2023年河北省衡水市三校联考中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年河北省衡水市三校联考中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河北省衡水市三校联考中考数学二模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最小的是(    )
A. a
B. b
C. c
D. d


2. 下列各式的值最小的是(    )
A. −12−1 B. −12+1 C. 12−1 D. 12+1
3. 已知−3a<−3b，则a和b的关系是(    )
A. ab C. a≤b D. 不能确定
4. 如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是(    )
A.
B.
C.
D.
5. 互联网已经进入5G时代，应用5G网络下载一个1000KB的文件只需要0.00076秒，将数据0.00076用科学记数法表示应为(    )
A. 76×10−3 B. 7.6×10−3 C. 7.6×10−4 D. 7.6×10−5
6. 如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西34°方向的A处，一艘渔船在观测站P的南偏东56°方向B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里.现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是(    )
A. 1.5小时 B. 2小时 C. 2.5小时 D. 4小时
7. 数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是(    )
(1)(−a3)2=(−a2)3(×)
(2)a3−a2=a(×)
(3)a6÷a2=a3(×)
(4)3a2−(−a2)=2a2(√)
(5)a4・a2=a8(×)

A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
8. 如图，将一个无盖正方体盒子展开成平面图形的过程中，需要剪开的棱的条数是(    )


A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条
9. 定理：三角形的内角和是180°．
已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三个内角．
求证：∠C+∠D+∠CED=180°．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形.其中正确的是(    )

证明：如图，过点E作直线AB，
使得AB//CD，
∴∠2=∠D(*)，
∴∠1+∠@=180°，
∴∠C+∠D+∠CED=180°．

A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①③
10. 甲、乙两名队员参加射击训练(各射击10次)，将训练成绩分别制成下列两个统计图次数(如图1、图2)，下列说法正确的是(    )


A. 甲、乙的平均数相同 B. 乙的成绩更稳定
C. 甲、乙的中位数相同 D. 甲和乙的众数相同
11. 以下是代数式(3x−1−x−1)÷x2−4x+4x−1.排乱的化简步骤：
①=(2+x)(2−x)x−1⋅x−1(x−2)2；②=2+x2−x；
③=[3x−1−(x+1)(x−1)x−1]⋅x−1(x−2)2；④4−x2x−1⋅x−1(x−2)2．
则正确化简步骤的顺序是(    )
A. ①→③→④→② B. ③→①→④→②
C. ③→④→①→② D. ①→④→③→②
12. 要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案．
方案Ⅰ：如图1，先过点B作BF⊥AB，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测量DE的长即可；
方案Ⅱ：如图2，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，用测角仪在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，则测量BC的长即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是(    )

A. 只有方案Ⅰ可行 B. 只有方案Ⅱ可行
C. 方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D. 方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
13. 我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有甲乙二人，持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”意思是：今有甲、乙二人，不知道其钱包里有多少钱，若把乙钱数的一半给甲，则甲的钱数为50，若把甲钱数的三分之二给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱x，则下列说法错误的是(    )
A. 设乙持钱为y，依题意x+12y=50y+23x=50
B. 依题意(50−x)+23x=50
C. 乙的钱数为25
D. 甲、乙钱数的和为62.5
14. 如图，将直尺、含60°的直角三角尺和量角器按如图摆放，60°角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是(    )


A. 3 B. 3 3 C. 6 D. 6 3
15. 如图，点M，N，P，Q，T均为坐标系中2×2的正方形网格的顶点(网格的横线都与x轴平行，纵线都与y轴平行，每个小正方形的边长为1)，点N的坐标为(2,2)，在双曲线y=kx(x>0)中的常数k的值从1逐渐增大到9的过程中，关于双曲线l依次经过的格点的顺序，下列说法正确的是(    )
A. 点M→点P→同时经过点N，Q→点T
B. 点M→点N→同时经过点P，Q→点T
C. 点M→同时经过点P，Q→点N→点T
D. 点P→点M→同时经过点N，Q→点T
16. 题目：“如图，用10个全等的正五边形依次排列可以围成环状.若改为正n边形也能围成环状，除了n=5外，请求出其他所有n的可能的值.”对于其答案，甲答：n=6，乙答：n=8，则正确的是(    )
A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对
C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 计算 200− 8得______ ．
18. 如图，已知在△ABC中，AB=4，BC=AC=6，点P是AB的中点，过点P的直线与AC交于
点Q，依据尺规作图痕迹解决下列问题．
(1)PQ与BC是否平行？(填“是”或“否”)；
(2)△APQ的周长为______ ．
19. 把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排列放在表格1中，任意选定如图所示方框中的4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即bc−ad.例如：3×11−1×13=20．
(1)9×17−7×19= ______ ；
(2)bc−ad= ______ ；
(3)如表2，把1，3，5，7，9…这一组数重新排放在有n列的表格中，则bc−ad= ______ .(用含n的式子表示)

