甘肃省兰州市七里河区八年级下册期末数学试卷

这是一份甘肃省兰州市七里河区八年级下册期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
甘肃省兰州市七里河区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）下列各式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列因式分解最后结果正确的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）（x+3） B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
C．x3﹣x＝x（x2﹣1） D．﹣x2+6x﹣9＝（x﹣3）2
3．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝12cm，AE平分∠BAD交BC于点E，CE＝4cm，则CD的长为（　　）

A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
5．（3分）不等式3+2x≥1的解在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）解分式方程+＝3时，去分母后变形为（　　）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）＝3（1﹣x） D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
7．（3分）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（　　）

A．（﹣4，﹣1） B．（4，﹣2） C．（4，1） D．（2，1）
8．（3分）将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠后，ED交BF于点G．若∠BGE＝130°，则∠EFC的度数是（　　）

A．110° B．115° C．120° D．125°
9．（3分）将点A（2，﹣1）向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　）
A．（5，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣5） D．（5，﹣5）
10．（3分）墨迹覆盖了“计算”＝”中的右边计算结果，则覆盖的是（　　）
A．a2 B．﹣a2 C．a D．﹣a
11．（3分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为（　　）

A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
12．（3分）在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测15人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少10%．设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二.填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
14．（3分）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣2x2﹣6x+2020＝　 　．
15．（3分）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝30°，AB＝4，BC＝5，则平行四边形ABCD的面积为　 　．

16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为　 　度．

三.解答题（本大题共12个小题，共72分）
17．（4分）分解因式：9（x+y+z）2﹣（x﹣y﹣z）2．
18．（4分）解方程：．
19．（4分）解不等式组．
20．（4分）先化简，再求值：，其中a＝1+．
21．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，2），C（﹣2，3）．
（1）平移△ABC，使点A的对应点A1的坐标为（1，2），画出平移后的△A1B1C1；
（2）已知△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，请在图中画出△A2B2C2．

22．（6分）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，且CE＝BD，连接AD，AE，DE．
（1）求证：AB∥CE；
（2）试判断△ADE的形状，并说明理由．

23．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）连接ED、FB，判断四边形BEDF是否是平行四边形，说明理由．

24．（6分）阅读下列材料，并完成相应的任务．
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）．它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．
把x4+4分解因式．该因式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，再将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）．这种方法叫添项法．
任务：
请你仿照上面的做法，将下列各式分解因式．
（1）4m4+n4；
（2）x2﹣2x﹣y2﹣4y﹣3．
25．（7分）综合与实践
如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，，AD＝8cm，BC＝10cm，AB＝6cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为ts．
（1）直接写出：DQ＝　 　cm，PC＝　 　cm；（用含t的式子表示）
（2）当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？

26．（10分）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的键子数量相同．
（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
（2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
27．（8分）如图，直线y1＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y2＝﹣2x+m与x轴，y轴分别交于点C，D，两直线交于点E（1，n）．
（1）求m，n的值；
（2）求四边形BOCE的面积．

28．（8分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；


甘肃省兰州市七里河区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）下列各式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】最简分式．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】利用分式和最简分数的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵不是分式，
∴A选项不符合题意；
∵是最简分式，
∴B选项符合题意；
∵，不是最简分式，
∴C选项不符合题意；
∵，不是最简分式，
∴D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式与最简分式，熟练掌握最简分式的意义是解题的关键．
2．（3分）下列因式分解最后结果正确的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）（x+3） B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
C．x3﹣x＝x（x2﹣1） D．﹣x2+6x﹣9＝（x﹣3）2
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】A、用十字相乘法分解因式；
B、用提取公因式法分解因式；
C、先用提取公因式，再用平方差公式分解因式；
D、先提取负号，在用完全平方公式分解因式．
【解答】解：A、原式＝（x﹣3）（x+1），∴不符合题意；
B、原式＝（x﹣y）（x﹣y）＝（x﹣y）2，∴符合题意；
C、原式＝x（x+1）（x﹣1），∴不符合题意；
D、原式＝﹣（x﹣3）2，∴不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查因式分解﹣十字相乘法等、提公因式法与公式法的综合运用，掌握灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
3．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝12cm，AE平分∠BAD交BC于点E，CE＝4cm，则CD的长为（　　）

