2023年辽宁省大连市沙河口区格致中学中考数学模拟试卷(含答案)

2023年辽宁省大连市沙河口区格致中学中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列四个几何体中，俯视图为三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，直线，相交于点，，垂足为若，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  截至年月日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约亿吨将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  不等式组的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，内接于，是的直径，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则______填“”“”或“”．

13.  中国古代数学著作算法统宗中记载了这样一个题目：九百九十文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：九百九十文钱共买一千个苦果和甜果，其中四文钱可买苦果七个，十一文钱可买甜果九个．问苦、甜果各几个？设苦果个，甜果个，则可列方程为______．

14.  某商场准备进双滑冰鞋，了解某段时间内销售的双滑冰鞋的鞋号，数据如表：

根据数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为______ 双
 

15.  如图，线段，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，，作直线，连接，，，若，则四边形的面积为______．

16.  如图，在正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点过点作，垂足为点，交边于点若，，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
年月日，教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来，某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成不完整的统计图表．

根据图表信息，解答下列问题：
本次调查的学生总人数为______ ，表的值为______ ；
该校共有名学生，请你估计等级为的学生人数；

19.  本小题分
如图，在▱中，，交于点，点，在上，．

求证：四边形是平行四边形；
若，求证：四边形是菱形．

20.  本小题分
年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元．若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．

21.  本小题分
小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．
求抛物线的表达式．
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头水平距离身高的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．

 

22.  本小题分
随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长结果精确到参考数据：，，，．

 

23.  本小题分
如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且．
求证：；
若，，求的长．

24.  本小题分
如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，是上的一个动点点不与点，重合，过点作，交射线于点，连接设，与重叠部分的面积为．

的长为______ ；
当点与点重合时，求的值；
求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．

25.  本小题分
综合与实践：问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图，在中，点在上，点在上，连接，交于点，且，求证：．
独立思考：请解答王老师提出的问题；
实践探究：在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题请你解答如图，若交于点，在图中找出与相等的线段，并证明；
问题解决：数学活动小组同学对上述问题中点特殊化之后发现，若给出中其余两边长，就可以求出的长，该小组提出下面的问题，请你解答在的条件下，若，，，求的长度．

 

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点．
求抛物线的解析式；
如图，直线经过点，与轴正半轴相交于点，点为第三象限内抛物线上一点，连接绕点逆时针旋转，与线段相交于点，且，若，求点的坐标；
如图，在的条件下，过点作，垂足为点，与轴相交于点，连接，若，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据求一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，即可得出答案．
本题考查了相反数的意义．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．
一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
 

2.【答案】 

【解析】解：俯视图为三角形，故本选项符合题意；
B.俯视图为矩形，故本选项不合题意；
C.俯视图为圆带有圆心，故本选项不合题意；
D.俯视图为圆，故本选项不合题意；
故选：．
利用从上面看到的图叫做俯视图判断即可．
此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意．
故选：．
利用二次根式的减法法则，完全平方公式，幂的乘方法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的化简，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
首先利用垂直的定义得到，然后利用平角的定义即可求解．
本题主要考查了垂直的定义和平角的定义，要注意领会由垂直得直角这一要点．
 

5.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
根据根的判别式的意义得到，然后解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【解答】
解：根据题意得，
解得．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
当添加时，可根据“”判定≌；
当添加时，可根据“”判定≌；
当添加时，即，可根据“”判定≌．
故选：．
先根据平行线的性质得到，加上，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，

是的直径，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可求出的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，
，，
，
四边形是菱形，
连接交于，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
根据折叠的想找得到，，推出四边形是菱形，连接交于，根据等边三角形的性质得到，求得，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数的图象在一、三象限，
，
点，在第一象限，随的增大而减小，
，
故答案为：．
先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．
 

13.【答案】 

【解析】解：共买了一千个苦果和甜果，
；
共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
．
可列方程组为．
故答案为：．
利用总价单价数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据统计表可得，号的鞋卖的最多，
则估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双．
故答案为：．
应用样本估计总体的方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法进行求解是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，

由作图可知是线段的垂直平分线，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
由作图可知是线段的中垂线，四边形是菱形，利用求解即可．
本题主要考查了作图基本作图及中垂线的性质，解题的关键是掌握基本作图方法．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，

