2023年上海市宜川重点中学高考数学模拟试卷（5月份）

2023年上海市宜川重点中学高考数学模拟试卷（5月份）

一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  “”是“”的(    )

A. 充要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件

2.  德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天赋，岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知某数列通项，则．(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知平面、所成角为，为两平面外一点，则过点且与平面、所成角均为的直线有条．(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如果函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质下列函数中具有性质的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.  已知，若与互相平行，则实数的值是______ ．

6.  双曲线的离心率为          ．

7.  已知数列满足：，若为等差数列，则通项公式为______ ．

8.  在中，已知：：：：，则最大角的值是______ ．

9.  复数为虚数单位是实系数方程的一个解，则实数 ______ ．

10.  如图，在正四棱锥中，，则正四棱锥的体积为______ ．

11.  如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第行中最大的数与第二大的数的数值之比为______ 用最简分数表示．

12.  函数的最大值为______ ．

13.  某校高中三年级名学生参加了区模拟统一考试，已知数学考试成绩服从正态分布试卷满分为分统计结果显示，数学考试成绩在分到分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于分的学生人数约为______ ．

14.  定义符号函数，则方程的解集为______ ．

15.  在平面直角坐标系中，已知圆：，点，在圆上，且则的取值范围是______ ．

16.  在投票评选活动中，经常采用简单多数原则或积分原则简单多数原则指个评委对个候选人进行一次表决，各自选出认为最佳的人选，按每个候选人所得票数不同决定不同名次；积分原则指每个评委先对个候选人排定顺序，第一名得分，第二名得分，依此类推，最后一名得分，每个候选人最后的积分多少决定各自名次如表是个评委对、、、四名候选人作出的选择，则按不同原则评选，名次不相同的候选人是______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机即等可能为你打开一个通道．若是号通道，则需要小时走出迷宫；若是号、号通道，则分别需要小时、小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令表示走出迷宫所需的时间．
求的分布列；
求的数学期望．

18.  本小题分
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，．
证明：平面；
求二面角的大小．

19.  本小题分
某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为万元，超额中的第一个万元含万元以下，按超额部分的提成作奖金；超额中的第二个万元，按超额部分的提成作奖金；后每增加万元，其提成比例也增加一个如销售员某月销售额为万元，则按照合约，他可得奖金为元试求：
销售员某月获得奖金元，则他该月的销售额为多少？
若某销售员、月份的总销售额为万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？

20.  本小题分
已知双曲线，点为双曲线上的动点．
求以，为焦点且经过点的椭圆的标准方程；
若直线经过点且与双曲线恰好有一个公共点，求直线的方程；
点在什么位置时，取得最大？求出最大值及点的坐标．

21.  本小题分
已知函数，．
求函数的最小值；
过点的直线与交于、两点，求证：为定值；
求证：有且只有两条直线与函数，的图像都相切．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用定义是解决本题的关键，比较基础．
结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】
解：当时，成立，
当时，满足成立，但不成立．
故“”是“”成立的充分不必要条件．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查倒序相减法，考查学生找规律和运算求解的能力，属于基础题．
由题意可知，从而所求可转化为个相加进行求解．

【解答】

解：由题意，，
所以，
所以．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：如图，作出两平面，所成二面角的平面角，则，

设为的平分线，则，
当以为中心，在二面角的角平分面上旋转时，与两平面的夹角变小，
此时与平面，所成角均为的直线仅有这一条，
设为的补角的平分线，则，
当以为中心，在二面角的邻补的二面角的角平分面上旋转时，与两平面的夹角变小，
此时在的两侧各出现一条与两平面成的直线，分别设为，，
过点可作一条与平行的直线，符合题意，
可作与，平行的直线各一条，符合题意，
过点且与平面，所成角均为的直线有条．
故选：．
作出两平面，所成二面角的平面角，先考虑二面角内符合题意的直线，再考虑在二面角的邻补的二面角内符合题间的直线，综合可得答案．
本题考查二面角、线面角的定义及求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设函数的图像上存在两点、，
若，则图像在这两点处的切线互相垂直．
对求导，可得，
则，故不可能；
对求导，可得，
，，，故不可能；
对求导，可得，
，，故不可能；
对求导，可得，
，使得故A可能．
故选：．
设函数的图像上存在两点、，由已知，可得，依次求导分析即可得解．
本题考查了导数的几何意义和直线垂直的斜率关系，考查了转化思想，属中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，与互相平行，
，．
故答案为：．
由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得值．
本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的几何性质，属于基础题．
根据题意，由双曲线的方程分析可得，，结合双曲线的几何性质可得的值，进而由离心率计算公式计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，双曲线的方程为，变形可得，
则，，
则有，
则其离心率，
故答案为．

7.【答案】 

【解析】解：设等差数列公差为，
由，可得
，，
相减可得，即，
，，
．
故答案为：．
由为等差数列，结合递推关系，可直接求出首项和公差，得到通项．
本题考查等差数列的通项公式，属简单题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由：：：：，
根据正弦定理得：：：：：，
设，，，，可得为最大边，
设所对的角，即最大角为，
根据余弦定理得：，
又，，
则最大角的值是．
故答案为：
利用正弦定理，化简已知的等式，得到：：的比值，进而设出，及，得到为最大角，利用余弦定理表示出，把设出的，及代入求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数．
此题考查了正弦、余弦定理，比例的性质以及特殊角的三角函数值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键，同时注意比例性质的运用．
 

9.【答案】 

【解析】解：复数为虚数单位是实系数方程的一个解，
则复数是实系数方程的另一个解，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合韦达定理，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查韦达定理，以及复数的四则运算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接与交于，则是正方形的中心，
平面，
，，
，，

