广东省广州市南沙区2021-2022学年高二下学期期末数学试题

这是一份广东省广州市南沙区2021-2022学年高二下学期期末数学试题，共17页。试卷主要包含了 已知随机变量，且，则， 对于三次函数，现给出定义等内容，欢迎下载使用。
2021学年第二学期期末教学质量检测高二数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设函数在上存在导函数的图象在点处的切线方程为，那么（    ）A. 2 B. 1 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据导数的几何意义即可得出答案.【详解】解：因为函数的图象在点处的切线方程为，所以.故选：A.2. 2022年北京冬奥会期间，需从5名志愿者中选3人去为速度滑冰､花样滑冰､冰球三个竞赛项目服务，每个项目必须有志愿者参加且每名志愿者只服务一个项目，不同的安排方法种数为（    ）A. 10 B. 27 C. 36 D. 60【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用排列的意义列式计算作答.【详解】依题意，从5名志愿者中选3人服务3个不同项目，不同的安排方法有（种）．故选：D3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用条件概率公式进行求解.【详解】，其中表示：两次点数均为奇数，且两次点数之和为8，共有两种情况，即，故，而，所以，故选：B4. 已知函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据导函数不同区间上函数值的符号，判断的区间单调性，即可确定答案.【详解】由图可知，当x＜0时，即在(－∞,0)上单调递增；当0＜x＜2时，即在(0,2)上单调递减；当x＞2时，即在(2,＋∞)上单调递增.结合各选项，只有D符合要求.故选：D5. 已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（    ）A.  B.  C. 15 D. 20【答案】B【解析】【分析】首先利用求出，然后再利用二项式展开式的通项即可求解.详解】根据题意可得，解得， 则展开式的通项为，令，得，所以常数项为：.故选：B.6. 已知随机变量，且，则（    ）A.  B. 12 C. 3 D. 24【答案】C【解析】【分析】结合，求得，即可求解．【详解】由题意，随机变量，可得，又由，解得，即随机变量，可得，故选：C．7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（    ）A. 99 B. 131 C. 139 D. 141【答案】D【解析】【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.【详解】设该高阶等差数列的第8项为，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得，则.故选：D8. 对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ）A. 0 B. 1 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】对函数求导，再求导，然后令，求得对称点即可.【详解】依题意得，，，令，解得x＝1，∵，∴函数的对称中心为，则，∵∴．故选：A.二､多选题：本题4小题，小6分，20在小给出的四个申，有多项符合题要求，全部选对的得香特，有选错的0分，都分选对的得2分，9. 将甲，乙，丙，丁4个志愿者分别安排到学校图书馆，食堂，实验室帮忙，要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是（    ）A. 总其有36种安排方法B. 若甲安排在实验室帮忙，则有6种安排方法C. 若图书馆需要安排两位志愿者帮忙，则有24种安排方法D. 若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有6种安排方法【答案】AD【解析】【分析】先将4人分成3组，再将3组安排到3个场馆，即可判断A；分实验室只安排甲1人和实验室安排2人，即可判断B；先安排2人去图书馆，再将其他2人安排到其他两个场馆，即可判断C；将甲､乙看成一人，则将3人安排到3个不同的地方，即可判断D.【详解】解：对于A，先将4人分成3组，再将3组安排到3个场馆，有种安排方法，故A正确；对于B，若实验室只安排甲1人，则有种安排方法，若实验室安排2人，则有种安排方法，所以若甲安排在实验室帮忙，则有12种安排方法，故B错误；对于C，先安排2人去图书馆，再将其他2人安排到其他两个场馆，则有种安排方法，故C错误；对于D，若甲､乙安排同一个地方帮忙，则有种安排方法，故D正确.故选：AD.10. 已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由正态密度曲线的对称性逐一分析四个选项即可得答案.【详解】解：由正态分布正态密度曲线关于直线对称，对A：由对称性可得图中阴影部分可表示为，故选项A不符合题意；对B：由对称性可得，所以图中阴影部分可表示为，故选项B不符合题意；对C：由对称性可得，故选项C符合题意；对D：由对称性可得，所以图中阴影部分可表示为，故选项D不符合题意.故选：C.11. 在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ）A.  B. 随机变量服从二项分布C. 随机变量服从超几何分布 D. 【答案】C【解析】【分析】由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可．【详解】解：由题意知随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确；的取值分别为0，1，2，3，4，则，，，，，，故A，D错误．故选：C．12. 定义；在区间上，若数是减函数且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”，根据定义可得（    ）A. 在上是“弱减函数”B. 在上是“弱减函数”C. 在上是“弱减函数”D. 若在上是“弱减函数”，则【答案】BCD【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性可判断A选项；利用函数的单调性与导数的关系、并结合题中定义可判断BCD选项.【详解】对于A选项，因为函数在上不是增函数，A不满足条件；对于B选项，当时，，函数在上为减函数，令，则，函数在上为增函数，B满足条件；对于C选项，当时，，令，其中，则，所以，函数在上为减函数，故当时，，则，则函数在上减函数，又因为函数在上为增函数，C满足条件；对于D选项，因为在上是“弱减函数”且该函数的定义域为，由，解得，所以，，又因为函数在上为增函数，D满足条件.故选：BCD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知变量与相对应的一组数据为，变量与相对应的一组数据为表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则和0三者之间的大小关系是___________.（用符号“<”连接）.【答案】【解析】【分析】根据已知分析两组数据中变量的相关关系，从而判断出相关系数的符号，即可得出的结论.【详解】解：由已知中的数据可知，第一组数据中变量与间呈正相关，相关系数，第二组数据中变量与间呈负相关，相关系数，所以.