2023年安徽省亳州市蒙城重点中学高考数学最后一卷（三模）

2023年安徽省亳州市蒙城重点中学高考数学最后一卷（三模）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若双曲线的一个焦点为，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  ，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知圆：关于直线：对称，则直线与圆的位置关系是(    )

A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不能确定

5.  已知，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥的棱长均为，则该正四棱锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  设，为复数，则下列四个结论中正确的是(    )

A.
B. 是纯虚数或零
C. 恒成立
D. 存在复数，，使得

10.  已知函数的一条对称轴为，则(    )

A. 的最小正周期为 B.
C. 在上单调递增 D.

11.  已知定义在上的函数满足，则下列不等式一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知数列中，，，则关于数列的说法正确的是(    )

A.  B. 数列为递增数列
C.  D. 数列的前项和小于

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知展开式中的各项系数和为，则其展开式中含项的系数为______ ．

14.  已知，，，则与的夹角为        ．

15.  已知定义在上的奇函数满足，若时，，则______．

16.  已知双曲线的左、右焦点分别为，，若与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的，使得，则双曲线离心率取值范围范围为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在中，，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
已知，求的面积的最大值．

18.  本小题分
已知等比数列的公比大于，，．
求的通项公式；
若，求的前项和．

19.  本小题分
如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，为上的点，过，，的截面交于．
证明：；
若二面角的大小为，求几何体的体积．

20.  本小题分
橙子辅导是一款实景逃脱类游戏，密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为，，，他们通过三关的概率依次为：若其中某一关不通过，测游戏停止，游戏不通过．只有依次通过，，三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为元，最终奖励为元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．
若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率；
若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用．

21.  本小题分
已知函数．
若，求函数的单调区间；
若，且在上，恒成立，求实数的取值范围．

22.  本小题分
已知椭圆：过点，以四个顶点围成的四边形面积为．
求椭圆的标准方程；
过点的直线斜率为，交椭圆于不同的两点，，直线、交于点、，若，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由，可得，则，
又，
所以．
故选：．
由对数的单调性求得集合，根据正弦函数性质求得集合，进而求其交集．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：双曲线的一个焦点为，
可得，解得．
故选：．
利用双曲线的焦点坐标，列出方程，推出即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
则，即，，
故．
故选：．
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式和同角公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式和同角公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：圆的标准方程为，则，，
因为圆关于直线：对称，
所以在直线上，代入得，即，
所以到直线的距离，
故直线与圆相切，
故选：．
根据圆的标准方程得到圆心，结合条件得到圆心在直线上，可求得，进而可判断出直线与圆的位置关系．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程化简，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，所以，，
由换底公式可得：，，
所以，
所以，
因为，
所以．
故选：．
由指数式化为对数式，利用换底公式得到求解即可得到的值．
本题考查了指数与对数的运算问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，底面正方形的对角线相交于点，则平面，
易知，，
，
．
故选：．
作出正四棱锥的图形，利用体积公式直接求解即可．
本题考查椎体体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为不等式的解集为，
所以，解得，；
因为，所以，
当且仅当，即时取“”，
所以，且，
因为函数在上单调递增，
所以的最小值为，即的最小值为．
故选：．
根据不等式的解集求出、的关系，用表示出，求出的取值范围，再求的最小值．
本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，，
可得，
所以，
因为，
所以，
而，
易知，
所以，
即，
综上得．
故选：．
由题意，根据对数的运算性质将，，进行转化，结合基本不等式和对数函数的单调性进行判断即可．
本题考查对数的运算，考查了转化思想以及运算能力．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，设，，则，，所以A错误．
对于，设，，，则，当时，是，当时，是纯虚数，所以B正确．
对于，由确定向量，确定向量，结合向量不等式可得，即恒成立，所以C正确．
对于，，，，，，，，
，，，
，所以D错误．
故选：．
利用复数的平方以及复数的运算法则，利用反例判断的正误，利用复数的运算法则判断的正误；利用复数与向量的关系判断的正误；利用复数的模的运算法则判断的正误．
本题考查复数的基本运算法则的应用，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数的一条对称轴为，
，即，，
，，又，，
，
故它的最小正周期为，故A正确；
由于，故B正确；
当时，，
此时，单调递增，则单调递减，故C错误；
由于

，
取，可得，此时，
不满足，故D错误．
综上，选项AB正确．
故选：．
先用降幂公式化简函数，再结合余弦函数的图象与性质对选项进行分析即可．
本题考查了三角公式的化简及三角函数的图象与性质，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的运算能力，属于较难题．
利用已知等式构造函数，利用导数判断其单调性，根据函数的单调性即可判断各选项的正误．

【解答】

解：由，得，
设，则，
设，，则在上为增函数，且，
则当时，，此时，此时函数为增函数；
当时，，此时，此时函数为减函数，
故由，即，故A正确；
由，得，即，故B错误；
与不在一个单调区间上，中算式无法比较大小，故C错误；
由，得，即，故D正确．
故选AD．

