2023年湖南省永州市中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年湖南省永州市中考二模数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省永州市中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列各数是负数的是（    ）
A．2 B．0 C． D．
2．下列立体图形中，俯视图和左视图相同的是（    ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．新冠肺炎疫情期间，学校要求学生每天早晨测量体温，八年级二班第二小组7名同学某天的体温（单位：℃）记录如下：，，，，，，，则这组数据的中位数和众数分别是（    ）
A．， B．， C．， D．，
5．高速公路便捷了物流和出行，构建了我们更好的生活，交通运输部的数据显示，截止去年底，我国高速公路通车里程161000公里，稳居世界第一．161000这个数据用科学记数法可表示为（    ）
A． B． C． D．
6．下列命题正确的是（    ）
A．相等的两个角是对顶角 B．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 D．只有正方形的外角和等于
7．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得函数的解析式为（    ）
A． B． C． D．
8．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（    ）
A． B． C． D．
9．如图，菱形，点A，B，C，D均在坐标轴上，，点A的坐标为，点E是的中点，点P是上的一动点，则的最小值是（    ）

A．4 B． C． D．
10．如图，已知矩形的边长分别为6，4，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形的面积是（    ）
  
A． B． C． D．

二、填空题
11．计算：_______．
12．分解因式：x3﹣xy2=_____．
13．甲、乙、丙、丁四名同学参加垫排球测试，每人垫排球10次，他们的平均成绩恰好相同，方差分别是，，，，则这四名同学垫排球的成绩最稳定的是______．
14．如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是______．（只需写一种情况）

15．在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为______．
16．如图，在中，，，，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线与交于点D，则的长为______．
    
17．如图，边长为12的正方形的对角线交于点O，以为半径的扇形的圆心角，则图中阴影都分面积是______．

18．如图，若△ABC内一点P满足，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，，，P为△ABC的布罗卡尔点，若，则______．


三、解答题
19．计算：
20．解不等式组：并把解集表示在数轴上．

21．为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“国画”、B“古筝”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
  
(1)本次共调查了_____名学生，并将条形统计图补充完整；
(2)B组所对应的扇形圆心角为_____度；
(3)现选出了4名书法最好的学生，其中有1名男生和3名女生，要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到2名女生的概率．
22．如图，矩形的对角线、相交于点O，，．
  
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
23．今年的春节假期是文旅行业近三年来最火爆的一年，零陵作为湖南历史文化名城，由于其悠久的历史无疑成为最具吸引力的旅游城市之一．零陵古城某景点的A，B两种纪念品深受广大游客们的喜爱，经过了解发现，已知B种纪念品每个进价比A种纪念品的2倍少50元．采购相同数量的A，B两种纪念品，分别用了1200元和900元，请问A，B两种纪念品每个进价分别为多少元？
24．无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小聪利用无人机测量九嶷山国家森林公园中的某座山的高度，无人机在空中处，测得山的山顶处的俯角为，测得山山顶处的俯角为．已知山和山之间的距离为米，山的高度为米，从山的处测得山的处的仰角为（点、、、、在同一平面内）．

(1)求山的高度（结果保留根号）；
(2)求此时无人机距离地面的高度．
25．如图1，在正方形中，为对角线，点F，H分别在边上，，连结交于点E．

(1)求证：平分；
(2)如图2，过点A，H，F的圆交于点P，连结交于点K，求证：；
(3)在（2）的条件下，当点K是线段的中点时，求的值．
26．我们定义：若点P在一次函数图象上，点Q在反比例函数图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数为一次函数与反比例函数的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”．
(1)若二次函数是一次函数与反比例函数的“衍生函数”，则a＝______，b＝______，c＝______．
(2)若一次函数和反比例函数的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为2，求“靶点”的坐标；
(3)若一次函数和反比例函数的“衍生函数”经过点．
①试说明一次函数图象上存在两个不同的“基点”；
②设一次函数图象上两个不同的“基点”的横坐标为、，求的取值范围．