三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题9.0分)
如图，将数轴上−6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应的数依次为a1，a2，a3，a4，a5．

(1)a4= ______ ；
(2)计算：a1⋅a4−a3−a2÷a5．
21. (本小题9.0分)
如图，公园里有两块边长分别为a，b的正方形区域A、B，其中阴影部分M为雕塑区，面积为m，其他部分种植花草．
(1)用含a，b，m的代数式表示种植花草的面积______ ；
(2)若正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，a比b大20，M的面积是A的19，求a的值．

22. (本小题9.0分)
概念理解嘉嘉和淇淇学习了随机事件的概率，老师留的作业中有一道判断题：①自然现象中，“太阳从东方升起”是必然事件；②成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件；③若抽奖活动的中奖概率为150，则抽奖50次必中奖1次．
真命题的序号是______ ；
知识应用嘉嘉和淇淇做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色.现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体．
(1)嘉嘉将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是______ ；
(2)淇淇随机取了两个烧杯，滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率．
23. (本小题10.0分)
网上购物快捷、简便，受到人们的广泛喜爱.小明家装修要用某种环保装饰材料，两个商家的原价相同.购物节优惠促销，甲店打9折，乙店不超过3件不打折，实际付费金额y甲(元)，y乙(元)和x(件)(x为非负整数)的关系如图所示，小明家需要这种装饰材料6件，发现两家的付费金额恰好相同．
(1)写出y甲(元)与x(件)的函数关系式，并求出a的值；
(2)写出y乙(元)和x(件)的函数关系式，并写出乙店实际的优惠方案；
(3)小宇家也需要这种装饰材料，按照上述的优惠方案，已知甲店比乙店付费金额高60元，求小宇家购买的件数．

24. (本小题10.0分)
图1是一个虎口式夹子的俯视示意图，点O是夹子转轴，点O左边是两段相等的夹弧OA与OB(点A与点B重合)，右边是长度相等的两部分夹柄，OE⊥CE于点E，OF⊥DF于点F，OE=OF=1.4cm，CE=DF=4.8cm.其中OA=OB=4cm，CD=5cm，
(1)求OC的长及图1中∠COD的大小；
(2)按图2方式用手指按夹柄，夹子两边绕点O转动.当点C，D重合时，两段弧OA与OB恰好在同一圆上，求此时优弧AOB的长.(结果保留π)


25. (本小题10.0分)
如图，抛物线L：y=a(x−1)(x−3)与x轴交于A、B两点(点A在点的左侧)，与y轴交于点C且OB=OC，点P(m,n)为抛物线L的对称轴右侧图象上的一点(不含顶点)．
(1)a的值为______ ，抛物线的顶点坐标为______ ；
(2)设抛物线L在点C和点P之间的部分(含点C和点P)的最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围；
(3)若点P(m,n)的坐标满足m+n=13时，连接CP.将直线CP与抛物线L围成的封闭图形记为G．
①求点P的坐标；
②直接写出封闭图形G的边界上的整点(横、纵坐标都是整数)的个数．

26. (本小题12.0分)
如图1，等边三角形纸片ABC中，AB=12，点D在边BC上(不与点B、C重合)，CD=4，点E在边AC上，将△CDE沿DE折叠得到△C′DE(其中点C′是点C的对应点)．
(1)当点C′落在AC上时，依题意补全图2，并指出C′D与AB的位置关系；
(1)如图3，当点C′落到∠ACB的平分线上时，判断四边形CDC′E的形状并说明理由；
(3)当点C′到AB的距离最小时，求CE的长；
(4)当A，C′，D三点共线时，直接写出∠AEC′的余弦值．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：根据图形可知，a，d的长度大于正方形的边长，c的长度等于正方形的边长，b的长度小于正方形的边长，
所以长度最小的是b．
故选：B．
根据正方形的性质可得四边相等，根据图形比较线段与四边形的边长的长度即可求解．
本题考查了正方形的性质，线段长短比较，理解正方形的四边相等是解题的关键．