故答案为：.14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出6，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），若“冰雹猜想”中，则所有可能的取值的集合___________.【答案】【解析】【分析】根据运算规则逆向寻找结果即可.【详解】若，则或.当时，当时，，，或综上故答案为：15. 已知函数有两个不同的极值点、，且，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由可得，分析可知函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，且，令可得，设，其中，则函数在上有两个不等的零点，所以，，解得.故答案为：.16. 已知，则___________，___________.【答案】    ①. 2    ②. 19【解析】【分析】由题意得是展开式中系数的2倍；对已知式子两边求导，然后令，可求出的值【详解】因为展开式的通项公式为，所以展开式中的系数为1，所以，由，得，令，则，故答案为：2，19四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）    （2）最大值为，最小值0【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案；（2）根据导数的符号求出函数的单调区间，再求出函数的极值及端点的函数值，即可求出函数的最值.【小问1详解】解：，则，所以曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】解：，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，又，所以函数在上的最大值为，最小值0.18. 保护生态环境，提倡环保出行，节约资源和保护环境，某地区从2016年开始大力提倡新能源汽车，每年抽样1000汽车调查，得到新能源汽车y辆与年份代码x年的数据如下表：年份20162017201820192020年份代码第x年12345新能源汽车y辆305070100110 （1）建立y关于x的线性回归方程；（2）假设该地区2022年共有30万辆汽车，用样本估计总体来预测该地区2022年有多少新能源汽车．参考公式：回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．【答案】（1）    （2）46800【解析】【分析】（1）第一步分别算第x，y的平均值，第二步利用，即可得到方程.（2）由第一问的结果，带入方程即可算出预估的结果.【小问1详解】，，，因为，所以，所以【小问2详解】预测该地区2022年抽样1000汽车调查中新能源汽车数，当时，，该地区2022年共有30万辆汽车，所以新能源汽车.19. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且、、成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据题意求出的值，再利用等差数列的通项公式可求得；（2）求得，利用裂项相消法可求得.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，则，由题意可得，即，因为，解得，因此，.【小问2详解】解：由（1）可得，所以，.20. 某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投篮投中的概率为，三分线外定位投篮投中的概率为，测试时三分线外定位投篮投中得2分，罚球位上篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三分线外定位投篮2次.（1）求“该同学罚球位定位投篮投中且三分线外定位投篮投中1次”的概率；（2）求该同学的总得分X的分布列和数学期望.【答案】（1）    （2）分布列见解析，数学期望为分【解析】【分析】（1）设该同学"罚球位上定位投中"为事件，"三步篮投中"为事件，"该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次"为事件C，，根据独立事件乘法原理可求得答案；（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出随机变量取每一个值的概率，得出随机变量的分布列，从而再由数学期望公式 可求得答案.【小问1详解】（1）设该同学"罚球位上定位投中"为事件，三步篮投中"为事件，该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次"为事件C， 则，所以 ;【小问2详解】(2) X的可能取值为0，1，2，3，4，所以 ,,,,,所以X的分布列为：012345故 ， 则该同学得分的数学期望是分.21. 为了解我区高中学生阅读情况，随机调查了100位同学每月课外阅读时间（小时），并将这100个数据按阅读时间整理得到下表；阅读时间人数1012142024146将每月课外阅读时间40小时及以上者视为“阅读达人”，40小时以下者视为“非阅谜达人”.（1）请根据已知条件完成以下列联表，并判断是否有的把握认为“阅读达人”与性别有关？ 非阅读达人阅读达人合计男生   女生 1240合计    （2）用样本估计总体，将频率视为概率.现从全区高中学生中随机抽取19人，则抽到“阅读达人”最有可能的人数是多少？附表：独立性检验临界值参考公式：，其中【答案】（1）列联表见解析，没有的把握    （2）4【解析】【分析】（1）根据题中数据分别求出男生，女生中非阅读达人和阅读达人的人数，即可完成列联表，再根据公式求出，对照临界值表即可得出结论；（2）设抽到“阅读达人”的人数为，则服从二项分布，根据二项分布的期望公式求出期望，即可得出结论.【小问1详解】解：女生中非阅读达人有人，阅读达人共有人，则男生中阅读达人有人，男生中非阅读达人有人，列联表如下表： 非阅读达人阅读达人合计男生52860女生281240合计8020100，所以没有的把握认为“阅读达人”与性别有关；【小问2详解】解：将频率视为概率，则任抽取1人，抽到“阅读达人”的概率为，设抽到“阅读达人”的人数为，则，则，所以抽到“阅读达人”最有可能的人数是人.22. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个不同的零点、，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析    （2）【解析】【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；（2）根据（1）中的结果，结合函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：函数的定义域为，，当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为；当时，由可得，由可得，此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】解：由（1）可知，当时，函数在上单调递增，此时函数至多一个零点，不合乎题意；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，且，所以，，故.令，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，即，所以，，所以，，，又因为，由零点存在定理可知，函数在、上各有一个零点，合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.