初中数学苏科版九年级下册5.1 二次函数课后练习题

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)

           专题21二次函数与三角函数综合问题

【例1】(2022•泰安二模)抛物线的顶点在轴上，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，直线交抛物线于，两点，若，求的面积；

(3)如图2，已知(2)中点坐标，点是第二象限抛物线上一点，是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．

【例2】(2022•江岸区校级模拟)抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，．

(1)如图1，求抛物线的解析式；

(2)如图2，若，是抛物线上两点，在对称轴右侧，且，求点坐标；

(3)如图3，是点右侧抛物线上的一动点，、两点关于轴对称，直线、分别交直线于、两点，交轴于，求的值．

【例3】(2022•沈阳模拟)如图1，直线分别交轴，轴于点，，经过点，的抛物线交轴正半轴于点．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图2，是第三象限内的抛物线上动点，轴交直线于点，若是等腰三角形，求点坐标；

(3)是抛物线的顶点，直线上存在点，使，请直接写出点坐标．

【例4】(2022•湖北)抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为．

(1)直接写出点和点的坐标；

(2)如图1，连接，为轴上的动点，当时，求点的坐标；

(3)如图2，是点关于抛物线对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点．设和的面积分别为和，求的最大值．

【例5】(2022•南充)抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式．

(2)如图1，顶点在抛物线上，如果面积为某值时，符合条件的点有且只有三个，求点的坐标．

(3)如图2，点在第二象限的抛物线上，点在延长线上，，连接并延长到点，使．交轴于点，与均为锐角，，求点的坐标．

【例6】(2022•无锡)已知二次函数图象的对称轴与轴交于点，图象与轴交于点，、为该二次函数图象上的两个动点(点在点的左侧)，且．

(1)求该二次函数的表达式；

(2)若点与点重合，求的值；

(3)点是否存在其他的位置，使得的值与(2)中所求的值相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

一．解答题(共20题)

1．(2022秋•工业园区期中)已知抛物线的图象与轴交于、两点(点在点的左侧)，与轴正半轴交于点，顶点为，直线轴于点．

(1)当时，知，求的长；

(2)当时，若，，求抛物线的解析式；

2．(2022春•德化县期中)在平面直角坐标系中，经过原点的抛物线与轴的正半轴交于点，为抛物线的顶点，且．

(1)已知．

①求二次函数的解析式；

②直线平行于，且将分成面积相等的两部分，求直线的解析式．

(2)若为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且直线交对称轴于点，点，关于点对称，求证：直线过定点．

3．(2021秋•朝阳区校级期中)如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点、，

(1)若点的坐标为；

①求该抛物线的解析式．

②　　；

③点是线段上的动点．过点作，交线段于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式；当的面积最大时，求点的坐标；

(2)已知、是抛物线上两点；将抛物线上位于、两点间的部分记为；把的最高点与最低点的纵坐标的差记为，当时，求的取值范围．

4．(2022•长春模拟)在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且该抛物线与轴交于、两点(点在点的左侧)．我们规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”(不包括边界)；横、纵坐标都是整数的点称为整点．

(1)如果抛物线经过点．

①求的值；

②直接写出“区域”内整数点的个数；

(2)当时，如果抛物线在“区域”内有4个整数点，求的取值范围；

(3)当时，抛物线与直线交于点，把点向左平移5个单位长度得到点，以为边作等腰直角三角形，使，点与抛物线的顶点始终在的两侧，线段与抛物线交于点，当时，直接写出的值．

5．(2022•长沙二模)如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“三角形”．

(1)判断下列三角形是否为“三角形”？如果是，请在对应横线上画“”，如果不是，请在对应横线上画“”；

①其中有两内角分别为，的三角形 　　；

②其中有两内角分别为，的三角形 　　；

③其中有两内角分别为，的三角形 　　；

(2)如图1，点在双曲线上且横坐标为1，点，为中点，为轴负半轴上一点，若．

①求的值，并求证：为“三角形”；

②若与相似，直接写出的坐标；

(3)如图2，在中，，，，为边上一点，且是“三角形”，已知，记，过，作抛物线，在右侧，且在轴上，点在抛物线上，使得，若符合条件的点个数为3个，求抛物线的解析式．

6．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是抛物线上一动点，过点，作直线．

(1)求抛物线的解析式及的值；

(2)当点到直线的距离为时，求点的坐标；

(3)过点作轴于点，交直线于点，若，求点的坐标．

7．(2022•中山市三模)如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点，过的直线交轴于点，交抛物线于，且．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线第四象限的图象上找一点，使得的面积最大，求出点的坐标；