2.【答案】A 
【解析】解：∵−12−1=−32，−12+1=12，12−1=−12，12+1=32，
且−32<−12<12<32，
∴−12−1<12−1<−12+1<12+1，
故选：A．
运用有理数的加减运算法则进行逐一计算．
此题考查了分数与整数的加减运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．

3.【答案】B 
【解析】解：∵−3a<−3b，
∴(−3a)÷(−3)>(−3b)÷(−3)，
即a>b．
故选：B．
根据−3a<−3b，应用不等式的性质，不等式的两边同时除以−3，判断出a和b的关系即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

4.【答案】A 
【解析】解：如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是A选项．
故选：A．
对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
本题考查利用轴对称设计图案，剪纸问题，解题的关键是理解轴对称图形，中心对称图形的性质，属于中考常考题型．

5.【答案】C 
【解析】解：0.00076=7.6×10−4．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：连接AB，
根据题意可知∠APB=34°+56°=90°，
∴△APB是直角三角形，
AB= AP2+BP2= 452+602=75(海里)，
∵巡航船的速度为30海里/小时，
∴75÷30=2.5(小时)，
即至少需要2.5小时．
故选：C．
连接AB，根据题意可知∠APB=90°，根据勾股定理求出AB，然后根据巡航船的速度解答即可．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方向角含义，正确求出∠APB的度数．

7.【答案】B 
【解析】解：(1)(−a3)2=−(−a2)3，故(1)判断正确；
(2)a3与−a2不属于同类项，不能合并，故(2)判断正确；
(3)a6÷a2=a4，故(3)判断正确；
(4)3a2−(−a2)=4a2，故(4)判断错误；
(5)a4・a2=a6，故(5)判断正确；
则判断正确的有4个．
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

8.【答案】C 
【解析】解：由题意知，无盖正方体盒子有8条棱相连，展开后四条棱相连，
∴需要剪开的棱的条数为4条，
故选：C．
根据正方体的展开图得出结论即可．
本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．

9.【答案】C 
【解析】证明：如图，过点E作直线AB，
使得AB//CD，
∴∠2=∠D(两直线平行，内错角相等)，故①不符合题意；
∴∠1+∠BEC=180°，
∴∠C+∠D+∠CED=180°.故②符合题意；
上述证明得到的结论，适用于任何三角形．
故③不符合题意；④符合题意，
故选：C．
过点E作直线AB，使得AB//CD，根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．
本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

10.【答案】A 
【解析】解：甲的平均数为：5×1+6×2+7×4+8×2+9×110=7，
乙的平均数为：乙组的平均数为：(3+4+6+7+7+8+8+8+9+10)÷10=7，
所以甲、乙的平均数相同，故选项A符合题意；
甲的方差为：110×[(5−7)2+2×(6−7)2+4×(7−7)2+2×(8−7)2+(9−7)2]=1.2，
乙的方差为：(3−7)2+(4−7)2+…+(10−7)210=4.2，
故选项B不符合题意；
甲的中位数是7，乙的中位数是7+82=7.5，故选项C不符合题意；
甲的众数是7，乙的众数是7和8，故选项D不符合题意；
故选：A．
分别求出两人的平均数，方差，中位数和众数即可判断．
本题考查条形统计图、折线统计图、加权平均数、众数、中位数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

11.【答案】C 
【解析】解：(3x−1−x−1)÷x2−4x+4x−1
=[3x−1−(x+1)(x−1)x−1]⋅x−1(x−2)2
=4−x2x−1⋅x−1(x−2)2
=(2+x)(2−x)x−1⋅x−1(2−x)2
=2+x2−x．
故选：C．
先通分化简括号里面，再把分式除法转化为分式乘法，约分后得结论．
本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．

12.【答案】C 
【解析】解：∵AB⊥BF，
∴∠ABC=90°，
∵DE⊥BF，
∴∠EDC=90°，
在△ABC和△EDC中，
∠ABC=∠EDCBC=CD∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB=ED，
故方案Ⅰ可行；
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
∠ABD=∠CBDBD=BD∠BDA=∠BDC，
∴△ABD≌△CBD(ASA)，
∴AB=BC，
故方案Ⅱ可行；
综上可知，方案Ⅰ和Ⅱ都可行，
故选：C．
在两个图中分别根据全等三角形的判定方法证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得证．
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