正四棱锥的体积为．
故答案为：．
求得正四棱锥的高，利用锥体的体积公式可求正四棱锥的体积．
本题考查正四棱锥的体积的计算，属基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，第行中数依次为：、、、、、，
其中最大为，第二大的数为或，
故第行中最大的数与第二大的数的数值之比为．
故答案为：．
根据题意，归纳数表可得第行中数依次为：、、、、、，由此分析最大和第二大的数，计算可得答案．
本题考查归纳推理的应用，涉及二项式定理，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
令，可得或，
易知当时，，当时，，
则当时，函数取得最大值，
且此时，则所求最大值为．
故答案为：．
对函数求导，可得当时，函数取得最大值，且此时，由此可得答案．
本题考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可知，
数学考试成绩服从正态分布，
，
此次统考中成绩不低于分的学生人数约为．
故答案为：．
根据正态分布曲线的对称性求出，再根据总人数即可求出此次统考中成绩不低于分的学生人数．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由方程，可得，
当时，原式等价于，，；
当时，原式等价于，即，，，
故答案为：
由，可得，按照分段函数分类讨论即可．
本题属于新概念题，考查了对数函数、指数函数的性质及分类讨论思想，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，，中点．
，
，
圆：，
，圆心，半径．
点，在圆上，，
，
即．
点在以为圆心，半径的圆上．
，．
，
．
故答案为：．
本题可利用中点去研究，先通过坐标关系，将转化为，根据得到点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最值，得到本题答案．
本题考查了数形结合思想和函数方程的思想，可利用中点去研究，先通过坐标关系，将转化为，根据得到点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最值，得到本题答案．
 

16.【答案】A、 

【解析】解：由题意，按简单多数原则排名，的得票数为，的得票数为，的得票数为，的得票数为，
所以第一名为，第二名为，第三名为，第四名为；
按积分原则排名，的积分为，的积分为，的积分为，的积分为，
所以第一名为，第二名为，第三名为，第四名为，
按不同的原则评选，名次不相同的候选人是，．
故答案为：和．
按简单多数原则排名，求出，，，的得票数，从而得出，，，的名次；按积分原则排名，求出，，，的积分，从而得出，，，的名次，这样即可得出按不同的原则评选，名次不相同的候选人．
本题考查了简单多数原则和积分原则的操作过程，考查了计算能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：必须要走到号门才能走出，可能的取值为，，，，
，
，
，

分布列为：

小时．

【解析】若首次到达号通道，则的取值为；若首次到达号通道，再次到达号通道，则的取值为；若首次到达号通道，再次到达号通道，最后到达号通道，则的取值为；同理若首次到达号通道时，的取值可为或，分别求出对应概率即可．
利用期望公式代入即可．
考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查．
 

18.【答案】解：证明：不妨设圆的半径为，，，，，
，
在中，，故，
同理可得，又，
故平面；
建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，，
故，
设平面的法向量为，
则由，得，取，则，，
所以平面的法向量为，
由可知平面，不妨取平面的法向量为，
故，
又二面角的平面角为锐角，则二面角的大小为． 

【解析】设圆的半径为，求出各线段的长度，利用勾股定理即可得到，，进而得证；
建立空间直角坐标系，求出平面及平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．
本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角，考查推理能力及计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：设该月销售额为万元，则奖金为，
超额第一个万元可得奖金元，超额第二个万元可得奖金元，
超额第三个元可得奖金元，超额第四个万元可得奖金元，
故销售员该月的销售超额部分在万元到万元之间．
设销售额为万元，提成比例为，即，
可得万元．
根据奖金方案，同样的超额销售，累积的越多，奖金越高．
故当他一个月销售额为万元，另一个月为万元时，总奖金最高
此时总奖金为元；
当他两个月的销售额都是万元时，总奖金最低，
此时总奖金为元． 

【解析】根据题意利用分段求值法判断销售超额部分的范围，再列方程求解即可．
根据奖金方案得出同样的超额销售，当月累积的越多，奖金越高，由此求出总奖金最高与最低值．
本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
 

20.【答案】解：，，，
则，，
故，
椭圆以点，为焦点，
故，即椭圆方程为；
显然，直线斜率不存在时与双曲线无公共点；
可设直线，
联立，化简整理可得，，
当，得，当时直线为双曲线的渐近线不符题意舍；
当，
解得；
综上，满足要求的直线有两条，分别为和．
根据对称性，不妨设点在第一象限，则，
于是，
因为，等号成立时，此时，
根据对称性，当或时取得最大为． 

【解析】根据已知条件，结合椭圆的定义与性质，即可求解；
设出直线的方程，并与双曲线联立，推得，再结合判别式法，即可求解；
根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及不等式的公式，即可求解．
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
 

21.【答案】解：，定义域为，
所以，得，
所以当时，；当时，，
所以时，函数取得最小值．
证明：设直线为，，，
则，得，
所以，
所以，，
，
，
所以，
所以为定值．
证明：假设直线与函数，的图像都相切，
所以不等式在定义域内恒成立，且两个等号都能取到，
设直线与函数相切于点，
则，
所以，
所以，
又直线与函数相切，
于是，
故，
与前面方程联立得，
设，
所以，
令，得，
所以函数在内单调递减，在内单调递增，
又，，，
所以函数恰有两个零点，一个在区间内，一个在区间内，
综上所述，有且只有两条直线与函数，的图像都相切． 

【解析】，定义域为，求导分析函数的单调性，进而可得答案．
可设，联立直线与，结合韦达定理可得，，再计算，即可得出答案．
假设直线与函数，的图像都相切，则不等式在定义域内恒成立，且两个等号都能取到，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．