A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】利用平行四边形的性质证得AB＝BE＝CD即可求得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AD＝12cm，
∴BC＝AD＝12cm，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵CE＝4cm，
∴BE＝BC﹣EC＝12﹣4＝8cm，
∴CD＝AB＝BE＝8cm，
故选：A．
【点评】考查了平行四边形的性质，了解平行四边形的对边平行且相等是解答本题的关键，难度不大．
5．（3分）不等式3+2x≥1的解在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】不等式移项，合并同类项，把x系数化为1求出解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式3+2x≥1，
移项得：2x≥1﹣3，
合并同类项得：2x≥﹣2，
解得：x≥﹣1，
数轴表示如下：
．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法及数轴上解集的表示方法是解本题的关键．
6．（3分）解分式方程+＝3时，去分母后变形为（　　）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）＝3（1﹣x） D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】本题考查对一个分式确定最简公分母，去分母得能力．观察式子x﹣1和1﹣x互为相反数，可得1﹣x＝﹣（x﹣1），所以可得最简公分母为x﹣1，因为去分母时式子不能漏乘，所以方程中式子每一项都要乘最简公分母．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，
得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1）．
故选：D．
【点评】考查了解分式方程，对一个分式方程而言，确定最简公分母后要注意不要漏乘，这正是本题考查点所在．切忌避免出现去分母后：2﹣（x+2）＝3形式的出现．
7．（3分）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（　　）

A．（﹣4，﹣1） B．（4，﹣2） C．（4，1） D．（2，1）
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】由B，C的坐标求解线段BC的长度，再利用平行四边形的性质可得答案．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），
∴AD＝BC＝2﹣（﹣2）＝4，
∵BC∥x轴，AD∥BC，
∴AD∥x轴，
∴D（4，1），
故选：C．
【点评】本题主要考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解本题的关键．
8．（3分）将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠后，ED交BF于点G．若∠BGE＝130°，则∠EFC的度数是（　　）

A．110° B．115° C．120° D．125°
【考点】平行线的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】由长方形的对边平行得到AE∥BF，DE∥CF，利用平行线的性质得到∠D′EG＝∠BGE＝130°，根据折叠的性质得到∠GEF＝∠D′EF＝65°，利用平行线的性质即可确定出∠BGE的度数．
【解答】解：∵AE∥BF，
∴∠D′EG＝∠BGE＝130°，
由折叠的性质得到∠GEF＝∠D′EF＝65°，
∵DE∥CF，
∴∠EFC+∠GEF＝180°，
∴∠EFC＝180°﹣65°＝115°．

故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质，以及折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
9．（3分）将点A（2，﹣1）向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　）
A．（5，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣5） D．（5，﹣5）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题．
【解答】解：将点A（2，﹣1）向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B（﹣1.3），
故选：B．
【点评】本题考查坐标平移，记住坐标平移的规律是解决问题的关键．
10．（3分）墨迹覆盖了“计算”＝”中的右边计算结果，则覆盖的是（　　）
A．a2 B．﹣a2 C．a D．﹣a
【考点】分式的乘除法．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】将除法转化为乘法，然后进行约分计算．
【解答】解：原式＝
＝﹣a，
故选：D．
【点评】本题考查分式的乘除法运算，掌握分式的除法运算法则和约分的技巧是解题关键．
11．（3分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为（　　）

A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
【考点】一次函数与一元一次不等式．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据图象利用一次函数与一元一次不等式的关系即可求解．
【解答】解：由图象知：x的不等式k1x+b＞k2x的解集为x＜﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是掌握利用图象获取信息的能力．
12．（3分）在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测15人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少10%．设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设甲队每小时检测x人，根据题意得，
，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．
二.填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x＞1　．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】x＞1．
【分析】根据被开方数的非负性及分母不能为0即可求得答案．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x﹣1＞0，
∴x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查代数式有意义的条件，特别注意分母不能为0．
14．（3分）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣2x2﹣6x+2020＝　2022　．
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【答案】2022．
【分析】先将x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，再代入计算可求解．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，
∴原式＝2x•x2﹣2x2﹣6x+2020
＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020
＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020
＝2x2﹣4x+2020
＝2（x2﹣2x）+2020
＝2×1+2020
＝2022．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，整体代入是解题的关键．
15．（3分）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝30°，AB＝4，BC＝5，则平行四边形ABCD的面积为　10　．

