0，∴w随x的增大而减小，
∴当x＝120时，w有最大值，w最大＝－2×120＋1440＝1200，
此时，180－120＝60（斤），
答：超市老板应该购进120斤羊腿，60斤羊排，才能使得这批羊肉卖完时获利最大，最大利润是1200元．
21．图象对于探究函数性质有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探究．
画函数y1＝3|x|的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y1＝3|x|
…
9
6
3
0
3
6
9
…
在同一平面直角坐标系中，经历同样的过程画出函数y2＝3|x－2|的图象如图所示．
（1）观察发现：两个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形，且图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化．所以可以将函数y1的图象向右平移2个单位得到y2的图象，则此时函数y2的图象的最低点A的坐标为 （2，0） ．
（2）探索思考：将函数y2＝3|x－2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x－2|＋2，请在网格图中画出函数y3的图象，并求出当x≥4时，函数y3的最小值．
（3）拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到函数y4＝3|x－m|＋2的图象，其最低点为点P．
①用m表示最低点P的坐标为 （m，2） ；
②当－1≤x≤2时，函数y4有最小值为5，求此时m的值．
【解答】解：（1）由图象可得A（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）将函数y2＝3|x－2|的图象再向上平移2个单位可以得到新的函数y3＝3|x－2|＋2，如图：
当x≥4时，y3取到最小值，最小值为8；
（3）拓展应用：将函数y3的图象继续平移得到y4＝3|x－m|＋2，其最低点为点P．
①最低点P的坐标为（m，2），
故答案为（m，2）；
②若m＜－1，
当x＝－1时，y4有最小值5，
∴3×|－1－m|＋2＝5
∴m＝0（舍），或m＝－2
若－1≤m≤2，
当x＝m时，y4有最小值2，不符合题意，舍去．
若m＞2，
当x＝2时，y4有最小值5，
∴3×|2－m|＋2＝5
∴m＝1（舍），或m＝3
综上所述，m＝－2或m＝3．
22．矩形ABCD中，（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
【特例证明】（1）如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
【类比探究】（2）如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）；
【拓展运用】（3）如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，PF＝，则BC的长为 4 ．
【解答】（1）证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH，
∵k＝2，
∴AB＝BC，
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°－∠1＝135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠3＝∠DCG＝45°，
∴∠ECF＝∠3＋∠4＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠6＋∠AEB＝90°，
∵∠5＋∠AEB＝90°，
∴∠5＝∠6，
∵AB＝BC，BH＝BE，
∴AH＝EC，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：在BA上截取BH＝BE，连接EH．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠BHE＝∠BEH＝45°，
∴∠AHE＝135°，
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
∴∠DCF＝∠DCG＝45°．
∴∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠FEC＋∠AEB＝90°，
∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，
∴△AHE∽△ECF，∴，
∵，E是BC边的中点，∴EC＝HB＝BC，∴AH＝AB－BC＝（k－）BC，
∴＝k－1；
（3）解：连接AE，延长AP、EF交于Q，
当k＝3时，设AB＝3a，则BC＝2a，
设BE＝EC＝a，则AE＝a，
∵∠PAE＝45°，AE⊥EF，
∴△AEQ是等腰直角三角形，∴AE＝EQ，
作作QM⊥BC交BC的延长线于点M，
∵∠AEB＋∠QEM＝90°，∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠QEM，
∵AE＝EQ，∴△ABE≌△EMQ（AAS），
∴EM＝AB＝3a，MC＝EM－EC＝2a，
作QN⊥CD交于N，
∴四边形NCMQ是矩形，
∴QN＝CM＝AD＝2a，
∵∠APD＝∠NPQ，∠D＝∠PNQ，
∴△ADP≌△QNP（AAS），∴AP＝PQ，
∵EF＝AE＝EQ，∴EF＝FQ，PF＝AE，
∴a＝2，∴a＝2，∴BC＝4，故答案为：4．
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