浙教版七年级下册第四章 因式分解4.1 因式分解精品一课一练

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专题4.3 因式分解-十字相乘法与分组分解法（知识解读） 【学习目标】1.了解十字相乘法和分组分解法分解因式． 2. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解． 3.掌握因式分解分应用【知识点梳理】考点1：十字相乘法 1. x² p qx pq  （x+p ）（x+q ）2. 在二次三项式 ax2 bx c(a 0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a a1 a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下：                   按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2 bx c 的 一次项系数b ，即 a1c2 a2c1 b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与 a2 x c2 之积，即 ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 ) ．考点2：分组分解法 考点3：因式分解的应用 【典例分析】【考点1:十字相乘法】【典例1】（2021秋•江陵县期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2．所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2+5x﹣24＝　              　；（2）若x2+px+6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 　        　；（3）利用上面因式分解方法解方程：x2﹣4x﹣21＝0．【解答】解：（1）x2+5x﹣24＝x2+（﹣3+8）x+（﹣3）×8＝（x﹣3）（x+8），故答案为：（x﹣3）（x+8）；（2）∵6＝﹣3×（﹣2），6＝3×2，6＝﹣1×（﹣6），6＝1×6，∴p＝﹣3+（﹣2）＝﹣5，p＝3+2＝5，p＝﹣1+（﹣6）＝﹣7，p＝1+6＝7，∴若x2+px+6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是：±5，±7，故答案为：±5，±7；（3）x2﹣4x﹣21＝0，（x﹣7）（x+3）＝0，（x﹣7）＝0或（x+3）＝0，∴x1＝7，x2＝﹣3．【变式1-1】（2021春•肃州区校级期中）分解因式：（1）x2﹣10x+16；             （2）x2﹣2x﹣3．【解答】解：（1）x2﹣10x+16 ＝（x﹣8）（x﹣2）；（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）．【变式1-2】（2021秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）x2+7x+10＝　             　；（2）x2﹣2x﹣3＝　               　；（3）y2﹣7y+12＝　               　；（4）x2+7x﹣18＝　                    　．【解答】（1）x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；（3）y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）；（4）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）．故答案为：（1）（x+2）（x+5），（2）（x﹣3）（x+1），（3）（y﹣3）（y﹣4），（4）（x+9）（x﹣2）．【考点2: 分组分解法】【典例2】（2022春•新田县期中）先阅读材料：分解因式：a2b﹣3a2+2b﹣6．解：a2b﹣3a2+2b﹣6＝（a2b﹣3a2）+（2b﹣6）＝a2（b﹣3）+2（b﹣3）＝（b﹣3）（a2+2）以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：x2+3x﹣y2+3y．【解答】解：x2+3x﹣y2+3y＝x2﹣y2+（3x+3y）＝（x+y）（x﹣y）+3（x+y）＝（x+y）（x﹣y+3）．【变式2-1】（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．【解答】解：x2+4y﹣1﹣4y2．x2﹣（﹣4y+4y2+1）＝x2﹣（1﹣2y）2＝（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）．【变式2-2】（2022春•覃塘区期中）因式分解：m2+n2﹣2mn﹣1．【解答】解：m2+n2﹣2mn﹣1＝（m﹣n）2﹣1＝（m﹣n+1）（m﹣n﹣1）．【变式2-3】（2022春•西湖区校级期中）因式分解a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx．【解答】解：a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx＝（a2﹣2ay+y2）﹣（b2﹣2bx+x2）＝（a﹣y）2﹣（b﹣x）2＝（a﹣y+b﹣x）（a﹣y﹣b+x）．【考点3:因式分解应用】【典例3】（2022秋•灵宝市期末）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（　　）A．﹣6 B．6 C．﹣1 D．1【答案】A【解答】解：∵ab＝﹣3，a+b＝2，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×2＝﹣6，故选：A．【变式3-1】（2022秋•泗水县期末）若x+y＝3，xy＝5，则x2y+xy2的值为 　 　．