初中数学北师大版八年级下册1 平行四边形的性质第2课时巩固练习

1　平行四边形的性质

第2课时

必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等．(　√　)

2．四边形具有平行四边形的所有性质．(　×　)

3．平行四边形对角线相等．(　×　)

4．沿平行四边形一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能互相重合．(　×　)

知识点1　平行四边形对角线的性质

1.如图，▱ABCD的对角线交于点O，已知△OCD的面积等于3，则▱ABCD的面积等于(B)

A．6    B．12    C．15    D．24

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∴S△BOC＝S△C OD＝3，

同理：S△C OD＝S△AOD＝S△AOB＝3，

∴S▱ABCD＝4S△C OD＝12.

2．(2021·深圳质检)如图，平行四边形ABCD的周长为80，△BOC的周长比△AOB的周长多20，则BC长为(D)

A．40    B．10    C．20　    D．30

【解析】∵△BOC的周长比△AOB的周长多20，

∴BC－AB＝20，①

∵平行四边形ABCD的周长为80，

∴BC＋AB＝40，②

由①＋②，可得2BC＝60，∴BC＝30.

3．(2021·北京质检)如图，▱ABCD的周长为36 cm，△ABC的周长为28 cm，则对角线AC的长为(C)

A．28 cm    B．18 cm　     C．10 cm    D．8 cm

【解析】∵▱ABCD的周长是36 cm，

∴AB＋BC＝18 cm，

∵△ABC的周长是28 cm，

∴AB＋BC＋AC＝28 cm，

∴AC＝(AB＋BC＋AC)－(AB＋BC)＝28－18＝10(cm).

4．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为__16__．

【解析】∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴点O为边BD的中点，

∴BO＝DO＝BD，即BD＝2OB，

∵点E是边AB的中点，∴AB＝2BE，BC＝2OE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，∴CD＝2BE.

∵△BEO的周长为8，∴OB＋OE＋BE＝8，

∴BD＋BC＋CD＝2OB＋2OE＋2BE＝2(OB＋OE＋BE)＝16，∴△BCD的周长是16.

5．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N在对角线AC上，且AM＝CN，求BM与DN的位置关系．

【解析】BM∥DN.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AM＝CN，

∴OM＝ON，

在△BOM和△DON中，

∴△BOM≌△DON(SAS)，∴∠OBM＝∠ODN，

∴BM∥DN.

知识点2　平行四边形性质的综合应用

6．如图，在▱ABCD中，下列说法一定正确的是(C)

A．AC＝BD     B．AC⊥BD

C．AO＝CO     D．AB＝BC

【解析】在▱ABCD中，由平行四边形的性质可得：AO＝CO.

7．平行四边形的一条边长为8，则它的两条对角线可以是(A)

A．6和12     B．6和10     C．6和8     D．6和6

【解析】如图，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，若BC＝8，

根据三角形三边关系可得：

|OB－OC|＜8＜OB＋OC.

A．6和12，则OB＋OC＝3＋6＝9＞8，OB－OC＝6－3＝3＜8，能组成三角形，故本选项符合题意；

B．6和10，则OB＋OC＝3＋5＝8，不能组成三角形，故本选项不符合题意；

C．6和8，则OB＋OC＝3＋4＝7＜8，不能组成三角形，故本选项不符合题意；

D．6和6，则OB＋OC＝3＋3＝6＜8，不能组成三角形，故本选项不符合题意．

8．如图，▱ABCD的对角线交于点O，过点O的直线EF交DC边于点E，交AB边于点F，已知▱ABCD的面积为32，则S△ADO＋S△CEO＋S△BFO＝__16__．

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AO＝CO，BO＝DO，

∴∠EDO＝∠FBO，∠ECO＝∠FAO，

在△DOE与△BOF中，，

∴△DOE≌△BOF(ASA)，

∴△DEO的面积＝△BFO的面积，

∴S△ADO＋S△CEO＋S△BFO＝S△ADC＝S平行四边形ABCD＝×32＝16.

9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.AC平分∠DAE.

(1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；

(2)求证：AE＝CF.

【解析】(1)∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，

∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，

∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC＝40°；

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，

∵∠AOE＝∠COF，

∴△AEO≌△CFO(AAS)，

∴AE＝CF.

10．(教材开发P139习题T3变式)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交DA，BC延长线于点E，F.求证：AE＝CF.