12.【答案】 

【解析】解：由，
得，即，又，，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即，
所以，故A错误，C正确；
，所以为递增数列，故B正确；
，
所以数列的前项和为，故D正确．
故选：．
根据递推关系求得数列的通项公式，从而对选项ABC一一判断即可；利用裂项相消法求数列的前项和，即可判断．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：令，得，
得，得，得，
展开式的通项公式为，
由，得，得．
则展开式中含项的系数．
故答案为：．
令，求出，然后求出展开式的通项公式，令的次数等于，然后求出的值即可．
本题主要考查二项式定理的应用，令求出函数的各项系数和，利用通项公式求出当的次数等于时的值是解决本题的关键，是中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
又，
则，即，
所以，
又，
所以．
故答案为：．
根据题意可得，再由，可得，再由向量的夹角公式即可得解．
本题考查两向量垂直的条件以及向量的夹角，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，奇函数满足，则有，即，
变形可得，函数是周期为的周期函数，
则，
而时，，则，
故；
故答案为：．
根据题意，先分析函数的周期，由此可得，结合函数的解析式计算可得答案．
本题考查函数的奇偶性和周期性，涉及函数值的计算，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：双曲线与直线有交点，则，，解得，
双曲线上存在不是顶点的，使得，则点在右支上，
设与轴交于点，由对称性，所以，
所以，，

所以，由得，所以，
又中，，，
所以，即，
综上，．
故答案为：．
由直线与双曲线有交点，得在一三象限的渐近线的斜率大于，得出的一个范围．双曲线上存在不是顶点的，使得，与轴交于点，由平面几何的知识及双曲线定义得，在直角三角形中由边的关系得不等式，得出的范围，同时由的范围又是一个不等关系，从而得出离心率范围．
本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率取值范围的求解等知识，属于中等题．
 

17.【答案】解：，
，
，
由正弦定理可得，，
，
，．
，，，
当且仅当时取等号，，
面积的最大值为． 

【解析】此题考查了余弦定理，以及利用基本不等式求三角形面积的最大值，熟练掌握余弦定理，基本不等式是解本题的关键，属于基础题．
先把化为，由余弦定理即可求解．
先用基本不等式求出的最大值，再代入三角形的面积公式即可．
 

18.【答案】解：设等比数列的公比为，
由，，得，即，
解得或舍去，所以，
所以；
由可知，
所以． 

【解析】设等比数列的公比为，由题意可得，从而解出值即可求出的通项公式；
由可知，从而运用分组求和法及裂项相消求和法即可求出．
本题考查等比数列的通项公式，分组求和法，裂项相消求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：平面平面，平面平面，
平面平面，，
又，；
解：由知，，取的中点，的中点，连接交于，
连接，则，，
为二面角的平面角，大小为，
，，可得，
在中，由已知可得，，
．
几何体的体积． 

【解析】由平面与平面平行的性质结合平行公理证明；
由已知二面角的平面角求得的面积，再由棱台体积公式求解．
本题考查平面与平面平行的性质，考查多面体体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．
 

20.【答案】解：由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种：
在第一关使用；在第二关使用；在第三关使用；没有使用，
而通过三关的概率依次为：，
则李华通过该游戏的概率；
购买两枚通关币的费用为元，报名费为元，
则收益可能为：未使用通关币过关，使用枚通关币且过关，使用枚通关币且过关，使用枚通关币且未过关，
则，，，，
则．
所以他最终获得的收益期望值是元． 

【解析】分四类情况讨论即可；
分四类情况分别求出可能的收益，再求对应的概率即可求得期望值．
本题考查概率的求法以及离散型随机变量的数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：当时，，函数定义域为．
，由，
得．
当时，，在上是增函数；
当时，，在上是减函数．分
由，得，
，分
，
由，
得．
，
恒成立．分
令，可得，分
在上单调递减，在上单调递增，
，
的取值范围是分 

【解析】当时，，函数定义域为求出导函数，通过导函数的符号，判断函数的单调性即可．
由，求出，推出恒成立，构造函数，利用函数的导数，求解函数的最小值，然后求解的范围即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

22.【答案】解：因为椭圆：过点，则，
又因为以四个顶点围成的四边形面积为，
所以，解得，
故椭圆的标准方程为；
由题意，设直线的方程为，即，
当时，直线与椭圆没有交点，而直线交椭圆于不同的两点，，
所以，
设，，
联立方程组，可得，
则，解得，
所以，
则，
，
直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
因为直线交于点，
所以令，则，
故，
同理可得，
注意到，所以，同号，
因为，，所以，同号，
故，
则



，
故，
又，即，即，又，
所以，
故的取值范围为． 

【解析】利用椭圆过点，求出的值，再由四边形的面积，求出的值，即可得到椭圆的标准方程；
设直线的方程，联立直线与椭圆的方程，由，得到的取值范围，并且得到韦达定理，求出，的表达式，再设出直线，的方程，求出点，的坐标，表示出，化简整理结合，得到的范围，从而得到答案．
本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于难题．