【答案】15【解答】解：∵x+y＝3，xy＝5，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝3×5＝15．故答案为：15．【变式3-2】（2022秋•朔城区期末）已知x﹣y＝5，xy＝﹣3，则代数式x2y﹣xy2的值为 　  　．【答案】﹣15【解答】解：∵x﹣y＝5，xy＝﹣3，∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝﹣3×5＝﹣15．故答案为：﹣15．【变式3-3】（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知a+b＝﹣3，ab＝7，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（　　）A．24 B．18 C．﹣24 D．﹣18【答案】D【解答】解：∵a+b＝﹣3，ab＝7，∴a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b+ab2）﹣（a+b）＝ab（a+b）﹣（a+b）＝（ab﹣1）（a+b）＝（7﹣1）×（﹣3）＝﹣18，故选：D．【典例4】（2022秋•平城区校级期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪，制作成一个无盖的长方体盒子，其中四个小正方形的边长是n，中间长方形的长是3m，宽是m，且m＞n．（1）观察图形，通过计算长方形纸板的面积可以发现代数式3m2+8mn+4n2可以因式分解，请直接写出因式分解的结果：3m2+8mn+4n2＝　    　；（2）若折成的无盖长方体的四个侧面的面积和是16，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是40，试求m2+n2和（m﹣n）2的值．【解答】解：（1）观察图形，发现代数式：3m2+8mn+4n2＝（3m+2n）（m+2n）；故答案为：（3m+2n）（m+2n）；（2）∵无盖长方体的四个侧面的面积和是16，∴2（3mn+mn）＝16，即mn＝2，∵图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是40，∴2（m+2n）+2（3m+2n）＝8m+8n＝8（m+n）＝40，即m+n＝5，∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝52﹣2×2＝21，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝21﹣2×2＝17．【变式4-1】（2022秋•张店区校级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）若a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，利用（1）中的结论，则ab+ac+bc＝　　．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（a+2b）（2a+b）长方形，求x+y+z的值．【解答】解：（1）根据大正方形的面积（a+b+c）2等于各小图形面积的和，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）因为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，所以49＝23+2ab+2ac+2bc，所以ab+ac+bc＝13，故答案为：13．（3）根据题意，得x张边长为a的正方形的面积为xa2，y张边长为b的正方形的面积为yb2，z张边长分别为a、b的长方形的面积为zab，因为（a+2b）（2a+b）＝xa2+yb2+zab＝2a2+2b2+5ab，所以x＝2，y＝2，z＝5，【变式4-2】（2022春•福鼎市期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n，（以上长度单位：cm）（1）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解，请写出因式分解的结果：（2）若每块小长方形的面积为12cm2，四个正方形的面积和为80cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【解答】解：（1）由图形可知，2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）；（2）依题意得，2m2+2n2＝80，mn＝12，∴m2+n2＝40，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝40+24＝64，∴m+n＝8，∴图中所有裁剪线段之和为8×6＝48（cm）． 【变式4-3】（2022秋•鼓楼区校级期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）若a+b+c＝8，a2+b2+c2＝14，利用（1）中的结论，则ab+ac+bc＝　  　．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（a+2b）（2a+b）长方形，求x+y+z的值．【解答】解：（1）根据大正方形的面积（a+b+c）2等于各小图形面积的和，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）因为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝8，a2+b2+c2＝14，所以64＝14+2ab+2ac+2bc，所以ab+ac+bc＝25，故答案为：25．（3）根据题意，得x张边长为a的正方形的面积为xa2，y张边长为b的正方形的面积为yb2，z张边长分别为a、b的长方形的面积为zab，因为（a+2b）（2a+b）＝xa2+yb2+zab＝2a2+2b2+5ab，所以x＝2，y＝2，z＝5，所以x+y+z＝2+2+5＝9．