初中数学北师大版八年级下册4 多边形的内角与外角和当堂达标检测题

4　多边形的内角和与外角和

必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以列出8条对角线，则它是十一边形．(　√　)

2．每条边都相等的多边形是正多边形．(　×　)

3．多边形的外角和都等于360°.(　√　)

4．每个角都相等的多边形是正多边形．(　×　)

知识点1　多边形的内角和

1．若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为(B)

A．4　    B．5    C．6　    D．7

【解析】设多边形的边数是n，则(n－2)·180°＝540°，解得n＝5.

2．六边形的内角和为(C)

A．360°     B．540°     C．720°    D．1 080°

【解析】根据多边形的内角和可得：(6－2)×180°＝720°.

3．多边形的内角和不可能为(D)

A．180°     B．540°     C．1 080°     D．1 200°

【解析】因为在这四个选项中不是180°的倍数的只有1 200°.

4．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是__30__°.

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠α＝180°－(540°－70°－140°－180°)＝30°.

5．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是__144°__．

【解析】因为五边形ABCDE是正五边形，所以∠C＝＝108°，BC＝DC，所以∠BDC＝＝36°，所以∠BDM＝180°－36°＝144°

知识点2　多边形的外角和

6．正五边形的外角和为(B)

A．180°     B．360°     C．540°     D．720°

【解析】任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°.

7．正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为(B)

A．5　    B．6　     C．7　    D．8

【解析】设所求正n边形边数为n，则60°·n＝360°，解得n＝6.故正多边形的边数是6.

8.如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为(B)

A．100米     B．80米     C．60米     D．40米

【解析】∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，

∴边数n＝360°÷45°＝8，

∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80(m).

9．游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是(A)

A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走

B．每段直路要短

C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走

D．每段直路要长

【解析】∵从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，

∴＝72°，∴每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走．

10．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是__6__．

【解析】设这个多边形的边数为n，依题意，得：(n－2)·180°＝2×360°，解得n＝6.

11．若一个多边形的外角和比它的内角和的少90°，求多边形的边数．

【解析】设这个多边形是n边形，

(n－2)×180°×－90°＝360°，

解得n＝12，

答：这个多边形的边数是12.

　　　　　　　　　　 关键能力·综合练

12．一个多边形的内角和是1 080°，则这个多边形的边数是(B)

A．9　    B．8　     C．7　    D．6

【解析】设所求正n边形边数为n，则1 080°＝(n－2)·180°，解得n＝8.

13．一个多边形的内角和是外角和的4倍，这个多边形的边数是(C)

A．8    B．9    C．10    D．11

【解析】设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为(n－2)×180°，

依题意得：(n－2)×180°＝360°×4，

解得：n＝10，

∴这个多边形的边数是10.

14．(2021·咸宁质检)若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为(C)

A．45°     B．60°     C．72°     D．90°

【解析】∵正多边形的内角和是540°，∴多边形的边数为540°÷180°＋2＝5，

∵多边形的外角和都是360°，∴多边形的每个外角＝360°÷5＝72°.

15．如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可能是(C)

A．360°    B．540°    C．630°    D．720°

【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180°整除，分析四个答案，只有630°不能被180°整除，所以a＋b不可能是630°.

16．已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于__12__．

【解析】∵一个n边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°，∴n＝360°÷30°＝12.

17．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝__30__度．

【解析】正六边形的每个内角的度数为：

＝120°，所以∠ABC＝120°－90°＝30°.

18．已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为__1__260°__．

【解析】正n边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得＝40°，

解得n＝9.

(9－2)×180°＝1 260°，即这个正多边形的内角和为1 260°.

19．正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝__12__．

【解析】正六边形的一个内角为：＝120°，

∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，

∴正n边形一个外角为：120°÷4＝30°，

∴n＝360°÷30°＝12.

20．(2021·娄底质检)一个多边形的内角和与外角和的度数总和为1 260°，求多边形的边数．

【解析】设多边形的边数是n，由题意得，

(n－2)×180°＋360°＝1 260°，

解得：n＝7.

答：多边形的边数为7.

21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点E处，若∠EBC＝20°，求∠EBD的度数．

【解析】∵∠EBC＝20°，DC⊥BC，

∴∠BEC＝70°，∴∠DEB＝110°，

∴∠DAB＝110°，

∵AD∥BC，

∴∠ABC＝70°，

∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝70°－20°＝50°，

∴∠EBD＝∠ABE＝25°.

22．(素养提升题)如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2，B3，则直线l与A1A2的夹角α＝__48__°.

【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：

∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，正六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°，

∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝＝120°，

∴∠CA2A3＝∠A2A3C＝180°－120°＝60°，

∴∠C＝180°－60°－60°＝60°，

∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，

∴∠B2B3B4＝＝108°，

∵A3A4∥B3B4，

∴∠EDA4＝∠B2B3B4＝108°，

∴∠EDC＝180°－108°＝72°，

∴α＝∠CED＝180°－∠C－∠EDC＝180°－60°－72°＝48°.

易错点　求多边形边数时漏解

【案例】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1 620°，则原来多边形的边数是__10或11或12__．

【解析】设多边形截去一个角的边数为n，

则(n－2)·180°＝1 620°，

解得n＝11，

∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，

∴原来多边形的边数是10或11或12.