专题27 二次函数（讲通）-【讲通练透】2023中考数学一轮（全国通用）（教师版）

这是一份专题27 二次函数（讲通）-【讲通练透】2023中考数学一轮（全国通用）（教师版），共11页。试卷主要包含了掌握求解析式的方法，掌握各系数的关系等内容，欢迎下载使用。
专题27 二次函数1.了解二次函数的概念和二次函数的平移。2.掌握求解析式的方法。3.掌握各系数的关系。一、二次函数的概念及解析式       1.一次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.2.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.二 、系数a、b、c的关系 系数a、b、ca决定抛物线的开口方向及开口大小当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下.a、   b 决定对称轴（x=-b/2a）的位置当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；当b＝0时，  -b/2a=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．c决定抛物线与y轴的交点的位置当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.b2－4ac决定抛物线与x轴的交点个数b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点             三 、二次函数的平移抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,四 、二次函数与一元二次方程以及不等式1.二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.2.二次函数与不等式抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.1．（2022·河南开封市·九年级期末）抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（    ）A．开口向上，对称轴是直线，顶点是B．开口向上，对称轴是直线，顶点是C．开口向上，对称轴是直线，顶点是D．开口向下，对称轴是直线，顶点是【答案】B【分析】所给抛物线是一般式，可得，所以开口向上；再通过配方法变形为顶点式，可直接得出抛物线的对称轴及顶点坐标．【详解】解：抛物线，，开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，故选：B．2．（2022·台州市书生中学九年级开学考试）二次函数对于x的任何值都恒为负值的条件是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二次函数对于x的任何值都恒为负值，抛物线开口向下，，二次函数与x轴没有交点，方程没有实数根，即可．【详解】解：∵二次函数对于x的任何值都恒为负值，∴抛物线开口向下，，二次函数与x轴没有交点，方程没有实数根，∴，∴．故选择D．3．（2022·武汉一初慧泉中学九年级开学考试）若抛物线y＝x2－bx＋8的顶点在x轴的负半轴上，则b＝（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】抛物线的顶点坐标为，，因为抛物线的顶点在轴的负半轴上，所以顶点的横坐标小于0，纵坐标为零，列不等式和方程求解．【详解】解：抛物线的顶点在轴的负半轴上，顶点的横坐标小于0，纵坐标为零，即，，解得，故选：B．4．（2022·浙江衢州市·九年级期中）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都是二次函数y＝x2＋4x＋k的图象上的点，则（    ）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2【答案】B【分析】根据题意可以将函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到y1，y2，y3的大小关系．【详解】解：∵y＝x2+4x+k＝（x+2）2﹣4+k，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，∴当x＜﹣2时，y随x的增大减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，∵C（1，y3）关于对称轴的对称点为（﹣5，y3），且﹣5＜﹣4＜﹣1，∴y2＜y1＜y3，故选B．5．（2022·浙江衢州市·九年级期中）二次函数y＝（x﹣4）2﹣1的顶点坐标是（    ）A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，1） C．（4，﹣1） D．（4，1）【答案】C【分析】根据二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标．【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣4）2﹣1，∴该函数的顶点坐标为（4，﹣1），故选C．6．（2022·杭州市丰潭中学九年级）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图，其中b，c的值可能是（　　）A．b＝﹣3，c＝3 B．b＝3，c＝﹣3 C．b＝3，c＝3 D．b＝﹣3，c＝﹣3【答案】C【分析】根据二次函数的性质判断出b，c的符号，再逐一判断选出符合题意的答案即可．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，故选：C．7．（2022·武汉一初慧泉中学九年级开学考试）已知二次函数y＝－2x2＋4，则其图象开口向______，对称轴为______，顶点坐标为______．【答案】下            【分析】根据二次函数的性质分别解答即可．【详解】解：二次函数，，图象开口向下，，对称轴为直线，当时，，顶点坐标为．故答案为：下；；．8．（2022·武汉一初慧泉中学九年级开学考试）已知函数是二次函数，则m＝________．【答案】【分析】根据二次函数的定义得出且，求出即可．【详解】解：函数是二次函数，且，解得：．故答案为：．9．（2022·武汉一初慧泉中学九年级开学考试）已知抛物线y＝ax2＋bx＋1（a≠0）经过点(1，－2)、(－2，19)，（1）求a、b的值；（2）若A(m，p)和B(n，p)是抛物线上不同的两点，且，求m、n的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）把点，代入解方程组即可得到结论；（2）把分别代入得到，联立即可求解．【详解】解：（1）把点，代入得，，解得：；（2）由（1）得函数解析式为，把分别代入得，，①②得：，，，，，联立，解得：．10．（2022·广东越秀区·铁一中学九年级期中）如图，已知抛物线过点，交轴于点和点（点在点的左侧），抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，连接．（1）直接写出的值，点的坐标和抛物线对称轴的表达式．（2）若点是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点的坐标．（3）点是抛物线上的动点，连接，，将沿所在的直线对折，点落在坐标平面内的点处．求当点恰好落在直线上时点的横坐标．【答案】（1）a＝−；对称轴为直线x＝−2；A（−6，0）；（2）（−2，2）或（−2，4）或（−2，2）或（−2，−2）；（3）或【分析】（1）将点C坐标代入抛物线解析式中，即可得出结论；（2）分三种情况：直接利用等腰三角形的性质，即可得出结论；（3）先判断出△PQE≌△P'Q'E（AAS），得出PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，进而得出P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m＋2，确定出点P'（n−2，2＋m），将点P'的坐标代入直线AD的解析式中，和点P代入抛物线解析式中，联立方程组，求解即可得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y＝a（x＋6）（x−2）过点C（0，2），∴2＝a（0＋6）（0−2），∴a＝−，∴抛物线的解析式为y＝−（x＋6）（x−2）＝−（x＋2）2＋，∴抛物线的对称轴为直线x＝−2；针对于抛物线的解析式为y＝−（x＋6）（x−2），令y＝0，则−（x＋6）（x−2）＝0，∴x＝2或x＝−6，∴A（−6，0）；（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x＝−2，∴E（−2，0），∵C（0，2），∴OC＝OE＝2，∴CE＝OC＝2，∠CED＝45°，∵△CME是等腰三角形，∴①当ME＝MC时，∴∠ECM＝∠CED＝45°，∴∠CME＝90°，∴M（−2，2），②当CE＝CM时，∴MM1＝CM＝2，∴EM1＝4，∴M1（−2，4），③当EM＝CE时，∴EM2＝EM3＝2，∴M2（−2，−2），M3（−2，2），即满足条件的点M的坐标为（−2，2）或（−2，4）或（−2，2）或（−2，−2）；（3）如图2，由（1）知，抛物线的解析式为y＝−（x＋6）（x−2）＝−（x＋2）2＋，∴D（−2，），令y＝0，则（x＋6）（x−2）＝0，∴x＝−6或x＝2，∴点A（−6，0），设直线的解析式为，则，解得，∴直线AD的解析式为y＝x＋4，过点P作PQ⊥x轴于Q，过点P'作P'Q'⊥DE于Q'，∴∠EQ'P'＝∠EQP＝90°，由（2）知，∠CED＝∠CEB＝45°，由折叠知，EP'＝EP，∠CEP'＝∠CEP，∴△PQE≌△P'Q'E（AAS），∴PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，设点P（m，n），∴OQ＝m，PQ＝n，∴P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m＋2，∴点P'（n−2，2＋m），∵点P'在直线AD上，∴2＋m＝（n−2）＋4①，∵点P在抛物线上，∴n＝−（m＋6）（m−2）②，联立①②解得，m＝或，即点P的横坐标为或．