专题21 三角形中位线定理的应用（练透）-【讲通练透】2023中考数学一轮（全国通用）（教师版）

这是一份专题21 三角形中位线定理的应用（练透）-【讲通练透】2023中考数学一轮（全国通用）（教师版），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题21 三角形中位线定理的应用
一、单选题
1．如图，在△ABC中，E，F分别为AC，BC中点，若AB＝6，BC＝7，AC＝8，则EF＝（　　）

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】A
【分析】
根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵E，F分别为AC，BC中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB＝×6＝3，
故选：A．
2．（2022·辽宁抚顺·九年级开学考试）如图，在中，、分别为、的中点，平分，交于点，若，则的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据三角形中位线定理得到，进而证明，根据角平分线的定义、等腰三角形的判定定理解答即可．
【详解】
解：∵、分别为、的中点，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．（2022·重庆市天星桥中学九年级开学考试）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交与O点，E为AD的中点，连接OE．若OE=2，则CD的长度为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
首先根据平行四边形的性质可得AO=CO，再根据三角形的中位线定理可得EO=CD，进而可得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∵点E是边CD的中点，
∴EO=CD，
∵OE=2，
∴CD=2OE=4，
故选：D．
4．（2022·合肥市五十中学东校九年级）如图，G是△ABC的中位线MN的中点，CG的延长线交AB于点F，则AF：FB等于（ ）

A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4
【答案】A
【分析】
由得出的值，再由为的中点，即可求得．
【详解】
MN是△ABC的中位线
,,


G是MN的中点



即
又



即：AF：FB．
故选A．
5．（2022·广西梧州·）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（　　）

A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】B
【分析】
利用三角形的中位线定理，先证明四边形是矩形，再利用矩形的面积公式进行计算即可.
【详解】
解： 点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，

四边形是平行四边形，

四边形是矩形，

故选：
6．（2022·河南）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．若D，E分别为边AC，BC的中点，则DE的长为（　　）

A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
【答案】D
【分析】
利用勾股定理求出AB，再利用三角形的中位线定理求出DE即可．
【详解】
解：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝ ＝＝13，
∵AD＝DC，CE＝EB，
∴DE＝AB＝6.5，
故选：D．
7．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD，若AB＝7，AC＝11，则FC的长为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】
设点N是AC的中点，连接EN，构造△ABC的中位线．根据三角形的中位线定理，得EN∥AB，ENAB；根据平行线的性质和等腰三角形的判定，得FN＝EN，从而求解．
【详解】
解：如图，

设点N是AC的中点，连接EN，则EN∥AB，ENAB，
∴∠CNE＝∠BAC．
∵EF∥AD，
∴∠DAC＝∠EFN．
∵AD是∠BAC的平分线，∠CNE＝∠EFN+∠FEN，
∴∠EFN＝∠FEN．
∴FN＝ENAB，
∴FC＝FN+NCABAC＝9．
故选：C．
8．（2022·山东）如图，在△ABC中，BC＝4，将△ABC平移7个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于（　　）

A．9 B．4 C．2 D．5
【答案】D
【分析】
取A1B1的中点P′，连接QP′、PP′，如图，根据平移的性质得到PP′＝7，B1C1＝BC＝4，再利用P′Q为△A1B1C1的中位线得到P′Q=2，利用三角形三边的关系得到
∴PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），从而得到PQ的最小值．
【详解】
解：取A1B1的中点P′，连接QP′、PP′，如图，
∵△ABC平移7个单位长度得到△A1B1C1，
∴PP′＝7，B1C1＝BC＝4，
∵Q是A1C1的中点，P′为A1B1的中点，
∴P′Q为△A1B1C1的中位线，
∴P′Q＝B1C1＝2，
∴PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），
即7﹣2≤PQ≤7+2，
∴PQ的最小值为5．
故选：D．

9．（2020·渝中·重庆巴蜀中学）已知中，点为斜边的中点，连接，将沿直线翻折，使点落在点的位置，连接、、，交于点， 若，，则的值为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
过点D作DM⊥BC，DN⊥AE，垂足为M、N，连接BE交CD于点G，由折叠得CD是BE的中垂线，借助三角形的面积公式，可以求出BG，进而求出BE，由等腰三角形的性质，可得DN是三角形的中位线，得到DN等于BE的一半，求出DN，在根据勾股定理，求出AN，进而求出AE．
【详解】
解：过点D作DM⊥BC，DN⊥AE，垂足为M、N，连接BE交CD于点G，

