第6章 阶段专项提分练-平行四边形的性质与判定 课时作业(含答案)

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　平行四边形的性质与判定 与平行四边形判定有关的证明【典例1】如图，点E，F在▱ABCD的边BC，AD上，BE＝BC，FD＝AD，连接BF，DE.求证：四边形BEDF是平行四边形．【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝BC，FD＝AD，∴BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形．【变式1】(2021·广州期中)在四边形ABCD中，∠A和∠B互补，∠A＝∠C，那么四边形ABCD是平行四边形吗？试说明理由．【解析】四边形ABCD是平行四边形，理由：∵∠A＋∠B＝180°，∴AD∥BC，∵∠A＝∠C，∴∠B＋∠C＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若∠BAD＝∠CAD，求证：四边形AEDF是平行四边形．【证明】∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∵点E，F分别是边AB，AC的中点，∴DE＝AC＝AF，DF＝AB＝AE，∴四边形AEDF是平行四边形．【变式3】(2021·重庆期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点O是对角线BD的中点．点E，F在对角线AC上，连接DE，BF，DE∥BF，AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．【证明】∵DE∥BF，∴∠EDO＝∠FBO，∵点O是对角线BD的中点，∴OD＝OB，在△DEO与△BFO中∴△DEO≌△BFO(ASA)，∴OE＝OF，∵AE＝CF，∴OA＝OC，∵OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．与平行四边形性质有关的计算【典例2】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，过点A作AE⊥BC于点E，点F是边AB的中点，连接DF，EF.若∠EFD＝90°，则AE的长为(B)A．2    B．    C．    D．【解析】如图，延长EF交DA的延长线于点Q，连接DE，设BE＝x.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF，∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，∴△QFA≌△EFB(AAS)，∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE，∴DQ＝DE＝x＋2，∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°，∵AE2＝DE2－AD2＝AB2－BE2，∴(x＋2)2－4＝6－x2，整理得：2x2＋4x－6＝0，解得x＝1或－3(舍去)，∴BE＝1，∴AE＝＝＝.【变式1】如图，在▱ABCD中，已知AD＝9 cm，AB＝5 cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，求CE的长度．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD交BC边于点E，∴∠BAE＝∠BEA，∴BE＝AB＝5 cm，∵BC＝AD＝9 cm，∴CE＝9－5＝4 cm.【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为(D)A．40°     B．50°     C．60°     D．70°【解析】∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，∴∠C＝(180°－40°)÷2＝70°，∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E＝70°.【变式3】(2021·沈阳一模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F.(1)求证：AE＝CF；(2)若∠AOE＝74°，∠EAD＝3∠CAE，直接写出∠BCA的度数．【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴AE＝CF.(2)∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝74°，∴∠EAO＝90°－∠AOE＝16°，∵∠EAD＝3∠CAE，∴∠EAD＝3×16°＝48°，∴∠DAC＝∠DAE－∠EAO＝48°－16°＝32°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCA＝∠DAC＝32°.平行四边形性质与判定的综合应用【典例3】(2021·深圳期中)如图，平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CM∥AN，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴四边形CMAN是平行四边形；(2)∵四边形AMCN是平行四边形，∴CM＝AN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF，在△MDE和△NBF中，∴△MDE≌△NBF(AAS)，∴DE＝BF＝4，在Rt△BFN中，由勾股定理得：BN＝＝＝5.【变式1】(2021·重庆期中)如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，交BD于点E，F，连接AF，CE.(1)若∠BCF＝65°，求∠ABC的度数；(2)求证：四边形AECF是平行四边形．【解析】(1)∵CF平分∠BCD，∴∠BCD＝2∠BCF＝65°×2＝130°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC＝180°－∠BCD＝180°－130°＝50°；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠DCB，∴∠BAE＝∠DCF，∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴∠AEB＝∠CFD，AE＝CF，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式2】如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交边AB于点F，连接AD，CF.(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；(2)若AF＝2BF，四边形AFCD的面积为S1，四边形FBCE的面积为S2，求S1∶S2.【解析】(1)如图，∵CD∥AB，∴∠FAC＝∠DCA，∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE，又∵∠AEF＝∠CED，∴△AEF≌△CED(ASA)，∴AF＝CD，又∵AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；(2)设BF＝a，则AF＝2BF＝2a，如图，过点C作CG⊥AB于点G，设CG＝h，∴S△ACF＝·AF·CG＝·2a·h＝ah，S△BCF＝·BF·CG＝·a·h＝ah，∴S1＝2S△ACF＝2ah，S△ECF＝S1＝ah，∴S2＝S△ECF＋S△BCF＝ah，∴S1∶S2＝2ah∶ah＝2∶1.