初中数学北师大版八年级下册2 平行四边形的判定第1课时同步训练题

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2　平行四边形的判定第1课时 必备知识·基础练 (打“√”或“×”)1．一组对边平行的四边形是平行四边形．(　×　)2．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(　√　) 3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(　√　)4．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．(　×　)知识点1　由两组对边分别相等判定平行四边形1．如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°.嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：点A，C分别转到了C，A处，而点B转到了点D处．∵CB＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形． 小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形……”之间作补充，下列正确的是(B)A．嘉淇推理严谨，不必补充  B．应补充：且AB＝CDC．应补充：且AB∥CD   D．应补充：且OA＝OC【解析】∵CB＝AD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．2．如图，小津不慎将一块平行四边形玻璃打碎成四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是(D)A．①②     B．②④     C．③④     D．①③【解析】只有①③两块碎玻璃角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带①③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小. 3．(2021·长沙期末)如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是__两组对边分别相等的四边形是平行四边形__．【解析】根据尺规作图的画法可得，AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__AB∥CD(答案不唯一)__，使四边形ABCD是平行四边形(填一个即可).【解析】根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AB∥CD.5．如图，在△ABC中，AB≠AC，△ACD，△ABE，△BCF均为直线BC同侧的等边三角形，求证：四边形ADFE为平行四边形．【证明】∵△ABE，△BCF为等边三角形，∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，∴∠FBE＝∠CBA，在△FBE和△CBA中，，∴△FBE≌△CBA(SAS)，∴EF＝AC.又∵△ADC为等边三角形，∴CD＝AD＝AC，∴EF＝AD.同理可得AE＝DF，∴四边形ADFE是平行四边形. 知识点2　由一组对边平行且相等判定平行四边形6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是(A)A．AD＝BC     B．AB＝CD C．AD∥BC     D．∠A＝∠C【解析】A.当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形；B.AB∥CD，AB＝DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；C．AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形；D．∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠C＋∠D＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形．7．如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠ACB＝∠CAD.请你添加一个条件__AD＝BC(答案不唯一)__，使AB＝CD.(填一种情况即可)【解析】添加的条件：AD＝BC，理由是：∵∠ACB＝∠CAD，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD.8．(2021·岳阳中考)如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是____；(2)添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．【解析】(1)添加条件为：AE＝CF.答案：AE＝CF(2)∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形． 关键能力·综合练 9．(2021·北京期末)如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C)A．AB＝CD，AD＝BC    B．AB∥CD，AB＝CDC．AB＝CD，AD∥BC    D．AB∥CD，AD∥BC【解析】A.根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；C.不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D.根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意．10．如图，下面不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(C)A．AB∥CD，AB＝CDB．AB＝CD，AD＝BC　C．∠B＋∠DAB＝180°，AB＝CDD．∠B＝∠D，∠BCA＝∠DAC【解析】根据平行四边形的判定，A，B，D均符合是平行四边形的条件，C不能判定是平行四边形．11．在四边形ABCD中，AB∥CD，要使ABCD是平行四边形，需要补充的一个条件是(B)A．AD＝BC        B．AB＝CDC．∠DAB＝∠ABC　      D．∠ABC＝∠BCD【解析】∵AB∥CD，∴只要满足AB＝CD，可得四边形ABCD是平行四边形．12．(2021·太原期末)在四边形ABCD中，已知AB∥CD，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)A．AB＝CD       B．AD＝BC C．AD∥BC       D．∠A＋∠B＝180°【解析】根据平行四边形的判定，A，C，D均符合是平行四边形的条件，B则不能判定是平行四边形．13．一个四边形，对于下列条件：①一组对边平行，一组对角相等；②一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；③一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；④两组对角的平分线分别平行，不能判定为平行四边形的是(C)A．①     B．②     C．③     D．④【解析】根据平行四边形的判定，能满足是平行四边形条件的有：①，②，④，而③无法判定．14．(2021·盐城期末)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC＝6 cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C向B运动，则__2__秒后四边形ABQP为平行四边形．【解析】设运动x秒后四边形ABQP为平行四边形，∴AP＝x，QC＝2x，∵四边形ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ，∴x＝6－2x，∴x＝2.15．(2021·宁波期末)如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x－3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11－x.求证：四边形OPMN是平行四边形．【证明】在△MON中，OM＝4，ON＝3，MN＝5，∴OM2＋ON2＝MN2，∴△MON是直角三角形，∴∠MON＝∠PMO＝90°，因此，在Rt△POM中，OP＝x－3，OM＝4，MP＝11－x，由勾股定理可得，OM2＋MP2＝OP2，即42＋(11－x)2＝(x－3)2，解得：x＝8，∴OP＝x－3＝8－3＝5，MP＝11－x＝11－8＝3，∴OP＝MN，MP＝ON，∴四边形OPMN是平行四边形．16．(素养提升题)若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°.(1)如图(1)，点B是边DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；(2)如图(2)，若点G是边EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD.求证：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC.【解析】(1)四边形BEAC是平行四边形，理由如下：∵△AED为等腰三角形，∠EAD＝90°，点B是边DE的中点，∴AB＝BE＝BD，∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，∴BC∥AE，AC∥BE，∴四边形BEAC是平行四边形；(2)①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴△AEB≌△ADC(SAS)，∴EB＝DC；②延长FG至点H，使GH＝FG，∵点G是边EC的中点，∴EG＝CG，又∵∠EGH＝∠FGC，∴△EGH≌△CGF(SAS)，∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，∵CF＝CD，CD＝BE，∴EH＝BE，∴∠H＝∠EBG，∴∠EBG＝∠BFC.易错点　平行四边形判定中的动点分析不清致误【案例】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12 cm，BC＝15 cm，点P自点A向点D以1 cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向点B以2 cm/s的速度运动，到B点即停止，则当P，Q同时出发，设运动时间为t s.(1)当t为何值时，四边形APQB为平行四边形？(2)当t为何值时，四边形PDCQ为平行四边形？【解析】(1)根据题意有，AP＝t，CQ＝2t，PD＝12－t，BQ＝15－2t，∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，∴t＝15－2t，解得：t＝5，即当t＝5 s时，四边形APQB是平行四边形；(2)由AP＝t cm，CQ＝2t cm，∵AD＝12 cm，BC＝15 cm，∴PD＝AD－AP＝(12－t)cm，∵AD∥BC，即PD∥QC，当PD＝CQ时，四边形PDCQ为平行四边形，∴12－t＝2t，解得：t＝4，即当t＝4 s时，四边形PDCQ是平行四边形．