13.【答案】B 
【解析】解：设甲持钱为x，乙持钱为y或(23x)，
根据题意，可列方程组：x+12y=50y+23x=50，或x+23x=50，故A不符合题意，B符合题意，
解得x=37.5y=25．
∴甲持钱为37.5，乙持钱为25，甲、乙钱数的和为62.5，故C不符合题意，D不符合题意．
故选：B．
设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50元，乙的钱+甲所有钱的23=50元，据此可列方程组．
本题考查了二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．

14.【答案】D 
【解析】解：三角尺和量角器放在直尺上的示意图如图所示，连接OA、OB，
根据题意得AB=7−4=3，∠BAC=180°−60°=120°，
∵AB、AC分别与⊙O相切于点B、点C，
∴AB⊥OB，∠OAB=∠OAC=12∠BAC=60°，
∴∠ABO=90°，
∴OBAB=tan∠OAB=tan60°= 3，
∴OB= 3AB= 3×3=3 3，
∴2×3 3=6 3，
∴该量角器的直径是6 3，
故选：D．
连接OA、OB，由题意得AB=7−4=3，∠BAC=180°−60°=120°，由切线的性质定理得∠ABO=90°，由切线长定理得∠OAB=∠OAC=60°，所以OBAB=tan60°，则OB= 3AB=3 3，所以该量角器的直径是6 3．
此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

15.【答案】C 
【解析】解：根据题意，得点N的坐标为(2,2)，M(1,2)，Q(1,3)，T(2,3)，P(3,1)，
∴2×2=4，1×2=2，1×3=3，2×3=6，3×1=3，
∵2<3=3<4<6，
∴常数k的值从1逐渐增大到9的过程中，双曲线依次经过的格点的顺序是：点M→同时经过点P，Q→点N→点T，
故选：C．
根据题意可得各格点坐标，进一步可得相应的k的值，然后比较即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．

16.【答案】D 
【解析】解：360°÷6=60°，
正六边形的一个内角为180°−60°=120°，
正环状形的一个内角为360°−120°−120°=120°，一个外角为180°−120°=60°，
则6个全等的六边形依次排列可以围成环状；
360°÷8=45°，
正八边形的一个内角为180°−45°=135°，
正环状形的一个内角为360°−135°−135°=90°，一个外角为180°−90°=90°，
360°÷90°=4，
则4个全等的八边形依次排列可以围成环状；
360°÷12=30°，
正十二边形的一个内角为180°−30°=150°，
正环状形的一个内角为360°−150°−150°=60°，一个外角为180°−60°=120°，
360°÷120°=3，
则3个全等的十二边形依次排列可以围成环状．
故选：D．
求出正n边形的一个内角的度数为α，根据周角的定义用360°−α得到正n边形的一个内角，所以环状正多边形一个外角为180°−(360°−α)=(α−180)°，再用360°÷(α−180)°为正整数时即可得到环状正多边形边数．
本题考查了多边形的内角与外角．注意求正多边形的内角常常转化到求外角来计算．

17.【答案】8 2 
【解析】解：原式=10 2−2 2=8 2．
故答案为：8 2．
先将二次根式化为最简，然后再进行同类二次根式的合并即可．
本题考查二次根是你的加减运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简．

18.【答案】8 
【解析】解：(1)PQ与BC是平行，
证明：由尺规作图痕迹可知，∠BPD=∠B，
∴PQ//BC；
(2)∵PQ//BC，点P是AB的中点，
∴AQ=CQ=12AC=12×6=3，AP=12AB=12×4=2，
∴PQ是△ABC的中位线，
∴PQ=12BC=12×6=3，
∴△APQ的周长=AP+PQ+AQ=8．
故答案为：8．
(1)由尺规作图痕迹可知∠BPD=∠B，根据平行线的判定即可得到PQ//BC；
(2)由平行线等分线段定理和三角形中位线定理即可求得结论．
本题主要考查了作图—基本作图，平行线等分线段定理和三角形中位线定理，熟知作一个角等于已知角的方法是解决问题的关键．

19.【答案】20  20  4n 
【解析】解：(1)9×17−7×19
=153−133
=20，
故答案为：20；
(2)由表1可得，
b=a+2，c=a+10，d=a+12，
∴bc−ad
=(a+2)(a+10)−a(a+12)
=a2+12a+20−a2−12a
=20，
故答案为：20；
(3)由表2可得，
b=a+2，c=a+2n，d=a+2n+2，
∴bc−ad
=(a+2)(a+2n)−a(a+2n+2)
=a2+(2+2n)a+4n−a2−(2n+2)a
=4n，
故答案为：4n．
(1)先算乘法，再算减法即可；
(2)根据表格1中的数据，可以用含a的代数式表示出b、c、d，然后计算即可；
(3)根据表2用含a的代数式表示出b、c、d，然后计算即可．
本题考查整式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．