【证明】∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，

∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，

∵∠EOA＝∠FOC，

∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE＝CF.

关键能力·综合练

11．如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝6，BD＝10，AB＝4，则△OCD的周长为(C)

A．8     B．10     C．12     D．14

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝4，OA＝OC＝3，OB＝OD＝5，

∴△OCD的周长为3＋4＋5＝12.

12．如图，在▱ABCD中，AC＝4 cm，AB＝5 cm，则BD的取值范围是(D)

A．3 cm＜BD＜7 cm      B．1 cm＜BD＜9 cm

C．6 cm＜BD＜9 cm      D．6 cm＜BD＜14 cm

【解析】∵在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4 cm，AB＝5 cm，

∴OA＝AC＝2 cm，OB＝BD，

∴AB－OA＜OB＜AB＋OA，

∴3 cm＜OB＜7 cm，

∴6 cm＜BD＜14 cm.

13．(2021·成都质检)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长与△AOD的周长之和为20，两条对角线之和为12，则四边形ABCD的周长是(B)

A．8     B．16     C．20     D．30

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，BO＝DO，

∵△AOB的周长与△AOD的周长之和为20，两条对角线之和为12，

∴AB＋OB＋AO＋AO＋AD＋DO＝20，AC＋BD＝12，∴AB＋AD＝8，

∴四边形ABCD的周长为2×(AB＋AD)＝16.

14．如图，在▱ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10，BD＝6，则AD的长为__4__．

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，BD＝6，

∴OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝3，

∵∠ODA＝90°，

∴AD＝4.

15．如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD相交于点 O，点E是边AD的中点，

△BCD 的周长为 18，则△DEO 的周长是__9__．

【解析】∵点E为边AD的中点，四边形 ABCD 是平行四边形，∴DE＝AD＝BC，DO＝BD，

OE＝CD，

∵△BCD 的周长为 18，∴BD＋DC＋BC＝18，

∴△DEO 的周长是 DE＋OE＋DO＝(BC＋DC＋BD)＝×18＝9.

16．如图，在▱ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.5，则四边形BCEF的周长为__10__.

【解析】根据平行四边形的中心对称性得：OF＝OE＝1.5，

∵四边形ABCD是平行四边形；

∴AB∥CD，

∴∠DEO＝∠BFO，

∵∠DOE＝∠BOF，

∴△DEO ≌△BFO(ASA)，

∴DE＝BF，

∵▱ABCD的周长为(4＋3)×2＝14，

∴四边形BCEF的周长为×▱ABCD的周长＋3＝10.

17．(2021·济南期末)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交边AD，BC于点E，F，求证：DE＝BF.

【证明】∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴BO＝DO，AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，

∵∠EOD＝∠FOB，

∴△DOE≌△BOF(ASA)，∴DE＝BF.

18．如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF.求证：

(1)∠ECB＝∠FCG；

(2)△EBC≌△FGC.

【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠BCD，

由折叠可得，∠A＝∠ECG，

∴∠BCD＝∠ECG，

∴∠BCD－∠ECF＝∠ECG－∠ECF，

∴∠ECB＝∠FCG；

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠D＝∠B，AD＝BC，

由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，

∴∠B＝∠G，BC＝CG，

又∵∠ECB＝∠FCG，∴△EBC≌△FGC(ASA).

19．(素养提升题)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O任作一条直线分别交边AB，CD于点E，F.

(1)求证：OE＝OF；

(2)若CD＝6，AD＝5，OE＝2，求四边形AEFD的周长．

【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，OA＝OC，

∴∠EAO＝∠FCO，

在△AEO和△CFO中，，

∴△AEO≌△CFO(ASA)，∴OE＝OF；

(2)∵△OAE≌△OCF，∴CF＝AE，

∴DF＋AE＝CD＝6，

又∵EF＝2OE＝4，

∴四边形AEFD的周长为AD＋DF＋AE＋EF＝5＋6＋4＝15.

利用平行四边形的边角性质证明线段(或角)相等的一般方法步骤：

【案例】如图，已知在▱ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E.求证：AB＝BE.

【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，又∵F是BC边的中点，∴BF＝CF，

在△DCF和△EBF中，

∠C＝∠CBE，∠CDE＝∠E，BF＝CF

∴△CDF≌△BEF，∴DC＝BE，又DC＝AB，

∴AB＝BE.