2023年中考数学一模试题分项汇编 专题11 图形的相似基础题型（浙江专用）

这是一份2023年中考数学一模试题分项汇编 专题11 图形的相似基础题型（浙江专用），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学一模试题分项汇编（浙江专用）
专题11 图形的相似基础题型

一、单选题
1．如图，已知，点D是边中点，且．若（   ）

A．3 B．4
C． D．
2．如图，相交于点O．若（   ）

A． B． C． D．
3．若线段，点P是线段的黄金分割点，且，则的长为（    ）
A． B． C． D．
4．某商店有A，B两种糖果，原价分别为a元/千克和b元/千克．据调查发现，将两种糖果按A种糖果m千克与B种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若A种糖果单价上涨20%，B种糖果单价下调，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则为（    ）
A． B． C． D．
5．如图，线段相交于点A，．若，则的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知ABC与DEF是位似图形，且ABC与DEF的周长比为，则ABC与DEF的相似比是（    ）
A． B． C． D．
7．如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（　　）

A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
8．如图，小李身高，在路灯O的照射下，影子不全落在地面上．小李离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为（    ）

A．5m B．6m C．7.5m D．8m
9．如图是一张矩形纸片，点E为中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为与相交于点G，的延长线过点C．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且．过点B作，交边CD于点F．以C为圆心，CF长为半径画圆，交边BC于点G，连接DG，交BF于点H．则（    ）

A．10：3 B．3：1 C．8：3 D．5：3
11．如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　）

A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
12．如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了．现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题
13．已知线段，，则a，b的比例中项线段长是______.
14．已知C是线段AB的黄金分割点，，若，则的长为______．（结果保留根号）
15．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是_______．

16．若，则 _______．
17．，D为中点，，交于E，交于F，，，则______．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为__．

19．如图，在中，AB＝2，AC＝4，绕点C按逆时针方向旋转得到，使∥AB，分别延长AB，相交于点D，则线段BD的长为__．


三、解答题
20．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边上一点，且满足．

(1)证明：；
(2)若，，求AB的长．
21．如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．

22．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）．

(1)在图1中画出一个格点，使得与相似，周长之比为2：1；
(2)在图2中画出一个格点，使得与相似，面积之比为2：1．
23．如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，请按要求画图．

(1)在图中作一个以点A，B，C，D为顶点的格点四边形，且该四边形为中心对称图形．
(2)在图中找一个格点E，连结，使将的面积分为．
24．如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且．

求证：
(1)；
(2)．
25．如图，在的方格纸中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点，，，重合．

(1)在图1中画一条格点线段，使，分别落在边，上，且与互相平分．
(2)在图2上画一条格点线段，使，分别落在边，上，且要求分为两部分．
26．如图，六个完全相同的小长方形（长是宽的2倍）拼成了一个大长方形，是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注字母．

(1)在图1中画出一个以为直角边的直角三角形．
(2)在图2中画出一个以为底边的等腰三角形．
27．如图，在矩形中，，连结对角线．点M为线段上的一点，点N为线段上的一点，连结．回答下列问题：

(1)当点M为的中点且时，求的长．
(2)当且时，求的长．
28．如图，在8×8的正方形网格中，已知的顶点都在格点上，请在所给网格中按要求画出图形．

(1)在图1中，将绕着点C顺时针方向旋转得到（点A，B的对应点分别为，），并画出．
(2)在图2中，以点C为位似中心，作的位似图形，并使边长放大到原来的2倍，请画出的位似图形．

参考答案：
1．D
【来源】浙江省杭州市余杭区2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题
【分析】由点D是边中点，得，再证明，得到，代入数值即可得到答案．
【详解】解：∵点D是边中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
2．A
【来源】浙江省杭州市余杭区2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
【详解】解：，
，
，
故选：．A
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．
3．D
【来源】【浙江新东方】【2022】【初三下】【163】【模拟考】数学试题
【分析】根据黄金分割的定义即可解答．
【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了黄金分割，应该熟记黄金分割的公式：较长线段=原线段长的倍，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
4．B
【来源】2023年浙江省温州市龙湾中考一模数学试题
【分析】根据已知条件表示出价格变化前后两种糖果的平均价格，进而得出等式求出即可．
【详解】解：根据题意得：，
即，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了求加权平均数，比例的性质，根据已知条件表示出价格变化前后两种糖果的平均价格是解题的关键．
5．D
【来源】河南省西峡县城区第二初级中学2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题
【分析】先证明得到，即可求出，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，证明求出是解题的关键．
6．C
【来源】2022年广东省深圳市深圳中学九年级下学期第一次数学模拟诊断试题
【分析】根据周长比等于相似比直接可以得到答案．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比为 ，
∴△ABC与△DEF的相似比等于周长之比，即等于．
故选C．
【点睛】此题重点考查学生对位似图形的理解，掌握周长比等于相似比是解题的关键．
7．A
【来源】广东省深圳市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
【分析】根据位似图形的概念得到△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，根据△OA′B′∽△OAB，求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，
∴△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，
∴△OA′B′∽△OAB，
∴，
∴△A′B'C′与△ABC的面积比为1：4，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8．B
【来源】2023年浙江省温州市平阳县中考一模数学试题
【分析】解：如图，过作于，过作交于，交于，则四边形和为矩形，则，，，，，证明，则，即，求的值，然后根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作于，过作交于，交于，则四边形和为矩形，

∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9．A
【来源】2022年浙江省金华市中考数学真题
【分析】令BF=2x，CG=3x，FG=y，易证，得出，进而得出y=3x，则AE=4x，AD=8x，过点E作EH⊥BC于点H，根据勾股定理得出EH=x，最后求出的值．
【详解】解：过点E作EH⊥BC于点H，
又四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC，
∴四边形ABHE和四边形CDEH为矩形，
∴AB=EH，ED=CH，
∵，
∴令BF=2x，CG=3x，FG=y，则CF=3x+y，，，
由题意，得，
又为公共角，
∴，
∴，
则，
整理，得，
解得x=-y（舍去），y=3x，
∴AD=BC=5x+y=8x，EG=3x，HG=x，
在Rt△EGH中EH2+HG2=EG2，
则EH2+x2=(3x)2，
解得EH=x， EH=-x(舍)，
∴AB=x，
∴．
故选：A．

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求边长等知识，借助于相似三角形找到y=3x的关系式是解决问题的关键．
10．B
【来源】2022年浙江省杭州市滨江区中考二模数学试题
【分析】如图所示，连接AH，CH，设AE与BF交于M，只需要证明想办法证明△HCG≌△HCF得到∠HCG=∠HCF=45°，从而推出A、H、C三点共线，再证明△ADH∽△CGH，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，连接AH，CH，设AE与BF交于M，
∵BF⊥AE，
∴∠AMB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABE=∠BCF=90°，
∴∠ABM+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF，
∴BF=DF，
∵CG=CF，∠DCG=∠BCF，DC=BC，
∴△BCF≌△DCG（SAS），
∴∠CBF=∠CDG，
又∵∠BHG=∠DHF，
∴△BHG≌△DHF（AAS），
∴HG=HF，
又∵HC=HC，CG=CF，
∴△HCG≌△HCF（SSS），
∴∠HCG=∠HCF=45°，
∴A、H、C三点共线，
∵，
∴△ADH∽△CGH，
∴，
故选B．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
11．A
【来源】浙江省宁波市兴宁中学2021-2022学年九年级上学期12月月考数学试题
【分析】根据相似三角形的性质，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，用m、k表示出EH、FM、FK，由FK+MK=FM求出k2值，由面积比等于相似比得出S2+S3=S1，进而由矩形面积等于2（S1+S2+S3）求解即可．
【详解】解：根据题意，A、B、C三个直角三角形相似，并且A与B，B与C的相似比相同，且S1＞S2＞S3，
∴如图，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，
∴EH=EF+FH=m(1+ k2)，
∴FM= = ，FK=kEH= km(1+ k2)，
由FK+MK=FM得：km(1+ k2)+ mk=，
∴k4+ k2－1=0，
解得：或（舍去），
∴S2= k2S1=S1，S3= k2S2= k4S1=，
∴S2+S3=S1，
∴矩形面积等于2（S1+S2+S3）=2（S1+S1）=4S1，
故选：A．

【点睛】本题考查相似三角形的性质、解一元二次方程，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答的关键．
12．C
【来源】2019年浙江省温州市中考数学试题
【分析】连接AG，由△ADL∽△GCL列出比例式，整理可得a=3b，然后分别用含b的式子表示出，即可解决问题.
【详解】解：连接AG，点A，L，G在同一直线上，
∴PF=a，AD=a-b，DL=a+b，CL=a-b，CG=b，
∵AD∥CG，∴△ADL∽△GCL，
∴，即，
整理可得：a=3b，
PH=，
∴，
，
∴，
故选C.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及勾股定理，作出辅助线根据相似三角形的性质得出a=3b是解题关键.
13．4
【来源】浙江省温州市2022-2023学年九年级上学期数学期末试题
【分析】设线段a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义可知，，求得c的值，注意两条线段的比例中项为正数．
【详解】解：设线段a，b的比例中项为c，
∵c是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，
∴，
即，
∴（负数舍去），
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了比例线段．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果，即，那么b叫做a与c的比例中项．
14．
【来源】江苏省南京市联合体2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
【分析】根据黄金分割点的定义，即可进行解答．
【详解】解：∵C是线段AB的黄金分割点，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了黄金分割点的定义，解题的关键是掌握黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．其比值是一个无理数，用分数表示为．
15．2
【来源】2023年广东省深圳市光明区春雷学校九年级下学期数学中考复习第一次模拟测试卷
【分析】过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】过点作于，交于，

∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
16．3
【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题
【分析】根据，则，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查比例的性质，根据已知条件得出是解题的关键．
17．或/或
【来源】2023年浙江省宁波市镇海区蛟川书院九年级数学第一次模拟试题
【分析】过点B作于点H，交于点G，过点F作于点T，先证明，，可得，，进而得到，设，则，可得，再证明，可得，进而得到的长，再由，可设，则，在中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作于点H，交于点G，过点F作于点T，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
即，
∵D为中点，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
可设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得或5，
经验证均可成立，
∴或．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意证明，是解题的关键．
18．1
【来源】江苏省南通市海安市海陵中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题
【分析】根据相似多边形的性质得＝，即＝，然后利用比例性质求出CE即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∵四边形EFDC是矩形，
∴EF＝CD＝2，CE＝DF，
∵余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，
∴，
即＝，
∴CE＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．
19．6.
【来源】2014年初中毕业升学考试（浙江舟山卷）数学（带解析）
【详解】试题分析：∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，AB＝2，AC＝4，
∴A′B′＝AB＝2，AC′＝AC＝4，∠CA′B′＝∠A.
又∵CB′∥AB，∴∠A′CB′＝∠A. ∴△A′CB′∽△DAC.
∴，即. ∴BD=6.
考点：1.旋转的性质；2.平行的性质；3.相似三角形的判定和性质.
20．(1)见解析
(2)

【来源】浙江省杭州市滨江区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
【分析】（1）证出∠BAD=∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．
【详解】（1）∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD．
∵∠ADE=∠B，
∴△ADB∽△AED．
（2）∵△ADB∽△AED，
∴，
∵AE=3，AD=5，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．5
【来源】2014年初中毕业升学考试（湖南永州卷）数学（带解析）
【分析】由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD与三角形ACB相似，由相似得比例，将AB与AD长代入即可求出CD的长．
【详解】解：在△ABD和△ACB中，
∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∵AB=6，AD=4，
∴，
则CD=AC﹣AD=9﹣4=5．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析

【来源】浙江省宁波外国语学校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题
【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可．
（2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作．
（2）如图，即为所求作．

【点睛】本题考查作图﹣相似变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．(1)图见解析（不唯一）
(2)图见解析（不唯一）

【来源】2023年浙江省温州市平阳县中考一模数学试题
【分析】（1）取格点，连接，构造平行四边形即可；
（2）取格点，连接交于点，点即为所求．
【详解】（1）解：取格点，连接，如图，四边形即为所求；

（2）解：取格点，连接交于点，点即为所求，如图：

由图可知：，
∴，
∴，
∴；
故点即为所求．
【点睛】本题考查格点作图．熟练掌握中心对称图形的定义，以及相似三角形的判定和性质，确定格点位置，是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析

【来源】2022-2023学年浙江省杭州市育才学校九年级下学期中考一模数学试题
【分析】（1）利用证明即可；
（2）根据得出，，根据，，得出，利用相似三角形的判定得出结论即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）
证明：∵，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)见解析

【来源】2023年浙江省温州市文成县中考一模数学试题
【分析】（1）根据网格，利用平行四边形对角线互相平行的性质，即可进行解答；
（2）先确定的三等分点，再结合网格，画出即可．
【详解】（1）解：如图1或图2，即为所求．

如图1：根据勾股定理可得：，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分．
如图2：根据勾股定理可得：，，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分．
（2）解：如图∶

∵，
∴，
∵，
∴点G、H、为的三等分点，
∴点J、K为的三点等分点，
过的三等分点画出即可．
如图3或图4，、、即为所求．
【点睛】本题主要考查了网格作图，解题的关键是掌握勾股定理定理，平行四边形的性质，相似三角形的性质，具有数形结合的思想．
26．(1)见解析
(2)见解析

【来源】2023年浙江省金华市六校联谊中考模拟数学试题
【分析】（1）如图，取点E，F，连接交小长方形的长边于点P，则直角三角形即为所求；
（2）如图，取点C，D，连接交小长方形的宽边于点Q，则等腰三角形即为所求．
【详解】（1）解：如图，直角三角形即为所求；

理由：设小长方形的宽为a，则小长方形的长为，，四边形是正方形，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，
∴，
∴三角形为等腰直角三角形；
（2）解：如图，则等腰三角形即为所求．

设小长方形的宽为a，则小长方形的长为，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴三角形是等腰三角形．
【点睛】本题考查作图应用与设计、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
27．(1)5
(2)

【来源】2023年浙江省初中学业水平评价考试模拟预测数学试题
【分析】（1）勾股定理求出的长，利用平行线分线段成比例，得到，即可得解；
（2）证明，列出比例式，即可得解．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵点M为的中点，，
∴，
∴；

（2）解：∵，

∴，
又，
∴，
∴，即：，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是证明三角形相似．
28．(1)图形见解析；
(2)图形见解析．

【来源】2023年浙江省温州市瓯海区中考第一次模拟考试数学试题
【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点，，依次连接即可得到；
（2）利用位似图形的性质以及位似比得到对应点，依次连接即可得到所求图形．
【详解】（1）解：如图1所示，即为所求作，

（2）解：的位似图形如图2所示：

【点睛】本题考查了画旋转图形和位似图形，熟练掌握旋转变换和位似变换的性质得出对应点是解题关键．