20.【答案】2 
【解析】解：−6与6两点间的线段的长度为6−(−6)=12，
六等分后每个等分的线段长为12÷6=2，
∴a1，a2，a3，a4，a5表示的数为：−4，−2，0，2，4，
(1)a4=2；
故答案为：2；
(2)a1⋅a4−a3−a2÷a5
=−4×2−0−(−2)÷4
=−8−0+12
=−152．
先计算−6与6两点间的线段的长度为12，再求出六等分后每个等分的线段长为2，从而求出a1，a2，a3，a4，a5表示的数，然后分别计算即可．
本题考查数轴，两点间的距离，求出每个点表示的数是解题的关键．

21.【答案】a2+b2−2m 
【解析】解：(1)种植花草的面积=a2−m+b2−m=a2+b2−2m，
故答案为：a2+b2−2m；
(2)∵正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心E，
如图，过点E作正方形B的两边的垂线，垂足分别为C，D，
∴四边形ECQD是正方形，且面积是B的14，
∵∠ECG=∠EDH，∠GEC=90°−∠CEH=∠HED，
∵EC=ED，
∴△GEC≌△HED(ASA)，
∴△GEC的面积=△HED的面积，
∴M的面积=正方形ECQD的面积=B的14，
由题意得，a−b=2019a2=14b2，
解得a=60b=40或a=12b=−8(不合题意，舍去)，
∴a=60，
故答案为：60．
(1)根据正方形的面积公式求解即可；
(2)根据正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，得出M的面积是B的14，再根据题意得出a−b=2019a2=14b2，求出a的值即可．
本题考查了正方形的性质，根据题意得出M的面积是B的14是解题的关键．

22.【答案】① 12 
【解析】解：概念理解：真命题的序号是①，
故答案为：①；
知识应用：(1)嘉嘉将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是24=12；
(2)将蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液分别记作A、B、C、D，列表如下：

A
B
C
D
A

(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)

(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)

(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)

由表知，共有12种等可能结果，其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果，
所以一杯变红、一杯变蓝的概率为412=13．
故答案为：12．
概念理解：根据随机事件、不可能事件和必然事件的概念逐一判断即可；
知识应用：(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)将蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液分别记作A、B、C、D，列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及折线统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23.【答案】解：(1)由图象得，原价为9003=300(元)，
∴y甲=0.9×300x=270x，
∵当x=6时，y=a，
∴a=270×6=1620，
∴y甲=270x，a=1620．
(2)当0≤x≤3(x为非负整数)时，
y乙=300x，
当x>3(x为非负整数)时，
设y乙=kx+b(k>0)，
把(3,900)，(6,1620)两点坐标代入上式得，
3k+b=9006k+b=1620，
解得，k=240b=180，
∴y乙=240x+180，
∴y乙=300x(0≤x≤3)240x+180(x>3)，
∵当x>3时，y乙=240x+180=240(x−3)+900，
240300=0.8，
∴乙店实际的优惠方案是：购买超过3件，超过的部分打8折．
(3)∵甲店比乙店付费金额高60元，
∴小宇家购买的件数大于6，
设购买了m件，
由题意得，270m=240m+180+60，
解得，m=8，
答：小宇家购买的件数是8． 
【解析】(1)先求出原价300元，直接写出y甲(元)与x(件)的函数关系式，令x=6，求出a的值．
(2)当0≤x≤3(x为非负整数)时，直接写出关系式，当x>3(x为非负整数)时，设y乙=kx+b(k>0)，利用待定系数法求出关系式，合成分段函数，再找出优惠方案即可．
(3)设购买了m件，根据甲店比乙店付费金额高60元，列出方程求解即可．
本题考查了一次函数的实际应用，渗透了函数与方程的思想，读懂题意，正确求出解析式是解题的关键．