(3)点是线段上的一点，求的最小值，并求出此时点的坐标．

8．(2022•松江区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，点、点分别在的正半轴和的正半轴上，，抛物线经过、两点，顶点为．

(1)求抛物线的表达式；

(2)将绕点顺时针旋转后，点落到点的位置，求四边形的面积；

(3)将该抛物线沿轴向上或向下平移，使其经过点，若点在平移后的抛物线上，且满足，求点的坐标．

9．(2022•沈阳模拟)如图，已知点，点，直线过点，交轴于点，抛物线经过点，．

(1)求抛物线的解析式；

(2)为直线上方的抛物线上一点，且，求点的坐标；

(3)平面内任意一点，与点距离始终为2，连接，．直接写出的最小值．

10．(2022春•西山区校级月考)已知对称轴为直线的抛物线经过，两点，抛物线与轴的另一个交点为．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，若点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，求的最大值；

(3)如图2，若点为抛物线上一点，且当，求点的坐标．

11．(2022春•汉川市校级月考)如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点，且与轴交于，两点(点在点的左侧)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求的值；

(3)点在第二象限内的抛物线上，点在轴上，且，当与相似时，求点的坐标．

12．(2022秋•道里区校级期中)如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，轴于点，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在第三象限抛物线上，点横坐标为，连接、，的面积为，求关于的函数关系式；(不要求写自变量的取值范围)

(3)在(2)的条件下，绕点逆时针旋转，与线段相交于点，且，过点作交于，轴于点，连接，若，求线段的长．

13．(2022•荆门模拟)抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点在第一象限的抛物线上，且，求点的坐标；在线段上确定一点，使平分四边形的面积，求点的坐标；

(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，设的外心为，当的值最大时，请直接写出点的坐标．

14．(2022春•磐安县期中)如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点在轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点，满足？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)若点在轴上，满足的点是否存在？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

15．(2022•合肥模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与直线交于轴上的点，直线与轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点是抛物线上第一象限内的一一个动点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标；

(3)将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线，点是直线上一点，连接、，若直线上存在使最大的点，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

16．(2022•高州市一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线顶点．

(1)求该抛物线的解析式．

(2)如图1，连接，交轴于点，点是第一象限的抛物线上的一个动点，连接交轴于，连接、，若，求点的坐标．

(3)点是抛物线对称轴上一动点，连接、，设外接圆圆心为，当的值最大时，请求出点的坐标．

17．(2022•夏津县模拟)如图，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线．为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式；

(2)当线段的长度最大时，求的值；

(3)点是抛物线对称轴上的一点，点是坐标平面内的一点，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

18．(2022•黄冈模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点为、，与轴交于点，为抛物线上一点，过点作于．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，若在直线上方，轴于，交于．

①求的值；

②求线段的最大值．

(3)如图2，连接，当与相似时，直接写出点的坐标．

19．(2022•广东模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线顶点．

(1)连接，交轴于点，是抛物线上的一个动点．

①如图一，点是第一象限的抛物线上的一点，连接交轴于，连接、，若，求点的坐标．

②如图二，点在第四象限的抛物线上，连接、交于点，设，则有最大值还是最小值？的最值是多少？

(2)如图三，点是第四象限抛物线上的一点，过、、三点作圆，过点作轴，垂足为，交圆于点，点在运动过程中线段是否变化？若有变化，求出的取值范围；若不变，求线段长度的定值．

(3)点是抛物线对称轴上一动点，连接、，设外接圆圆心为，当的值最大时，请直接写出点的坐标．

20．(2022•瓯海区校级自主招生)如图，在平面直角坐标系中，点从原点出发，沿轴向右以每秒一个单位长的速度运动秒，抛物线经过点和点．

(1)求，(用的代数式表示)；

(2)抛物线与直线和分别交于，两点，当时，

①在点的运动过程中，你认为的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值；

②的面积与的函数关系式；

③是否存在这样的值，使得以，、，为顶点的四边形为梯形？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．