参考答案：
1．C
【分析】根据负数小于0求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴是负数，
故选：C．
【点睛】本题考查负数的定义，熟知负数小于0是解答的关键．
2．D
【分析】分别求出对应几何体的俯视图和左视图即可得到答案．
【详解】解：A、三棱柱的左视图是长方形，俯视图是三角形，俯视图和左视图不相同，不符合题意；
B、圆柱的左视图是长方形，俯视图是圆，俯视图和左视图不相同，不符合题意；
C、圆锥的左视图是三角形，俯视图是圆（带圆心），俯视图和左视图不相同，不符合题意；
D、球的左视图是圆，俯视图是圆，俯视图和左视图相同，符合题意；
故选D．
【点睛】此题考查了三视图的知识，解题的关键是根据俯视图和左视图的定义，发挥空间想象能力选出正确的选项．
3．D
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项计算判断即可．
【详解】解：A、，故A选项计算错误，不符合题意；
B、，故B选项计算错误，不符合题意；
C、，故C选项计算错误，不符合题意；
D、，故D选项计算正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则并正确判断是解答的关键．
4．B
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可．
【详解】解：将所给数据从小到大排列： ，，，，，，，
∵第4个数据为，
∴中位数为，
∵所给数据中，出现了3次，出现次数最多，
∴众数为，
故选：B．
【点睛】本题考查中位数和众数，理解众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，若数据是奇数个，则中位数是最中间的那个数，如果数据是偶数个，则中位数是最中间两个数的平均数，注意先进行排序．
5．B
【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．C
【分析】根据对顶角的定义即可判断A；根据平行四边形的判定定理即可判断B；根据三角形中位线定理即可判断C；根据多边形外角和定理即可判断D．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题错误，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题错误，不符合题意；
C、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，原命题正确，符合题意；
D、所有多边形的外角和都等于，原命题错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，平行四边形的判定，对顶角的定义，多边形外角和定理，三角形中位线定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
7．A
【分析】根据函数图象平移的规则：左加右减，上加下减求解即可．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得函数的解析式为，即，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象平移，熟知图象平移规则是解答的关键．
8．C
【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5，木长-绳长=1，据此可以列方程求解；
【详解】设绳子长x尺，木长y尺，
依题意可得：，
故选：C
【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列方程求解．
9．A
【分析】连接交于，连接、，根据菱形的性质和两点之间线段最短，当点P与重合时，取等号，即的最小值是的长，先由已知和勾股定理求得，证明求得，，，在中，利用勾股定理求得即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，，，
连接交于，连接、，则，当点P与重合时，取等号，即的最小值是的长，
∵点A的坐标为，
∴，则，
∴，
过E作于H，则，
∴，
∴，则，，
∴，
在中，，
即的最小值是4，
故选：A．
  
【点睛】本题考查菱形的性质、最短路径问题、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质，找到最小值所对应的线段长是解答的关键．
10．B
【分析】根据矩形和菱形的判定与性质，结合三角形的中位线性质得到每一次得到的四边形的面积与矩形的关系，进而得到变化规律即可．
【详解】解：连接，，，，
  
∵第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形，
∴，，，，，，
∴，
∴四边形是菱形，
∴；
∵第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，
∴，，
∴，
依次可得，，，
故答案为：B．
【点睛】本题考查图形类规律探究，涉及矩形和菱形的判定与性质，三角形的中位线性质，通过推导计算得到面积的变化规律是解答的关键．
11．
【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解.
【详解】2-=.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．
12．x（x+y）（x-y）
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y），
故答案为：x(x+y)(x-y)．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．丙
【分析】利用方差的意义可得答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴这四名同学垫排球的成绩最稳定的是丙，
故答案为：丙．
【点睛】本题考查了方差的意义，方差是反映一组数据波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
14．（答案不唯一）
【分析】由平行四边形的性质可得： 证明 再补充两个三角形中的一组相对应的边相等即可．
【详解】解： ，


所以补充：
△AEG≌△CFH，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利用ASA证明三角形全等”是解本题的关键．
15．
【分析】根据反比例函数的性质得到，再根据完全平方式求得k值即可求解．
【详解】解：∵在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，
∴，
∵整式是一个完全平方式，
∴，
∴，
∴该反比例函数的解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、完全平方式，熟知完全平方式的结构特征和反比例函数的性质是解答的关键．
16．
【分析】先根据作图痕迹判断出垂直平分，则，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：根据作图痕迹，垂直平分，则，
∵在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线、勾股定理，判断出垂直平分是解答的关键．
17．/
【分析】证明，经过观察易得出结论：阴影部分面积扇形面积正方形面积的，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，
∵扇形的圆心角，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵正方形边长为12，
∴，
∴
∴



，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等以及扇形面积的计算；掌握正方形的性质，熟练地进行三角形全等的判定，将不规则图形的面积转化为常见图形的面积是解题的关键．
18．
【分析】作CH⊥AB于H．首先证明，再证明△PAB∽△PBC，可得，即可求出PA、PC．
【详解】解：作CH⊥AB于H．

∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=90°，
∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=45°，∠CAB=∠CBA=45°，
∴BC=CH，
∴AB=2BH=2=，
∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，
∴∠PAB=∠PBC，
∴△PAB∽△PBC，
，
∵，
∴PA=，PC=，
∴PA+PC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．
19．11
【分析】先计算特殊角的三角函数值、绝对值和负整数指数幂，再加减运算即可求解．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查实数 的混合运算，涉及特殊角的三角函数值、绝对值和负整数指数幂、二次根式的加减，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
20．，数轴表示见解析
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出对应的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下：
  