24.【答案】OE⊥CE于点E，OF⊥DF于点F，OE=OF=1.4cm，CE=DF=4.8cm.其中OA=OB=4cm，CD=5cm， 
【解析】(1)根据等边三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论；
(2)根据图②可得△COD为等边三角形，当C，D重合时，两段夹弧恰好在同一圆上，可知正方体的棱长为虎口宽度时最大，可求出∠AOC和∠BOD的度数，证明△OAB为等边三角形即可求解．
本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定与性质的相关知识，解题关键是能够熟练掌握该知识并进行合理运用．

25.【答案】1  (2,−1) 
【解析】解：(1)当y=0时，a(x−1)(x−3)=0，
解得x=1或x=3，
∴A(1,0)，B(3,0)，
∴OB=3，
∵BO=CO，
∴C(0,3)，
将C点代入y=a(x−1)(x−3)，
∴3a=3，
解得a=1，
∴抛物线L的解析式为y=x2−4x+3，
∴抛物线的顶点为(2,−1)，
故答案为：1，(2,−1)；
(2)当y=3时，x2−4x+3=3，
解得x=0或x=4，
∵点P(m,n)为抛物线L的对称轴右侧图象上的一点，
∴m>2，
当2 当m>4时，h=n−(−1)=m2−4m+4；
(3)①联立方程组m+n=13n=m2−4m+3，
解得m=5n=8或m=−2n=15(舍)；
∴P点坐标为(5,8)；
②设直线CP的解析式为y=kx+3，
∴5k+3=8，
解得k=1，
∴直线CP的解析式为y=x+3，
∴封闭图形G的边界上的整点为(0,3)，(1,4)，(2,5)，(3,6)，(4,7)，(5,8)，(1,0)，(2,−1)，(3,0)，(4,3)，共有10个．
(1)求出C点坐标，再将C点代入y=a(x−1)(x−3)，求出a的值，从而确定函数的解析式即可求解；
(2)当24时，h=n−(−1)=m2−4m+4；
(3)①联立方程组m+n=13n=m2−4m+3，求出P点坐标为(5,8)；
②求出直线CP的解析式为y=x+3，则封闭图形G的边界上的整点为(0,3)，(1,4)，(2,5)，(3,6)，(4,7)，(5,8)，(1,0)，(2,−1)，(3,0)，(4,3)，共有10个．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够不漏的求出整数点是解题的关键．

26.【答案】解：(1)补图如下：

C′D//AB，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，由折叠知，∠CC′D=∠C=60°，
∴∠CDC′=60°，
∴C′D//AB；
(2)四边形CDC′E的形状是菱形，理由如下：

由折叠知，CD=DC′，CE=EC′，
∴∠DCC′=∠DC′C，∠ECC′=∠EC′C，
∵点C′落到∠ACB的平分线上，
在△CDC′和△CEC′中，
∠DCC′=∠ECC′CC′=CC′∠DC′C=∠EC′C，
∴△CDC′≌△CEC′(ASA)，
∴CD=DC′=CE=EC′，
∴四边形CDC′E的形状是菱形；
(3)由题意知，当点C′到AB的距离最小时，DC′的延长线垂直AB于点F，
过点D作DH⊥AC于点H，
∵∠B=60°，∠BFD=90°，
∴∠FDC=150°，
由折叠知，∠CDE=12∠FDC=75°，
∵∠C=60°，∠DHC=90°，
∴∠HDC=30°，
∴∠EDH=∠CDE−∠HDC=75°−30°=45°，
∵CD=4，
∴CH=12CD=2，DH=2 3，
∵△EDH为等腰直角三角形，
∴EH=DH=2 3，
∴CE=CH+EH=2+2 3；
(4)过点D作DF⊥AB于点F，

由折叠知，∠DC′E=∠C=60°，
∴∠DAC+∠AEC′=60°，
∵∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠BAD=∠AEC′，
∵∠B=60°，∠BFD=90°，
∴BF=12BD=12(12−4)=4，
∴DF= BD2−BF2=4 3，AF=AB−BF=12−4=8，
∴AD= AF2+DF2=4 7，
∴cos∠AEC′=cos∠BAD=AFAD=84 7=2 77． 
【解析】(1)根据题意补图即可；
(2)根据角平分线的性质和折叠的性质证△CDC′≌△CEC′(ASA)，然后得出CD=CE=EC′=DC′即可得出结论；
(3)当点C′到AB的距离最小时，DC′的延长线垂直于AB，求出此时CE的长度即可；
(4)作DF⊥AB于点F，利用勾股定理分别求出DF和AD的值，再根据角相等得出结论即可．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定，等边三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．