初中数学北师大版八年级下册第六章 平行四边形4 多边形的内角与外角和课时练习

4　多边形的内角和与外角和

(打“√”或“×”)

1.过七边形一个顶点可以作4条对角线. (√)

2.边数越多,多边形的外角和越大.   (×)

3.六边形的内角和等于720°.    (√)

4.多边形的内角中最多只有3个锐角.  (√)

·知识点1　多边形的对角线

1.(2021·福州平潭县期末)过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了7个三角形,则这个多边形的边数是              (B)

A.8  B.9  C.10  D.11

2.(2021·福州鼓楼期末)从十边形的一个顶点出发分别连接这个顶点与其它的顶点,可把这个多边形分成　　　　个三角形.(B) 

A.7  B.8  C.9  D.10

3.过m边形的一个顶点有9条对角线,n边形没有对角线,则mn的值为　36　. 

·知识点2　多边形内角和外角

4.正多边形的一个内角是120°,则这个正多边形的边数为 (C)

A.4  B.8  C.6  D.12

5.如果一个多边形的每一个外角都是30°,那么这个多边形的边数是 (A)

A.12 B.13 C.14 D.15

6.若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍,则经过这个多边形的一个顶点最多可以画对角线的条数是              (D)

A.8条  B.7条  C.6条  D.5条

7.一个多边形的内角和等于540°,则它的边数为 (B)

A.4  B.5  C.6  D.8

8.(2021·南平建阳期末)一个多边形的内角和与外角和的度数总和为1 260°,多边形的边数是　7　. 

9.(2021·龙岩永定期末)四边形ABCD的内角∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶4∶3,则∠D=　90°　. 

10.已知两个多边形的内角和为1 800°,且这两个多边形的边数之比为2∶5,则这两个多边形的边数之和为　14　. 

11.(2021·三明清流县期末)如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°,点E在AB上,连接CE,DE.

(1)若∠1=35°,∠2=25°,则∠CED=　　　　°; 

(2)若∠1=∠2,求证:∠3+∠4=90°.

【解析】见全解全析

1.(2020·福州台江期末)四边形的内角和与外角和的数量关系,正确的是 (D)

A.内角和比外角和大180° B.外角和比内角和大180°

C.内角和比外角和大360° D.内角和与外角和相等

2.(2021·龙岩新罗期末)一个多边形截去一个角后,形成的另一个多边形的内角和是1 260°,则原多边形的边数为　8或9或10　. 

3.(2021·宁德蕉城期末)如图,五边形ABCDE中,∠A=125°,则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是　305°　. 

4.(2021·三明大田县期末)如图,在五边形ABCDE中,∠EDC与∠BCD的平分线交于点P,∠A+∠B+∠E=280°,则∠P的度数是　50°　. 

5.(2021·三明尤溪县期末)如图,在四边形ABCD中,∠B=110°,直线AE,CF相交于点M,∠M=50°,若AD,CD恰好分别平分∠BAE,∠BCF,则∠D的度数为　100°　. 

6.[探究]如图1,△ABC和△DBE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠DBE=90°,连接AD,CE.

(1)求证:△ABD≌△CBE;

(2)判断直线AD和CE的位置关系,并说明理由.

[引申]如图2,若△ABC和△DBE都是等边三角形,连接AD,CE.此时,△ABD和△CBE是否全等?

　　　　(填“是”“否”或“无法确定”).直线AD和CE相交所成的锐角为　　　°. 

[拓展]如图3,正五边形ABCDE和BFGHS(提示:正五边形五条边都相等,五个内角都是108°),连接AS,CF,直接写出直线AS和CF相交,所成的锐角为　　　　°. 

【解析】∵△ABC和△DBE都是等腰直角三角形,∴AB=BC,BD=BE.

∵∠ABC=∠DBE=90°,

∴∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠CBD,

∴∠ABD=∠CBE.

在△ABD和△CBE中,

∴△ABD≌△CBE(SAS);

(2)见全解全析

4　多边形的内角和与外角和

必备知识·基础练

【易错诊断】

1.√　2.×　3.√　4.√

【对点达标】

1.B　n-2=7.

解得:n=9.所以这个多边形的边数是9.

2.B　从十边形的一个顶点出发分别连接这个顶点与其它的顶点,可把这个多边形分成的三角形的个数为:10-2=8(个).

3.【解析】∵过m边形的一个顶点有9条对角线,

∴m=12,

∵n边形没有对角线,∴n=3,∴mn=36.

答案:36

4.C　设所求正n边形边数为n,

则120°n=(n-2)·180°,

解得n=6.

5.A　多边形的边数是:360°÷30°=12.

6.D　设这个多边形有n条边,由题意得:

(n-2)×180°=360°×3,解得n=8.

从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是8-3=5.

7.B　设这个多边形的边数为n,

∴(n-2)·180°=540°,∴n=5.

