2023年湖南省常德市澧县中考数学三模试卷+

2023年湖南省常德市澧县中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  为响应“双减”政策，进一步落实“立德树人、五育并举”的思想主张，某学校积极推进学生综合素质评价改革，小明在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，其各项的得分分别为，，，，，则该同学这五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为(    )

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

5.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是(    )

A. ，
B.
C. 方程的解是，
D. 不等式的解集是
 

7.  一种燕尾夹如图所示，图是在闭合状态时的示意图，图是在打开状态时的示意图此时，相关数据如图单位：从图闭合状态到图打开状态，点，之间的距离减少了(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  定义：如果代数式是常数与是常数，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为(    )
若，，则的值为；
若为常数，关于的方程与的解相同，则；
若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  如果一个数与互为相反数，那么这个数是______ ．

10.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．

11.  从新冠疫情伊始，很多在外工作的游子为了全民健康没有返乡过年，时隔三年，年春节终于可以阖家团圆，年春运人流量预计有人次，请将数据用科学记数法表示为______ ．

12.  已知关于，的方程组的解满足，则的值为______．

13.  如图，在平行四边形中，已知，，的角平分线交边于点，则的长为______ ．

14.  我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示．

请根据该统计图，写出一条你获取的信息：______ ．

15.  如图，在菱形中，，，分别在边，上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，延长交于点，当时，的值为______．

16.  如图，把图称为二环三角形，它的内角和；把图称为二环四边形，它的内角和；依此规律，请你探究：二环边形的内角和为______ 度用含的式子表示

 

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

17.  解不等式组：并写出它的正整数解．

四、解答题（本大题共9小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
先化简，再求值：
，其中满足．

20.  本小题分
某校英语考试采取网上阅卷的形式，已知该校甲、乙两名教师各阅卷张，甲教师的阅卷速度是乙教师的倍，结果甲教师比乙教师提前个小时完成阅卷工作求甲、乙两名教师每小时批阅学生试卷的张数．

21.  本小题分
如图，已知正比例函数与反比例函数图象相交于，两点，矩形的两个顶点，均在轴上，且．
求的值；
从矩形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．

22.  本小题分
年月日，首届全民阅读大会在北京开幕．为落实大会精神，某中学开展了以“阅读新时代，奋进新征程”为主题的读书活动．学校为了了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为小时，将它分为个等级：，，，，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
本次共调查了______名学生；
请补全条形统计图；
在等级中有甲、乙、丙、丁人表现最为优秀，现从人中任选人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．

 

23.  本小题分
如图，图分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点、在线段上，点在上，支杆，：：，，．

请根据以上信息，解决下列问题：
求滑竿的长度；
求拉杆端点到水平滑杆的距离结果精确到参考数据：，，，．

24.  本小题分
如图，在中，，以为直径作交于点，过点作于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．

25.  本小题分
已知二次函数的图象经过点．

求该二次函数的表达式；
二次函数图象与轴的另一个交点为，与轴的交点为，点从点出发在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求面积的最大值；
在点、运动的过程中，是否存在使与相似的时刻，如果存在，求出运动时间，如果不存在，请说明理由．

26.  本小题分
定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．

根据以上定义，解决下列问题：
如图，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形 ______填“是”或“不是”“直等补”四边形；
如图，已知四边形是“直等补”四边形，，，，过点作于．
过作于点，试证明：，并求的长；
若是边上的动点，求周长的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是，
故选：．
先化简绝对值，根据倒数的定义求解即可．
本题考查了绝对值的定义和倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图所示：

，，
，
，
故选D．
根据平行线的性质和邻补角解答即可．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项A符合题意；
B.与不能合并，故选项B不符合题意；
C.，故选项C不符合题意；
D.，故选项D不符合题意；
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方以及合并同类项，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为，，，，，
出现次数最多的数是，所以众数为，
位于中间位置的数是，所以中位数是，
平均数为．
故选：．
利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可．
本题考查了统计的知识，掌握众数、中位数及平均数的计算方法是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：



，
故选：．
先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．
本题考了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图象可知，抛物线开口向下，所以；对称轴为直线，所以，所以，故A正确．
因为抛物线与轴有两个交点，所以，故B正确．
由图象和对称轴公式可知，抛物线与轴交于点和，所以方程的解是，，故C正确．
由图象可知，不等式的解集是，故D错误．
故选：．
根据函数图象确定对称轴、最大值、增减性、二次函数与一元二次方程的关系判断即可．
本题考查的是二次函数的图象和性质，理解二次函数的对称轴、最值、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的增减性是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：

由题意得，，，
∽，
，
，
，
点，之间的距离减少了，
故选：．
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
依题意，
解得：，，
，故正确；
的方程与的解相同，
即与的解相同，
，
，故正确；


，
的最小值为，
当，
的最小值为，
有最小值，且最小值为，
当，有最大值，且最大值为．
故不正确．
故选：．
根据新定义，得出，的值代入计算即可判断；
根据方程的解的定义以及新定义得出得出，即可判断；
根据题意得出，即可判断．
本题考查了新定义运算，代数式求值，不等式的性质，方程的解的定义，掌握新定义是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：一个数与互为相反数，
这个数是，
故答案是：．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法，关键是掌握的值的确定方法，当原数大于等于时，等于原数的整数数位减．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
关于，的方程组的解满足，
，
整理得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
故方程组的解是，
故答案为：．
由题意得：，再代入方程组得到关于，的二元一次方程组，解方程组即可．
本题主要考查二元一次方程组的解，解答的关键是明确题意得到，代入原方程得到一个关于与的新的方程组．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
由平行四边形的性质可得，，由角平分线的性质和平行线的性质可得，可求，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
 