【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用直角三角形的性质得出平行四边形的高，再根据平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积进而求出其面积．
【解答】解：作AE⊥BC于E，如图所示：
∵在▱ABCD中，AB＝4，AD＝BC＝5，
∵∠B＝30°，
∴AE＝AB＝2，
∴▱ABCD的面积为：2×5＝10，
故答案为10．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质，正确得出平行四边形的高是解题关键．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为　112　度．

【考点】翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO＝28°，利用等腰三角形两底角相等求出∠ABC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA＝OB，再根据等边对等角求出∠OBA，然后求出∠OBC，再根据等腰三角形的性质可得OB＝OC，然后求出∠OCE，根据翻折变换的性质可得OE＝CE，然后利用等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵OA平分∠BAC，∠BAC＝56°，
∴∠BAO＝∠BAC＝×56°＝28°，
∵AB＝AC，∠BAC＝56°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝×（180°﹣56°）＝62°，
∵OD垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∴∠OBA＝∠BAO＝28°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝62°﹣28°＝34°，
由等腰三角形的性质，OB＝OC，
∴∠OCE＝∠OBC＝34°，
∵∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠OEC＝180°﹣2×34°＝112°．
故答案为：112．

【点评】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
三.解答题（本大题共12个小题，共72分）
17．（4分）分解因式：9（x+y+z）2﹣（x﹣y﹣z）2．
【考点】因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用平方差公式分解，再把括号里面合并同类项，再进一步提取公因式即可．
【解答】解：原式＝（3x+3y+3z﹣x+y+z）（3x+3y+3z+x﹣y﹣z）
＝（2x+4y+4z）（4x+2y+2z）
＝4（x+2y+2z）（2x+y+z）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
18．（4分）解方程：．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】观察可得2﹣x＝﹣（x﹣2），所以可确定方程最简公分母为：（x﹣2），然后去分母将分式方程化成整式方程求解．注意检验．
【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2），
得：x﹣3+（x﹣2）＝﹣3，
解得x＝1，
检验：x＝1时，x﹣2≠0，
∴x＝1是原分式方程的解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
（3）去分母时有常数项的不要漏乘常数项．
19．（4分）解不等式组．
【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“大小小大取中间”原则求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得x＞﹣3，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
20．（4分）先化简，再求值：，其中a＝1+．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当a＝1+，b＝1﹣时，原式＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，2），C（﹣2，3）．
（1）平移△ABC，使点A的对应点A1的坐标为（1，2），画出平移后的△A1B1C1；
（2）已知△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，请在图中画出△A2B2C2．

【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．菁优网版权所有
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．

【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，熟练掌握旋转的性质，平移的性质是解题的关键．
22．（6分）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，且CE＝BD，连接AD，AE，DE．
（1）求证：AB∥CE；
（2）试判断△ADE的形状，并说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，由角平分线的性质可得∠ACE＝∠DCE＝60°，可得结论；
（2）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，可得结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
即∠ACD＝120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE＝60°，
∴AB∥CE；
（2）解：△ADE是等边三角形，理由如下：
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
又∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）连接ED、FB，判断四边形BEDF是否是平行四边形，说明理由．

【考点】平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据角平分线的性质先得出∠BEC＝∠DFA，然后再证∠ACB＝∠CAD，再证出△ABE≌△CDF，从而得出AE＝CF；
（2）连接BD交AC于O，则可知OB＝OD，OA＝OC，又AE＝CF，所以OE＝OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠CDA，AB∥CD∴∠BAC＝∠DCA，
∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，
∴∠ABE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADC
∴∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF （ASA），
∴AE＝CF；