8.【解析】设多边形的边数是n,由题意得,

(n-2)×180°+360°=1 260°,解得n=7.

答案:7

9.【解析】设∠A=2x°,则∠B=3x°,∠C=4x°,∠D=3x°,

则有2x+3x+4x+3x=360,

所以x=30.

∴∠D=3×30°=90°.

答案:90°

10.【解析】设两个多边形的边数分别是2x和5x,

则(2x-2)·180+(5x-2)·180=1 800,

解得x=2.

则两个多边形的边数分别为4和10.

边数之和为:4+10=14.

答案:14

11.【解析】(1)∵∠1=35°,∠2=25°,∠B=90°,

∴∠BEC=180°-∠B-∠2=180°-90°-25°=65°,

∠CED=180°-∠1-∠CEB=180°-35°-65°=80°;

答案:80

(2)∵∠1=∠2,

∵∠B=90°,

∴∠2+∠BEC=90°,

∴∠1+∠BEC=90°,

∴∠CDE=180°-90°=90°,

∴∠3+∠4=180°-∠CDE=180°-90°=90°.

关键能力·综合练

1.D　A.四边形的内角和与外角和相等,都等于360°,故本选项表述错误;

B.四边形的内角和与外角和相等,都等于360°,故本选项表述错误;

C.四边形的内角和与外角和相等,都等于360°,故本选项表述错误;

D.四边形的内角和与外角和相等,都等于360°,故本选项表述正确.

2.【解析】设截去一个角后,多边形的边数为n,

由题意得(n-2)×180°=1 260°,

解得n=9.

因为多边形截去一角后边数可能不变,可能增加1,可能减小1,

∴原多边形的边数可能为8或9或10.

答案:8或9或10

3.【解析】如图,

∵∠BAE=125°,

∴∠5=180°-∠BAE=55°.

∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,

∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-55°=305°.

答案:305°

4.【解析】∵在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=280°,

∴∠EDC+∠BCD=(5-2)·180°-280°=260°.

又∵DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,

∴∠PDC+∠PCD=130°.

∴△CDP中,∠P=180°-(∠PDC+∠PCD)=180°-130°=50°.

答案:50°

5.【解析】如图,

由三角形的外角性质,得

∠ABC=∠M+∠BAM+∠BCM,

∴∠BAM+∠BCM=∠ABC-∠M=110°-50°=60°.

由邻补角的性质,得

∠BAE=180°-∠BAM,∠BCF=180°-∠BCM,

由等式的性质,得∠BAE+∠BCF=360°-(∠BAM+∠BCM)=300°.

由角平分线的性质,得

∠1+∠2=(∠BAE+∠BCF)=150°,

由四边形的内角和,得

∠D=360°-∠1-∠2-∠ABC=360°-150°-110°=100°.

答案:100°

6.【解析】(1)∵△ABC和△DBE都是等腰直角三角形,

∴AB=BC,BD=BE.

∵∠ABC=∠DBE=90°,

∴∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠CBD,

∴∠ABD=∠CBE.

在△ABD和△CBE中,

∴△ABD≌△CBE(SAS);

(2)AD⊥CE.

如图1,延长AD交BC于F,交CE于H,

∵△ABD≌△CBE,

∴AD=CE,∠BAD=∠BCE.

∵∠ABC=90°,

∴∠BAD+∠AFB=90°,

∴∠BCE+∠AFB=90°.

∵∠CFH=∠AFB,

∴∠BCE+∠CFH=90°,

∴∠FHC=90°.

∴AD⊥CE;

[引申]△ABD和△CBE是全等.

证明:如图2,

∵△ABC和△DBE都是等边三角形,

∴AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=60°,

∴∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠CBD,

∴∠ABD=∠CBE.

在△ABD和△CBE中,

∴△ABD≌△CBE(SAS);

如图2,延长AD交BC于M,交CE于N,

∵△ABD≌△CBE,

∴∠BAD=∠BCE.

∵△ABC和△DBE都是等边三角形,

∴∠ABC=60°,

∴∠BMN=60°+∠BAD,

∵∠BMN=∠MNC+∠BCE.

∵∠BAD=∠BCE,

∴∠MNC=60°,

即直线AD和CE相交所成的锐角为60°;

答案:是　60

[拓展]如图3,延长AS交BC于O,交CF于P,

∵正五边形ABCDE和BFGHS,

∴AB=BC,BS=BF,∠ABC=∠SBF=108°,

∴∠ABC-∠SBC=∠SBF-∠SBC,

∴∠ABS=∠CBF.

在△ABS和△CBF中,

∴△ABS≌△CBF(SAS);

∴∠BAS=∠BCF.

∵∠BOP=∠ABC+∠BAS=108°+∠BAS,

又∵∠BOP=∠OPC+∠BCF.

∴∠OPC=∠ABC=108°,

即直线AS和CF相交所成的钝角为108°,

∴直线AS和CF相交所成的锐角为72°.

答案:72