北师大版八年级下册4 多边形的内角与外角和一课一练

第六章　平行四边形

4　多边形的内角和与外角和

基础过关全练

知识点1　多边形的内角和定理　　　　　　　　　　　　　　　

1.(2020北京顺义二模)如图,四边形ABCD中,过点A的直线l将该四边形分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为α和β,则α+β=              (　　)

A.360°　　　　　B.540°　　　　　C.720°　　　　　D.900°

2.【新独家原创】嘉嘉买了一副新眼镜,镜片的形状是八边形,八边形的内角和是　　　　. 

3.【教材变式·P155T1变式】通过画出多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题,如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有9条,那么该多边形的内角和是　　　　度. 

4.【一题多解】若一个多边形的边数增加1,其内角和变为1 440°,求原多边形的边数.

知识点2　正多边形的内角

5.(2020贵州遵义期末)如图,点D、A、B、C是正十边形依次相邻的顶点,分别连接AC、BD相交于点P,则∠DPC=　　　　度. 

6.(2022江苏连云港二模)如图,正八边形ABCDEFGH中,延长对角线BF与边DE的延长线交于点M,则∠M=　　　　°. 

7.(2022河北邯郸二模)如图,在正六边形ABCDEF的内部作正五边形DEMGH.

(1)∠CDH=　　　　°; 

(2)连接EG并延长,交AB于点N,则∠ANE=　　　　°. 

知识点3　多边形的外角和

8.(2022河北石家庄二模)如图,∠1=∠2=∠3=∠4=62°,分别作∠DEF和∠EFA的平分线,并交于点P,则∠P的度数是              (　　)

A.55°　　　　　B.56°　　　　　C.57°　　　　　D.60°

9.如图,BE、DF分别平分四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC,若∠BAD=α,∠BCD=β.

(1)试说明:∠MBC+∠NDC的度数与α,β的数量关系;

(2)如图1,若BE与DF相交于点G,∠BGD=30°,请写出α、β所满足的等量关系;

(3)如图2,若α=β,判断BE和DF的位置关系,并说明理由.

图1图2

能力提升全练

10.(2022山东烟台中考,5,)一个正多边形每个内角与每个外角的度数比为3∶1,则这个正多边形是              (　　)

A.正方形　　　　　　B.正六边形

C.正八边形　　　　　　D.正十边形

11.(2022四川南充中考,5,)如图,在正五边形ABCDE中,以AB为边向内作正△ABF,则下列结论错误的是              (　　)

A.AE=AF　　　　　　B.∠EAF=∠CBF

C.∠F=∠EAF　　　　　　D.∠C=∠E

12.(2021河北保定竞秀一模,8,)嘉淇用一些完全相同的△ABC纸片拼接图案,已知用六个△ABC纸片按如图1所示的方法拼接,可得外轮廓是正六边形图案,若用n个△ABC纸片按如图2所示的方法拼接,那么可以得到外轮廓的图案是              (　　)

图1图2

A.正七边形　　　　　　B.正八边形　　　　　

C.正九边形　　　　　　D.正十边形

13.(2022广东深圳公明中学期中,12,)如果一个多边形的每一个内角都是144°,那么这个多边形是　　　边形. 

素养探究全练

14.【运算能力】(2022安徽合肥瑶海期末)在多边形中若各个内角度数之比是连续正整数,那么我们称这个多边形为“特质多边形”,例如度数之比为1∶2∶3的三角形就叫做“特质三角形”,1、2、3就是这个三角形的“特质数”.如果一个“特质三角形”有一个内角的度数是50°,那么这个三角形的“特质数”是　　　　. 

答案全解全析

基础过关全练

1.B　如图,设直线l与CD交于点E.

∵四边形ABCE的内角和为(4-2)×180°=360°,

三角形ADE的内角和为180°,

∴α+β=360°+180°=540°.故选B.

2.答案　1 080°

解析　八边形的内角和为(8-2)×180°=1 080°.

3.答案　1 800

解析　设这个多边形的边数为n,∵多边形的一个顶点出发的对角线共有9条,∴n-3=9,∴n=12,

∴该多边形的边数是12,

∴该多边形的内角和=(12-2)×180°=1 800°,

故答案是1 800.

4.解析　解法一:设原多边形的边数为n,则原多边形的边数增加1后的多边形的边数为n+1,则(n+1-2)×180°=1 440°,解得n=9.

故原多边形的边数为9.

解法二:∵多边形边数每增加1,其内角和就增加180°,∴原多边形的内角和为1 440°-180°=1 260°,

设原多边形的边数为n,则(n-2)×180°=1 260°,解得n=9.故原多边形的边数为9.

5.答案　144

解析　∵∠DAB和∠ABC是正十边形的内角,

∴∠DAB=∠ABC==144°,DA=AB=BC,

∴∠ABD===18°,

∠BCA===18°,

∴∠PBC=∠ABC-∠ABD=144°-18°=126°,

∴∠DPC=∠PBC+∠PCB=126°+18°=144°,

故答案为144.