14.【答案】从年到年，我国人口出生率成下降趋势，到年人口出生率比死亡率只高出千分之答案不唯一 

【解析】解：由图可知，从年到年，我国人口出生率成下降趋势，到年人口出生率比死亡率只高出千分之．
故答案为：从年到年，我国人口出生率成下降趋势，到年人口出生率比死亡率只高出千分之答案不唯一．
根据统计图即可求解．
本题考查的是折线统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，由翻折不变性可知：，
，
可以假设：，，则，．

，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
如图，由翻折不变性可知：，推出，可以假设：，，则，想办法求出，即可解决问题．
本题考查翻折变换，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图：

中：；
中：；
，
二环边形的内角和为：，
故答案为：．
先求出图，图中的内角和，找出规律求解．
本题考查了图形的变化类，根据多边形的内角和找出规律是解题的关键．
 

17.【答案】解：解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为：，
不等式组的正整数解为：，，． 

【解析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
 

18.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

19.【答案】解：原式
．
，
，
当时，原式． 

【解析】根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：设乙教师每小时批阅张学生试卷，则甲教师每小时批阅张学生试卷，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲教师每小时批阅张学生试卷，乙教师每小时批阅张学生试卷． 

【解析】设乙教师每小时批阅张学生试卷，则甲教师每小时批阅张学生试卷，根据“该校甲、乙两名教师各阅卷张，甲教师比乙教师提前个小时完成阅卷工作”，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出乙教师的阅卷速度，再将其代入中，即可求出甲教师的阅卷速度．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：四边形为矩形，
，，，
，
，
，
设，
上的高为，
，
，
，
，
，整理得，
，
，
点在反比例函数图象图象上，
；
由可知，
，
设直线的解析式为，
把代入得，，
，
直线的解析式为． 

【解析】利用矩形的性质得出，，，即可得到，求得，利用勾股定理得到，解得，从而求得，代入即可求得；
利用待定系数法即可求得直线的解析式．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、矩形的性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式，根据矩形的性质求得是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：：本次共调查学生名，
故答案为：；
等级人数为名，
补全图形如下：

画树状图为：

由图可知，共有种等可能出现的结果，其中恰好选中甲乙两名同学的结果有种，所以恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
由等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
根据四个等级人数之和等于总人数求出等级人数，从而补全图形；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查列表法与树状图法，正确利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率是解题关键．
 

23.【答案】解：过点作，垂足为，

在中，，
，
，
在中，，
，
，
：：，
，
，
滑竿的长度约为；
过点作，交的延长线于点，

，
，
在中，，
，
拉杆端点到水平滑杆的距离约为． 

【解析】过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，然后根据已知：：，求出的长，最后利用线段的和差关系求出的长，即可解答；
过点作，交的延长线于点，利用的结论和已知可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，连接，，

是的直径，
，点是的中点，
，
点是的中点，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：设与交于点，连接，

是直径，
，
，
不妨设，，则，
，
，
解得，．
，，
．
点是的中点，
为的中点，
是的中位线，
． 

【解析】连接，，利用圆周角定理得到，再证，从而得到，最后证得结论；
设与交于点，连接，由圆周角定理得到，在中，根据三角函数的定义和勾股定理求得，证得是的中位线，根据三角形中位线的性质即可求出．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线的性质，熟练掌握切线的性质是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：把点代入得：，
解得：，
二次函数的表达式为：；
过作于，如图：

在中，令得，令得，，
，，，
，，，
设运动时间为，则，，
，
，
，即，
，
，
，
当时，面积的最大值为；
在点、运动的过程中，存在使与相似的时刻，理由如下：
，，
与相似只需为直角三角形，
当时，如图：

，，
，
是等腰直角三角形，，
，
解得；
当时，如图：

同理可知，
，
解得，
综上所述，的值为或． 

【解析】把点代入解析式，求出的值，即可得到解析式；
过点作于点，利用表示出的高，然后表示出的面积，利用二次函数的性质求出最大面积；
由，，知与相似只需为直角三角形，分两种情况：当时，是等腰直角三角形，，有，解得；当时，，解得．
本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标、三角形面积等知识，解题的关键是数形结合和分类讨论思想的应用．
 

26.【答案】是 

【解析】解：将绕点旋转，与重合，点的对应点在的延长线上，

，，
四边形是正方形，
，
，
，即，
，
，，
四边形是“直等补”四边形．
故答案为：是；
证明：四边形是“直等补”四边形，，，，
，，
，
，，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，，
≌，
，，
，
；
四边形是矩形，
，
≌，
，
，
设，则，
在中，，
解得：或舍去，
的长是；
周长，
当的值最小时，的周长最小，
如图，延长到点，使，连接交于点，过点作，交的延长线于点，

，
点与点关于对称，
，即，
当点与重合时，的值最小，即的周长最小，
在中，，
四边形是“直等补”四边形，
，
，
，
，
∽，
，即，
，，
，
，
周长的最小值为．
由旋转的性质可得，，根据正方形的性质得，可得出，即可得出答案；
首先证明四边形是矩形，则，，再证≌，根据全等三角形的判定和性质可得，，等量代换即可得；由，可得，设，根据勾股定理求出的值即可；
延长到点，使，连接交于点，过点作，交的延长线于点，证明∽，根据相似三角形的性质求出、的值，在中，根据勾股定理求出，即可求解．
本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第题关键在证明三角形全等，第题关键确定的位置．