（2）是平行四边形；
连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF．
即EO＝FO．
∴四边形BEDF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键寻找两条线段所在的三角形，然后证明两三角形全等．
24．（6分）阅读下列材料，并完成相应的任务．
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）．它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．
把x4+4分解因式．该因式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，再将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）．这种方法叫添项法．
任务：
请你仿照上面的做法，将下列各式分解因式．
（1）4m4+n4；
（2）x2﹣2x﹣y2﹣4y﹣3．
【考点】多项式乘多项式；因式分解的意义；因式分解﹣分组分解法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
【答案】（1）（2m2+n2+2mn）（2m2+n2﹣2mn）；
（2）（x+y+1）（x﹣y﹣3）．
【分析】（1）原式仿照题意添一项4m2n2，再减去4m2n2，利用乘法公式分解因式即可；
（2）仿照题意求解即可．
【解答】解：（1）4m4+n4
＝4m4+4m2n2+n4﹣4m2n2
＝（2m2+n2）2﹣4m2n2
＝（2m2+n2+2mn）（2m2+n2﹣2mn）；
（2）x2﹣2x﹣y2﹣4y﹣3
＝x2﹣2x+1﹣1﹣y2﹣4y﹣4﹣3+4
＝（x﹣1）2﹣（y+2）2
＝（x﹣1+y+2）（x﹣1﹣y﹣2）
＝（x+y+1）（x﹣y﹣3）．
【点评】本题主要考查了分解因式，熟知乘法公式分解因式是解题的关键．
25．（7分）综合与实践
如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，，AD＝8cm，BC＝10cm，AB＝6cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为ts．
（1）直接写出：DQ＝　（8﹣t）　cm，PC＝　（10﹣2t）　cm；（用含t的式子表示）
（2）当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？

【考点】平行四边形的判定；列代数式．菁优网版权所有
【答案】（1）（8﹣t），（10﹣2t）；
（2）t＝2．
【分析】（1）根据AD、BC的值和点Q的速度是1cm/s，点P的速度是2cm/s，直接用t表示出QD、CP的值．
（2）四边形PCDQ是平行四边形，则需DQ＝CP，可得方程8﹣t＝10﹣2t，再解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得AQ＝tcm，BP＝2tcm，
∵AD＝8cm，BC＝10cm，
∴DQ＝AD﹣AQ＝（8﹣t）cm，PC＝BC﹣BP＝（10﹣2t）cm，
故答案为：（8﹣t），（10﹣2t）；
（2）∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ＝PC，
∴8﹣t＝10﹣2t，
解得t＝2，
所以，当t＝2时，四边形PQDC为平行四边形．
【点评】本题主要考查了列代数式，平行四边形的性质，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
26．（10分）“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的键子数量相同．
（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
（2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元．
（2）当学校购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少．
【分析】（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为（x+3）元，由题意：用800元购买的跳绳个数和用500元购买的键子数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买毽子m个，则购买跳绳（600﹣m）个，由题意：跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，列出一元一次不等式组，解之得m的取值范围，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，再由总价＝单价×数量可得出w关于m的函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为（x+3）元，
依题意，得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+3＝8．
答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元．
（2）设购买毽子m个，则购买跳绳（600﹣m）个，
依题意，得：，
解得：140≤m≤150，
设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，
则w＝8×0.8（600﹣m）+5×0.7m＝﹣2.9m+3840，
∵﹣2.9＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝150时，w取得最小值，最小值＝﹣2.9×150+3840＝3405（元），
则600﹣150＝450，
答：当学校购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
27．（8分）如图，直线y1＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y2＝﹣2x+m与x轴，y轴分别交于点C，D，两直线交于点E（1，n）．
（1）求m，n的值；
（2）求四边形BOCE的面积．

【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数的性质．菁优网版权所有
【答案】（1）m＝5，n＝3
（2）4.75
【分析】（1）把点E的坐标代入y1＝x+2即可求出n的值，进而求出点E的坐标，再把点E的坐标代入y2＝﹣2x+m中求出m即可；
（2）先求出A、B、C三点的坐标，进而求出OA＝OB＝2，AC＝4.5，再根据S四边形BOCE＝S△ACE﹣S△AOB进行求解即可．
【解答】（1）解：把点E（1，n）代入y1＝x+2中得：n＝1+2＝3，
∴E（1，3），
把E（1，3）代入y2＝﹣2x+m中得：3＝﹣2+m，
∴m＝5；
（2）解：当y1＝0时，x＝﹣2，当x＝0时，y1＝2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
由（1）得y2＝﹣2x+5，
当y2＝0，x＝2.5，
∴C（2.5，0），
∴AC＝4.5，
∴S四边形BOCE＝S△ACE﹣S△AOB＝＝＝4.75．
【点评】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，直线围成的图形面积，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
28．（8分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①由已知推出∠ADC＝∠BEC＝90°，因为∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS即可得到答案；
②由（1）得到AD＝CE，CD＝BE，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，代入已知即可得到答案．
【解答】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DC+CE＝DE，
∴AD+BE＝DE．

（2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．

【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．
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