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
21．(1)40，图见解析
(2)72
(3)

【分析】（1）先由A组的人数除以其所占的百分比可求得调查总人数，进而求得C组的人数，即可补全条形统计图；
（2）用乘以B组所占的比例即可求解；
（3）画树状图得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：调查总人数为（名），
故答案为：40；
C组人数为（名），
故补全条形统计图如图所示：
  
（2）解：B组所对应的扇形圆心角为，
故答案为：72；
（3）解：画树状图如图：
  
由图知，一共有12种等可能的结果，其中刚好抽到2名女生的有6种，
∴刚好抽到2名女生的概率为．
【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图的关联、用列表法或画树状图法求概率，准确理解题意，能从统计图中获取所需信息是解答的关键．
22．(1)见解析
(2)

【分析】（1）先根据矩形的性质证得，再证明四边形是平行四边形，利用菱形的判定可证得结论；
（2）根据菱形的性质和含30度的直角三角形的性质求得，，进而可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接交于H，
  
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，则，
∴，，
∴菱形的面积为．
【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键．
23．每个A种纪念品的进价为40元，每个B种纪念品的进价为30元
【分析】设每个A种纪念品的进价为x元，则每个B种纪念品的进价为元，利用数量＝总价÷单价，结合采购相同数量的A，B两种纪念品，分别用了1200元和900元，即可得出关于x的分式方程，求解即可．
【详解】解：设每个A种纪念品的进价为x元，则每个B种纪念品的进价为元，
依题意得： ，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：每个A种纪念品的进价为40元，每个B种纪念品的进价为30元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．(1)山的高度为米
(2)此时无人机距离地面的高度为米

【分析】（1）过点过作交于点，根据，根据矩形的判定和性质，得四边形是矩形，得，，再根据，即可；
（2）过作交于点，交于点，过点作交于点，根据矩形的判定，得四边形是矩形，设，则，，根据，求出，再根据，即可．
【详解】（1）如图所示，过作交于点，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，
∵，
∴（米），
∴（米）．
答：山的高度为米．

（2）由（1）得，（米），（米），
过作交于点，交于点，过作交于点，
∴，得四边形是矩形，
∴，，
∵无人机在空中处，测得山的山顶处的俯角为，
∴，
∴，  
设，
∴，，
∴，
∵，
∴（米），
∴（米），
∵，
∴（米）．
答：此时无人机距离地面的高度为米．

【点睛】本题考查解直角三角形的运用，解题的关键是掌握解直角三角形的运用，锐角三角函数的运用．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明得到，，进而得到即可；
（2）根据全等三角形的性质和圆内接四边形的外角性质得到，过K作于M，证明和，进而利用相似三角形的性质求解即可；
（3）根据相似三角形的性质得到，设，则，，，，，进而利用勾股定理求得，，再根据等腰三角形的性质得到，，，根据圆周角定理和相似三角形的判定与性质证得得到，求得，在中利用余弦定义求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴， ，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，
∵是圆内接四边形的一个外角，
∴，则，
过K作于M，则，，
∴，，
∴，，
∴；

（3）解：∵点K是线段的中点，
∴，
由（2）中，知，又，
故设，则，，，，
∴，
在中，，
在中，，
∵，平分，
∴，，，
∵过点A，H，F的圆交于点P，，
∴，
∴，  
∴，即，
解得，则，
在中，．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、圆内角四边形的外角性质、圆周角定理、锐角三角函数等知识，综合性强，难度较大，属于中考压轴题型，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造相似三角形是解答的关键．
26．(1)1，3，4；
(2)
(3)①证明见解析；②

【分析】（1）由定义直接求解即可；
（2）由题意先求出，则可求，再求P点关于y轴的对称点Q，将所求Q点代入反比例函数为，求出b的值即可求Q点坐标；
（3）①题意可知“衍生函数”为，将点代入可得，再由题意可求，设“靶点”，则，则，整理得，由，即可证明；②由①可知，，根据根与系数的关系可得，，则，再由，即可求．
【详解】（1）由定义可知，，
故答案为：1，3，4；
（2）由题意可知，“衍生函数”为，
∵顶点在x轴上，
∴，
∴反比例函数为，
∵“基点”P的横坐标为2，
∴，
∵点P与点Q关于y轴对称，
∴，
∵反比例函数为，
∴，
解得，
∴“靶点”的坐标；
（3）证明：①由题意可知“衍生函数”为，
∵经过点，
∴，即
∵，
∴，
∴，
设“靶点”，则，
∴，
整理得，
∴
整理可得，
∴方程有两个不同的实数根，
∴一次函数图象上存在两个不同的“基点”；
②解：由①可知，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数的图象及性质，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题与所求函数问题相结合是解题的关键．