四边形为正方形，
，，，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
≌，≌，
，
设，
，，
，
，，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
解得：，
，，
在中，由勾股定理可得：
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
故答案为：．
连接，，，由正方形的性质可得，，，可证得≌，可得，，从而可得，根据等腰三角形三线合一可得点为中点，由可证得≌，≌，可得，设，则，，由勾股定理解得，可得，由勾股定理可得，从而可得，由勾股定理可得，即可求解．
本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先算除法，后算减法，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：本次调查的学生总人数为：，
故表的值为：．
故答案为：；；
人，
答：估计等级为的学生人数大约为人．
用、等级的频数之和除以它们的频率之和可得总数，进而得出的值；
用乘等级的频率可得答案．
本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】证明：在▱中，，，
．
，
四边形是平行四边形．
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形． 

【解析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
根据平行四边形的性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可以证明四边形是菱形．
 

20.【答案】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为元． 

【解析】原来的燃油汽车行驶千米所需的油费元，根据题意可得等量关系：燃油汽车所需油费元所行驶的路程电动汽车所需电费元所行驶的路程，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，设出未知数，列出方程，注意不要忘记检验．
 

21.【答案】解：由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，将代入得：
，
解得，
，
答：抛物线的表达式为；
当时，，
解得或，
她与爸爸的水平距离为或，
答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是或． 

【解析】由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式为；
当时，，解得或，即得她与爸爸的水平距离为或．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
 

22.【答案】解：延长，分别与直线交于点和点，

则，，，
在中，，
，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，
，
，
楼与之间的距离的长约为． 

【解析】延长，分别与直线交于点和点，则，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用三角形的外角求出，从而可得米，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
又，
，
；
解：是的切线，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
．
的长为． 

【解析】根据圆周角定理得，进而得，便可由等腰三角形判定定理得；
证明≌，得，，由勾股定理求得，由三角形面积公式求得，进而求得，，再证明∽，即可得．
本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形的应用，勾股定理，关键是证明三角形全等与相似．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

四边形菱形，，
，，，，
在中，，
设，则，
在中，，
，
解得：或舍去，
，，
，
在中，，
，
在中，，
；
故答案为：；
当点与点重合时，如图，

由可知，，
，
，
，
∽，
，即，
，
点与点重合时，的值为；
当时，如图，

，
，
，
∽，
，
由可知，，，
，
，
，，
，
；
当时，如图，设交于点，

同理可证明：∽，
，
得到，，
，
，
，
四边形为菱形，
，
，
，
在中，，
，
，
．
综上，．
过点作于点，由题意可设，则，在中，利用勾股定理解得，得到，，于是可得，在中，利用勾股定理求得，则，在中，利用勾股定理求出，则；
证明∽，利用相似三角形的性质即可求解；
分两种情况讨论：当时，此时，易证∽，利用相似三角形的性质得到，，则，再根据三角形的面积公式计算即可求解；当时，设交于点，此时，同理可证明：∽，得到，，则，根据菱形的性质可知，得到，在中，，于是可求出，再根据三角形的面积公式计算即可求解．
本题主要考查菱形的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质，本题属于四边形综合题，计算量大，属于中考压轴题，利用相似三角形的性质表示出线段的长度，并学会利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解题关键．
 

25.【答案】证明：，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
即；
解：．
证明：过点作交于点，

，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
；
解：设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
． 

【解析】由等腰三角形的性质得出，由三角形外角的性质可得出，即可得出结论；
过点作交于点，证明∽，由相似三角形的性质得出，证出，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
设，证明∽，由相似三角形的性质得出，得出方程，解方程可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，本题熟练掌握三角形相似的性质和判定是解题的关键．
 

26.【答案】解：把代入得，解得，
所以抛物线解析式为；
如图，，
而，
，
，
，
，即，
为等腰直角三角形，
，
点坐标为；
过作轴交的延长线于，作于，轴于，如图，
，
，
，
，
而，
，
易得四边形为矩形，
，
，
，
，
而，
，
，
，
在和中
，
≌，
，
，
在中，，
，
，
设点坐标为，则，，
，
，
整理得，舍去，
． 

【解析】直接把点坐标代入求出的值即可得到抛物线解析式为；
如图，由三角形外角性质得，加上，则，再利用可，于是可判断为等腰直角三角形，则，由此得到点坐标为；
过作轴交的延长线于，作于，轴于，如图，利用得到，加上，则，于是根据等腰三角形的性质可得，接着判断四边形为矩形得到，则，然后证明≌得到，所以；再在中利用正弦定义可得到，利用勾股定理得，设点坐标为，则，，于是可表示出，所以，解方程得到得，舍去，所以．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质；会应用三角形全等证明线段相等；理解锐角三角函数的定义．