2023年广东省江门市台山市中考数学一模试卷-普通用卷

2023年广东省江门市台山市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  年月日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是(    )

A. 中国探火 B. 中国火箭
C. 中国行星探测 D. 航天神舟

2.  下列有关四个数，，，中说法错误的是(    )

A. 的相反数是 B. 的结果是
C. 的倒数是 D. 最大的数是

3.  央行发布数据，年第一季度我国人民币贷款增加万亿元，同比多增万亿元数据万亿用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  数据，，，，，，，的众数、中位数分别为(    )

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

6.  关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

7.  下列计算结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，是的直径，若，，则长等于(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，点、、都在格点上，则的正切值是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  二次函数为常数，中，与的部分对应值如表：

对于下列结论：；是方程的一个根；当时，随的增大而减小；若，且点，在该二次函数的图象上，则；对于任意实数，都有其中正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算：______．

12.  分解因式：          ．

13.  已知菱形的两条对角线、的长分别是和则菱形的面积为______．

14.  已知，则代数式的值为______ ．

15.  如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分

解不等式组：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，为平行四边形的对角线，，点、在上，求证：．

19.  本小题分
我国的教育方针是：教育必须为社会主义现代化建设服务，为人民服务，与生产劳动和社会实践相结合，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人为培养德智体美劳全面发展的优秀人才，丰都某中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程研学旅行开展以来引起广泛关注，九年级班数学兴趣小组对本班同学对研学旅行课的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
九年级班共有学生        名；
九年级共有学生人，根据上述调查结果，估计九年级学生选择类的大约有多少人？
该校德育处决定从九年级二班调查的类的人中，抽人到八年级开展研学宣讲，若在调查的类人中，刚好有名男生名女生，用画树状图或列表的方法求抽到的一男一女的概率．

 

20.  本小题分
某公司计划从商店购买台灯和手电筒，已知台灯的单价比手电筒的单价高元，用元购买台灯的数量和用元购买手电筒的数量相等．
求购买一盏台灯、一个手电筒各需要多少元？
经商谈，商店给予该公司购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠如果公司需要手电筒的数量是台灯数量的倍还多个，且购买台灯和手电筒的总费用不超过元，那么公司最多可购买多少盏台灯？

21.  本小题分
如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，，与轴相交于点．
求反比例函数和一次函数解析式；
直接写出：不等式的解集是______；
依据相关数据求的面积．

22.  本小题分
如图，是的直径，为上一点，为外一点，连接，，，，满足，．
证明：直线为的切线；
射线与射线交于点，若，，求的长．

23.  本小题分
抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过点点在抛物线上，设点的横坐标为．
求抛物线的表达式和，的值；
如图，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点的坐标；
如图，若点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
 

2.【答案】 

【解析】解：在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数，题干的说法正确，故本选项不合题意；
B.的结果是，题干的说法正确，故本选项不合题意；
C.的倒数是，题干的说法正确，故本选项不合题意；
D.最大的数是，原说法错误，故本选项符合题意．
故选：．
根据相反数的定义，有理数的除法法则，倒数的定义，有理数的大小比较方法即可求解．
本题考查了实数的性质，相反数，有理数的除法，倒数．注意掌握只有符号不同的数为相反数，的相反数是．
 

3.【答案】 

【解析】解：万亿，
故选：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，根据其定义即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是重要知识点，必须熟练掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图所示，

水面与杯底平行，
．
．
，
．
又光线平行，
．
故本题选A．
依据题意，由水面与杯底平行，可得，再由光线平行，可得，从而可得，进而得解．
本题考查了平行线的性质的实际应用，需要对性质熟练掌握并理解是本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：数据中出现的次数最多，所以众数为，
将数据重新排列为、、、、、、、，
则中位数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 

6.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得或，
由于该方程是一元二次方程，
则有，所以的值为．
故选：．
先把代入方法求出的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的的值．
本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解；一元二次方程的未知数的最高项次数为，且最高项系数不为零．
 