6.答案　22.5

解析　∵八边形ABCDEFGH是正八边形,

∴∠EFG=∠DEF=(8-2)×180°÷8=135°,∴∠FEM=45°,

∵八边形ABCDEFGH是正八边形,∴FB平分∠EFG,

∴∠EFB=∠BFG=∠EFG=67.5°,

∵∠BFE=∠FEM+∠M,

∴∠M=∠BFE-∠FEM=67.5°-45°=22.5°,

故答案为22.5.

7.答案　(1)12　(2)72

解析　(1)∵六边形ABCDEF是正六边形,

∴∠A=∠F=∠CDE==120°,

∵五边形DEMGH是正五边形,

∴∠GME=∠HDE==108°,

∴∠CDH=∠CDE-∠HDE=12°.

(2)∵MG=ME,∠GME=108°,

∴∠MEG=∠MGE=36°,

由(1)的方法可得∠FEM=12°,

∴∠FEN=48°,

∴在四边形ANEF中,∠ANE=360°-∠A-∠F-∠FEN=72°.

8.B　∵∠1=∠2=∠3=∠4=62°,多边形的外角和为360°,

∴∠5+∠6=360°-62°×4=112°,

∴∠DEF+∠AFE=248°,

∵EP,FP分别平分∠DEF和∠AFE,

∴∠FEP=∠DEF,∠EFP=∠AFE,

∴∠FEP+∠EFP=(∠DEF+∠AFE)=124°,

∴∠P=180°-124°=56°.

故选B.

9.解析　(1)由四边形内角和得,∠ABC+∠ADC=360°-(α+β),

∴∠MBC+∠NDC

=(180°-∠ABC)+(180°-∠ADC)

=360°-(∠ABC+∠ADC)

=360°-360°+α+β

=α+β.

(2)如图,连接BD,

由(1)得,∠MBC+∠NDC=α+β,

∵BE、DF分别平分∠MBC和∠NDC,

∴∠CBG=∠MBC,∠CDG=∠NDC,

∴∠CBG+∠CDG=∠MBC+∠NDC=(∠MBC+∠NDC)=(α+β),

在△BCD中,∠BDC+∠CBD=180°-∠BCD=180°-β,

在△BDG中,∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°,

∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°,

∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CBD)+∠BGD=180°,∴(α+β)+180°-β+30°=180°,

∴β-α=60°.

(3)BE∥DF.

理由:如图,延长BC交DF于H,由(1)得,∠MBC+∠NDC=α+β,∵BE、DF分别平分∠MBC和∠NDC,

∴∠CBE=∠MBC,∠CDH=∠NDC,

∴∠CBE+∠CDH=∠MBC+∠NDC=(∠MBC+∠NDC)=(α+β),

∵∠BCD=∠CDH+∠DHB,

∴∠CDH=∠BCD-∠DHB=β-∠DHB,

∴∠CBE+β-∠DHB=(α+β),

∵α=β,∴∠CBE+β-∠DHB=(β+β)=β,∴∠CBE=∠DHB,∴BE∥DF.

能力提升全练

10.C　设这个正多边形的每个内角的度数是3x°,则每个外角的度数是x°,

根据题意得x+3x=180,解得x=45,

360°÷45°=8,故选C.

11.C　∵五边形ABCDE是正五边形,

∴AE=AB,∠C=∠E=∠EAB=∠ABC==108°,故D选项结论正确;

∵△ABF是正三角形,

∴∠FAB=∠FBA=∠F=60°,AB=AF=FB,

∴∠EAF=∠EAB-∠FAB=108°-60°=48°,∠CBF=∠ABC-∠FBA=108°-60°=48°,

∴∠EAF=∠CBF,故B选项结论正确;

∵AB=AE,AB=AF=FB,

∴AE=AF,故A选项结论正确;

∵∠F=60°,∠EAF=48°,

∴∠F≠∠EAF,故C选项结论错误,

故选C.

12.C　正六边形的内角和为(6-2)×180°=720°,所以每个内角的度数为720°÷6=120°,

所以∠ACB=120°-80°=40°,所以∠BAC=180°-40°-80°=60°.

所以用n个△ABC纸片按题图2的方法拼接得到外轮廓图案的每个外角度数为180°-60°-80°=40°,

因为=9,所以得到外轮廓的图案是正九边形.

故选C.

13.答案　十

解析　∵一个多边形的每个内角都是144°,

∴这个多边形的每个外角都是180°-144°=36°,

∴这个多边形的边数=360°÷36°=10.

故答案为十.

素养探究全练

14.答案　5、6、7

解析　设“特质数”中最小的一个是n,则另两个依次是n+1、n+2,

①当50°角是最小角时,由题意得,

×180°=50°,

解得n=5,

则n+1=6,n+2=7;

②当50°角是中间度数的角时,由题意得,

×180°=50°,

此时无解;

③因为三角形内角和是180°,所以50°角不会是三个角中最大的角.

故答案为5、6、7.