人教版高一数学暑假讲义1.1 集合的概念（讲义）（2份打包，原卷版+教师版）

1.1  集合的概念

1. 定义

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合（简称集）

2. 集合与元素的表示

集合通常用大写字母，，，表示，元素用小写字母，，，表示

3. 元素与集合的关系

4. 常用数集及其记法

例1．下列各组对象不能构成集合的是（    ）

A．所有直角三角形 B．抛物线上的所有点

C．某中学高一年级开设的所有课程 D．充分接近的所有实数

变式1-1．下列元素的全体不能组成集合的是（    ）

A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流

C．方程的实数解 D．周长为的三角形

变式1-2．下列叙述能够组成集合的是（    ）

A．我校所有体质好的同学 B．我校所有800米达标的女生

C．全国所有优秀的运动员 D．全国所有环境优美的城市

变式1-3．下列各组对象不能构成集合的是（    ）

A．上课迟到的学生

B．2022年高考数学难题

C．所有有理数

D．小于x的正整数

例2．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

变式2-1．（多选）下列关系中，正确的是（    ）．

A． B． C． D．

变式2-2．用符号“”或“”填空：0______Z，π______Q．

变式2-3．用符号“”或“”填空：______，_______．

5. 集合中元素的性质

（1）确定性

给定的集合，它的元素必须是确定的；

也就是说，给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了。

（2）互异性

一个给定集合中的元素是互不相同的；

也就是说，集合中的元素是不能重复出现的。

（3）无序性

组成集合的元素没有顺序之分，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

例3．已知,中含有的元素有，求的值.

变式3-1．若集合A中含有三个元素，，，且，求实数a的值.

变式3-2．设，集合中含有三个元素3，，．

(1)求实数应满足的条件；

(2)若，求实数的值．

变式3-3．已知集合有三个元素：，，，集合也有三个元素：，，.

（1）若，求的值；

（2）若，求实数的值；

变式3-4．已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则．

(1)若，求出A中其他所有元素．

(2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数，再求出A中的元素．

(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？

6. 集合的表示方法

（1）列举法

我们可以把“地球上的四大洋"组成的集合表示为

把“方程的所有实数根”组成的集合表示为.

像这样把集合的元素一一列举出来.并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.

（2）描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法

具体方法是在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写上这个元素所具有的共同特征。

数学表达式为：，其中为代表元素，为共同特征。

例4．用列举法表示下列集合：

（1） 满足的x值组成的集合；

（2） 方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合；

（3） 不大于15的正奇数组成的集合；

（4） 不大于10的正偶数组成的集合．

变式4-1．用列举法表示下列集合

(1)以内非负偶数的集合；

(2)方程的所有实数根组成的集合；

(3)一次函数与的图象的交点组成的集合．

变式4-2．用列举法表示下列集合：

（1）不大于10的非负偶数组成的集合；

（2）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；

（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；

（4）由所有正整数构成的集合．

变式4-3．用描述法表示下列集合：

(1)所有被3整除的整数组成的集合；

(2)不等式的解集；

(3)方程的所有实数解组成的集合；

(4)抛物线上所有点组成的集合；

(5)集合.

例5．用描述法表示下列集合：

（1）函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；

（2）不等式2x－3<5的解组成的集合；

（3）如图中阴影部分的点(含边界)的集合；

（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合．

变式5-1．表示下列集合：

(1)请用列举法表示方程的解集；

(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；

(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；

(4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．

变式5-2．选择适当的方法表示下列集合：

(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；

(2)所有正奇数组成的集合B；

(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；

(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．

变式5-3．用适当的方法表示下列集合．

（1）方程组的解集；

（2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；

（3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；

（4）所有三角形构成的集合．

变式5-4．根据要求写出下列集合.

（1）已知，用列举法表示集合.

（2）已知集合，用列举法表示集合A．

（3）已知方程组，分别用描述法、列举法表示该集合.

（4）已知集合B={(x，y)|2x+y-5=0，x∈N，y∈N}，用列举法表示该集合.

（5）用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点集.

7. 集合相等

构成两个集合的元素一样，则两个集合相等

例6．设a,b∈R，集合，则=(    )

A．1 B．-1 C．2 D．-2

变式6-1．集合，则的值为（    ）

A．0 B．1 C．－1 D．±1

变式6-2．已知集合， 若， 则 （    ）

A．3 B．4 C． D．

变式6-3．设,，集合，求．

变式6-4．已知集合，，若，求实数，的值.