7.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项不符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、原式，故此选项符合题意；
故选：．
根据合并同类项运算法则判断，根据单项式除以单项式的运算法则判断，根据单项式乘单项式的运算法则判断，根据积的乘方与幂的乘方运算法则判断．
本题考查整式的混合运算，掌握单项式乘以单项式，单项式除以单项式，幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
故选：．
根据圆周角定理得出，，解直角三角形求出即可．
本题考查了圆周角定理和解直角三角形等知识，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
由勾股定理可知：，
，
由图可知：，
，
，
在中，
由勾股定理可知：
，
．
故选：．
过点作于点，根据的面积可求出的长度，然后根据勾股定理可求出的长度，最好根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用好勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数为常数，，
该函数图象开口向下，
由表格可知，对称轴为直线，
，故正确，符合题意；
点在二次函数的图象上，
点也在二次函数的图象上，
是方程的一个根，故正确，符合题意；
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故错误，不符合题意；
若，且点，在该二次函数的图象上，则，故正确，符合题意；
对称轴为直线，
，
，
，
当时，该函数取得最大值，
对于任意实数，都有，
即，
，
，故正确，符合题意；
故选：．
根据表格中的数据和二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，可以判断各个小题中的结论是否成立．
本题考查二次函数的性质、一元二次方程的解、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为．
根据算术平方根的性质进行化简，即．
此题考查了算术平方根的性质，能够能够算术平方根的性质进行化简，是一道基础题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止；首先提公因式，再运用平方差公式对括号里的因式分解．
【解答】
解：
．
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：菱形的两条对角线、的长分别是和，
菱形的面积是，
故答案为：．
根据菱形的面积对角线乘积的一半，可以计算出该菱形的面积．
本题考查菱形的性质，解答本题的关键是明确菱形的面积对角线乘积的一半．
 

14.【答案】 

【解析】解：，



．
故答案为：．
先利用单项式乘多项式的法则计算，得到，然后把已知条件整体代入求值即可．
本题主要考查了单项式乘多项式的法则以及整体代入法的应用，熟练掌握法则，利用整体代入是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于，

将绕点逆时针旋转，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
点到的距离是，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是． 

【解析】分别解出每个不等式，再求公共解集即可．
本题考查解不等式组，解题的关键是掌握求公共解集的方法．
 

17.【答案】解：原式

．
当时，原式． 

【解析】根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
． 

【解析】根据四边形是平行四边形，得出，，，，进而证明≌，根据全等三角形的性质即可得证．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：九年级班共有学生：名，
故答案为：；
人，
答：估计九年级学生选择类的大约有人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽到的一男一女的结果有种，
抽到的一男一女的概率为．
由类的人数除以所占的百分比得出九年级班的人数，即可解决问题；
由九年级共有学生人数乘以类人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽到的一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：设购买该品牌一个手电筒需要元，则购买一个台灯需要元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以，
答：购买一个台灯需要元，购买一个手电筒需要元；
设公司购买台灯的个数为，则还需要购买手电筒的个数是，
由题意得：，
解得，
答：公司最多可购买个该品牌的台灯． 

【解析】设购买该品牌一个手电筒需要元，则购买一个台灯需要元，根据用元购买台灯的数量和用元购买手电筒的数量相等，即可列出方程；
设公司购买台灯的个数为，则还需要购买手电筒的个数是，根据购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠，购买台灯和手电筒的总费用不超过元，即可列出不等式．
本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是能够根据题意，找到等量关系和不等关系．
 

21.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象过，
，
反比例函数的解析式为：，
点在反比例函数图象上，
，
，
点的坐标为，
将点，坐标代入一次函数中，
得，
解得，
一次函数的解析式为：．
根据图象可知，不等式的解集是：．
故答案为：．
过点作轴于点，过点作轴于点，如下图所示：

一次函数与轴相交于点，
点坐标为，
，
点坐标为，
，
点坐标为，
，
．
用待定系数法先求出反比例函数的解析式，再求出点坐标，再将，点坐标代入一次函数求解即可；
根据图象即可得出不等式的解集；
先求出点坐标，再分别求出和的面积即可求出的面积．
本题考查了反比例函数与一次函数，与三角形面积的综合，求函数解析式以及交点坐标是解决本题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，如图所示：

是的直径，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，即，为半径，
直线为的切线；
解：如图所示：

在中，
，
，
，，
，
由可知，
，
，
，，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
，
设，
在中，由勾股定理得：，
解得：负根舍去，
． 

【解析】连接，由题意易得，，然后可得，则有，进而问题可求证；
由可知，则有，然后可得，则可知∽，进而可得，最后根据勾股定理建立方程可进行求解．
本题主要考查切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：将代入，
，
，
，
当时，，
解得或舍，
，
在直线上，
，
解得，
；
作轴交于，且点坐标为，
点横坐标为，
，
，，
在和中，
，，
，
∽，
，即，
，
解得舍或，
；  
作轴交于于，过点作轴交于，
，
由∽，
，
，，，
，，
由∽，
，
，
，
当时，的最大值是． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可求解；
作轴交于，可求，，通过证明∽，利用，求的值即可求点坐标；
作轴交于于，过点作轴交于，通过证明∽，求出，，再由∽，求出，则，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．