∵Rt△ACB中，AB=，
∵点D为斜边AB的中点，
∴CD=AD=BD=AB=10，
在△DBC中，DC=DB，DM⊥BC，
∴MB=MC=BC=6，
∴DM=，
由折叠得，CD垂直平分BE，∠BDC=∠EDC，
在△ADE中，DA=DE，DN⊥AE，
∴AN=NE=AE，
∴DN是△ABE的中位线，
∴DN∥BE，DN=BE，
在△DBC中，由三角形的面积公式得：BC•DM=DC•BG，
即：12×8=10×BG，
∴BG==DN，
在Rt△ADN中，AN=，
∴AE=2AN=，
故选：B．
10．（2022·江苏扬州市·）如图，已知点D是的边AC的中点，点O为内部上的一点，已知，，，则AB的最小值为（ ）

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【分析】
由BC=5，可得点B在以点C为圆心以5为半径的圆上运动，由D是的边AC的中点，，可得点O在以点D为圆心，以1为半径的圆上运动，由，取AB中点为E，以点E为圆心AB为直径的圆与半圆D的交点为O，连结OE，当点D、O、E三点在一直线上时，AB最短，可证ED为△ABC的中位线，可求DE=，求出OE=DE-OD=1.5即可．
【详解】
解：∵BC=5，
∴点B在以点C为圆心以5为半径的圆上运动，
∵D是的边AC的中点，，
∴点O在以点D为圆心，以1为半径的圆上运动，
∵，
取AB中点为E，以点E为圆心AB为直径的圆与半圆D的交点为O，
连结OE，当点D、O、E三点在一直线上时，AB最短，
∵AD=CD，AE=BE，
∴ED为△ABC的中位线，
∴DE=，
∵OD=1，
∴OE=DE-OD=2.5-1=1.5，
∴AB=2OE=3．
故选择：B．

二、填空题
11．（2022·常德市第十一中学）D、E、F分别是△ABC三条边的中点，则S△DCF：S△ABC＝___．

【答案】
【分析】
根据中位线定理得到平行线，判定平行四边形，根据平行四边形的性质求解．
【详解】
解：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴EF∥BC，DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF，四边形CDEF，四边形BDFE是平行四边形，
∴△AEF，△BED，△DEF和△CDF的面积相等，
∴S△DCF：S△ABC＝，
故答案为：．
12．（2022·西城·北京八中）如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则、两点间的距离为__________．

【答案】60
【分析】
根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴DE是ABC的中位线，
∴AB＝2DE，
∵DE＝30m，
∴AB＝60m，
故答案为：60．
13．（2022·东莞市东华初级中学）如图，在中，平分，，垂足为，为的中点．若，，则的长为_______________________．

【答案】
【分析】
如图，延长CD交AB于F，再证明△BDC≌△BDF，根据全等三角形的性质可得BF=BC=6，CD=DF，然后可求出AF，最后根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：如图：延长CD交AB于F
在△BDC和△BDF中

∴△BDC≌△BDF（ASA）
∴BF=BC=6，CD=DF
∴A F=AB-BF=4.
∵CD=DF，CE=EA
∴DE=AF=2．
故填2．

14．（2022·湖南九年级期末）如图，相交于点，∥，是∆的中位线，且，则的长为_____．

【答案】
【分析】
由三角形中位线性质得出DB=2EF=8，再证明，根据相似三角形的性质可求得结论．
【详解】
解：∵是∆的中位线，且，
∴DB=2EF=8，
∵AC//BD
∴
∴
又CO=6，DO=10，BD=8
∴
∴
故答案为：
15．（2022·福建厦门双十中学思明分校九年级期末）如图，ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AC中点，若DE＝3，则AB的长为_____．

【答案】6
【分析】
根据垂线的性质推知△ADC是直角三角形；然后在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得AC=6；最后由等腰三角形ABC的两腰AB=AC，求得AB=6．
【详解】
解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，
∴△ADC是直角三角形；
∵E是AC的中点．
∴DE=AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半），
又∵DE=3，AB=AC，
∴AB=6，
故答案为：6．
三、解答题
16．（2022·上海九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E、F分别为边BC、AC的中点．
（1）求证：DF＝BE；
（2）过点A作AGBC，交DF于点G，求证：AG＝DG．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过点F作FH∥BC，交AB于点H，则四边形HBEF是平行四边形，有HF＝BE，证得AC是HD的中垂线后得到HF＝FD，故问题得证；
（2）由于四边形DBEF是等腰梯形，有∠B＝∠D，而AG∥BC有∠B＝∠DAG，故有∠D＝∠DAG，然后问题可得解．
【详解】
证明：（1）如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，
∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，
∴AH＝BH＝AB，EF∥AB．
∵AD＝AB，
∴AD＝AH．
∵CA⊥AB，
∴CA是DH的中垂线．
∴DF＝FH．
∵FH∥BC，EF∥AB，
∴四边形HFEB是平行四边形．
∴FH＝BE．
∴BE＝FD．
（2）由（1）知BE＝FD，
又∵EF∥AD，
∵EF＜BD，
∴四边形DBEF是等腰梯形．
∴∠B＝∠D．
∵AG∥BC，∠B＝∠DAG，
∴∠D＝∠DAG．
∴AG＝DG．

