初中数学北师大版八年级下册2 平行四边形的判定第3课时精练

2　平行四边形的判定

第3课时

必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．两条平行线间的距离是指其中一条直线上的一点到另一条直线的垂线的长．(　×　)

2．两条平行线间的距离是指其中一条直线上的一点到另一条直线的垂线段的长．(　√　)

3．两平行线间的距离处处相等．(　√　)

4．两平行线间的所有线段都相等．(　×　)

知识点1　平行线之间的距离

1.(2021·沈阳期末)如图，直线a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，过点A作AC⊥b于点C，如果AB＝5 cm，BC＝3 cm，那么平行线a，b之间的距离为(B)

A．5 cm    B．4 cm    C．3 cm    D．不能确定

【解析】∵AC⊥b，∴△ABC是直角三角形，

∵AB＝5 cm，BC＝3 cm，

∴AC＝＝＝4(cm)，

∴平行线a，b之间的距离是4 cm.

2．如图，直线L1∥L2，△ABC的面积为10，则△DBC的面积(C)

A．大于10       B．小于10

C．等于10       D．不确定

【解析】∵L1∥L2，∴L1，L2之间的距离是固定的，∴△ABC和△DBC的BC边上的高相等，

∴△ABC和△DBC的面积相等，

∴△DBC的面积等于10.

3．如图，点P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则(C)

A．S1＋S2＞

B．S1＋S2＜

C．S1＋S2＝　

D．S1＋S2的大小与P点位置有关

【解析】过点P作EF⊥AD交AD于点E，交CB于点F，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠AEP＝∠CFP＝90°，

∴S＝BC·EF，S1＝，S2＝，

∵EF＝PE＋PF，AD＝BC，

∴S1＋S2＝.

4．如图，已知点E，F分别在长方形ABCD的边AB，CD上，且AF∥CE，AB＝3，AD＝5，那么AE与CF的距离是__5__．

【解析】长方形ABCD中，AB∥CD，

∵AF∥CE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE与CF的距离为AD的长度，

∵AD＝5，

∴AE与CF的距离是5.

知识点2　平行四边形的判定与性质的综合应用

5．(2021·上海期末)如图，已知四边形ABCD的面积为16 cm2，AB∥CD，AB＝CD，点E是边AB的中点，那么△AEC的面积是(A)

A．4 cm2       B．3 cm2

C．2 cm2　       D．1 cm2.

【解析】∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴S△ADC＝S△ABC＝×16＝8(cm2)，

∵点E是边AB的中点，

∴S△AEC＝S△ABC＝×8＝4(cm2).

6．(2021·长春期中)如图，在▱ABCD中，EG∥FH∥CD，则图中平行四边形有(D)

A．3个     B．4个     C．5个     D．6个

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，∵EG∥FH∥CD

∴四边形ABGE，四边形EGHF，四边形FHCD，四边形ABHF，四边形EGCD是平行四边形，

∴图中平行四边形有6个．

7．(教材开发P147随堂练习变式)已知：如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．

求证：BE＝DF.

【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC.

∵点E，F分别是边AD，BC的中点，

∴DE∥BF，DE＝BF，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∴BE＝DF.

8．(2021·本溪质检)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE.

(1)求证：AE＝BC；

(2)若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积．

【解析】 (1)∵AB∥CD，∠B＝45°，

∴∠C＋∠B＝180°，

∴∠C＝135°，

∵DE＝DA，AD⊥CD，

∴∠E＝45°，

∵∠E＋∠C＝180°，

∴AE∥BC，∵AB∥CD，

∴四边形ABCE是平行四边形，

∴AE＝BC.

(2)∵四边形ABCE是平行四边形，

∴AB＝CE＝3，

∴AD＝DE＝AB－CD＝2，

∴四边形ABCE的面积为3×2＝6.

关键能力·综合练

9．(2021·厦门模拟)如图，AD，CE是△ABC的高，过点A作AF∥BC，则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是(B)

A．AB    B．AD　    C．CE　    D．AC

【解析】表示图中两条平行线之间的距离的是AD.