17．（2020·黑龙江大庆市·）如图，等边三角形的边长是2，，分别为，的中点，延长至点，使，连接，，．

（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）根据三角形中位线的性质解得，结合已知条件即可解题；
（2）由等边三角形三线合一的性质，可得，在中，由勾股定理解得，继而由（1）中结论，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的对应边相等解题即可．
【详解】
（1）在等边三角形中，
，分别为，的中点，
，

；
（2）在等边三角形中，
为的中点，

在中，

四边形是平行四边形，
．
18．（2022·河南九年级期末）如图，在中，，，、分别是其角平分线和中线，过点C作于点F，交于点G，连接，求线段的长．

【答案】2cm
【分析】
首先证明△AGF≌△ACF，则AG=AC=4，GF=CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
【详解】
解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
则（）．
又∵，
∴是的中位线，
∴．
答：的长为．
19．（2022·安徽）如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H不在同一条直线上．

求证：EF和GH互相平分．
【答案】见解析
【分析】
连接EG、GF、FH、HE，根据三角形的中位线的性质，得出EG=HF，EH=GF，然后根据平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，证明即可
【详解】
证明：连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．

在△ABC中，EG=BC；在△DBC中，HF=BC，
∴EG=HF．
同理EH=GF．
∴四边形EGFH为平行四边形．
∴EF与GH互相平分
20．（2022·浙江绍兴市·）如图，在△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．
（1）若∠B＝40°，求∠CDE的度数．
（2）若DE＝4，试添加一个条件，并求出BC的长度．

【答案】（1）∠CDE=25°；（2）添加的条件为DE是△ABC的中位线，．
【分析】
（1）由题意易得∠BCD=∠ACD，∠ACB=50°，则有∠BCD=∠CDE，进而问题可求解；
（2）根据题意可添加DE是△ABC的中位线这个条件，然后问题可求解．
【详解】
解：（1）∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠BCD=∠ACD，
∵∠A＝90°，∠B＝40°，
∴∠ACB=50°，
∴∠BCD=∠ACD=25°，
∵DE∥BC，
∴∠BCD=∠CDE=25°；
（2）添加的条件DE是△ABC的中位线，
∵DE＝4，
∴．
21．（2022·安庆市第四中学九年级期中）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是的重心．
（1）求证：；
（2）若的面积是1，求的面积．

【答案】（1）见解析；（2）6．
【分析】
（1）连接DE，则DE是△ABC的中位线，从而可得DE∥AC且AC=2DE，即可得△DEG∽△ACG，即可求得AG=2DG，从而可得结论；
（2）利用底高的两个三角形面积比等于底的边、三角形中线平分三角形面积的性质即可求得结果．
【详解】
如图，连接DE
∵AD、CE是△ABC的中线
∴DE是△ABC的中位线
∴DE∥AC且AC=2DE
∴△DEG∽△ACG
∴
∴AG=2DG
∴AD=AG+DG=3DG

（2）∵△ACG、△DCG的底边AG、DG 上的高相等
∴
∵
∴
∴
∵AD是△ABC的边BC上的中线
∴
∴
即△ABC的面积为6
22．（2022·全国九年级课时练习）如图，中，D为边的中点，延长至E，延长交于P，若，求证：．

【答案】见详解
【分析】
过点B作BF∥AE交PC于点F，可证DE为△BFC的中位线，进而可得到BF=AD=AE，再证△PBF∽△PAE，利用相似三角形的性质可证明结论成立.
【详解】
过点B作BF∥AE交PC于点F，

 ∵BF∥DE，点D为BC的中点，
 ∴DE为△BFC的中位线，∴BF=2DE.
 ∵AD=2DE，
∴AD=AE，BF=AD=AE.
 ∵BF∥AE，
∴△PBF∽△PAE，
 ∴，
即=，
∴PB=PA，
∴AP=3AB.
23．（2022·西安市汇文中学九年级开学考试）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形；
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且BC＝80，求AB的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）连接，交于点，证出是的中位线，得即可；
（2）先证，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
（3）设，则，，证是等腰直角三角形，得，再证是等腰直角三角形，得，然后在中，由勾股定理得出方程，解得，即可求解．
【详解】
解：（1）证明：连接，交于点，如图所示：

四边形是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，
即；
（2）证明：如图所示：

由（1）得：，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，
，
平行四边形是矩形；
（3）设，则，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，
，，，
，是等腰直角三角形，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
．