10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD＝10 cm2，S△ACD为(A)

A．10　    B．9　　    C．8　    D．7

【解析】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，S△ABD＝10 cm2，

∴△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，∴S△ACD＝10 cm2.

11．如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB＝EF＝2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为(C)

A．2　     B．4　    C．5    D．10

【解析】∵直线a∥b，点A，B，C在直线a上，

∴点D到直线a的距离与点C到直线b的距离相等．

又∵AB＝EF＝2，

∴△CEF与△ABD是等底等高的两个三角形，

∴S△ABD＝S△CEF＝5.

12．(2021·合肥模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，AB＝1，AD＝2，那么AD，BC间的距离为__1__.

【解析】∵AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，

∴∠B＝∠C＝90°，

∴AB＝CD即为AD，BC间的距离，

∵AB＝1，

∴AD，BC间的距离为1.

13．如图，已知点B在线段CF上，AB∥CD，AD∥BC，则S△AEF与S△BCE的大小__相等__．

【解析】连接BD，

∵BC∥AD，

∴点F与点B到边AD的距离相等，

∴S△AFD＝S△ABD，

∴S△AFD－S△AED＝S△ABD－S△AED，

即S△AEF＝S△BED，

∵AB∥CD，

∴点D与点C到边AB的距离相等，

∴S△BCE＝S△BED，∴S△AEF＝S△BCE.

14．如图，如果点M，N分别是平行四边形ABCD的两条对边AB，CD上的中点，那么图中有__6__个平行四边形．

【解析】∵点M，N分别是平行四边形ABCD的两条对边AB，CD上的中点，∴AM＝BM＝DN＝CN，AB∥CD，AD∥BC，MN∥BC，∴四边形AMND、四边形BCNM、四边形AMCN、四边形BNDM、四边形MQNP是平行四边形，

∴图中有6个平行四边形．

15．如图，AB＝CD，E，F分别为AB，CD上的点，连接BC，分别与AF，ED相交于点G，H.∠B＝∠C，BH＝CG.

(1)求证：AG＝DH；

(2)求证：四边形AFDE是平行四边形．

【证明】(1)∵BH＝CG，

∴BH＋HG＝CG＋HG，

∴BG＝CH，

在△ABG与△DCH中，，

∴△ABG≌△DCH(SAS)，

∴AG＝DH；

(2)∵△ABG≌△DCH，

∴∠AGB＝∠DHC，∴AF∥DE，

∵∠B＝∠C，∴AB∥CD，

∴四边形AFDE是平行四边形．

16．如图，直线l1∥l2，AB∥CD，BC＝2CF.若△CEF的面积是5，求四边形ABCD的面积．

【解析】∵l1∥l2，BC＝2CF.

∴设CF＝x，l1与l2之间的距离为h，则BC＝2x，

∵△CEF的面积为5，

∴CF·h＝5，即xh＝5，解得xh＝10，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴S四边形ABCD＝BC·h＝2xh＝2×10＝20.

17．(素养提升题)如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，点D是边BC的中点，CE＝BE，CE∥AD

(1)求证：DE＝AC；

(2)连接AE，若AC＝2，BC＝6，求△AEB的周长．

【解析】(1)∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，

∵DE⊥BC，∴AC∥DE，

∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形，

∴DE＝AC；

(2)∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝6，

∴AB＝＝＝2，

过点E作EF⊥AC的延长线于点F，

∴CF＝DE＝AC＝2，EF＝CD＝BC＝3，

∴AE＝＝＝5，

∵BE＝＝＝，

∴△AEB的周长为AB＋BE＋AE＝2＋＋5.

易错点　判断平行四边形的个数时漏解

【案例】如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为边AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有__4__个平行四边形．

【解析】∵在▱ABCD中，点E，F分别为边AB，DC的中点，∴DF＝CF＝AE＝EB，AB∥CD，

∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上▱ABCD本身，共有4个平行四边形．