2023年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（理科）-教师用卷

2023年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（理科）

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.  设集合，为整数集，则(    )

A.  B.
C.  D.

【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查集合交并补的混合运算，属于基础题．

可以看作、、的并集，即可得出结果．

【解答】

解：由题意知 ，

故．

故选A．

2.  若复数，则实数(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查复数的乘法运算、复数间的相等关系，属于基础题．

利用复数的乘法运算法则，得到，利用复数相等即实部相等、虚部相等，即可得解．

【解答】

解：由题知，

，则．

故选C．

3.  执行下面的程序框图，输出的(    )
 

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查程序框图，属于基础题．

按照程序框图中进行赋值，当时，循环结束，输出．

【解答】

解：第一次： ，

第二次：，

第三次：，

输出．

故选B．

4.  向量，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查利用平面向量数量积求向量的夹角问题，属于基础题．

由题意可知，，利用，两边平方求出，故即为，利用向量数量积求解．

【解答】

解：由题知，则，即，

，

又，，

，

，，

故．

故选D．

5.  已知正项等比数列中，，为的前项和，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的前和的运算，属于基础题．

将等比数列的前和公式带入，求出公比，即可得解．

【解答】

解：方法一：设等比数列的公比为，则，

当时，，故舍去；

当时，，

，即，

即，，

故．

故选C．
方法二：，，，可得，
可知，又为正项等比数列，，
故．

6.  有人报名足球俱乐部，人报名乒乓球俱乐部，人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查集合中元素个数，条件概率的问题，属于基础题．

由题意确定报名各类班的人数，再由条件概率即可求解．

【解答】

解：由题意知，既报名足球俱乐部又报名乒乓球俱乐部的有人，

则只报名足球俱乐部人，只报名乒乓球俱乐部人，

所以已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率．

故选A   

7.  “”是“”的(    )

A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件

【答案】B 

【解析】

【分析】

本题是对条件判断和三角函数的综合考查，属于中档题．

先根据特殊值法判断，再结合同角三角函数的基本关系即可得出．

【解答】

解：当时，例如，但，
即推不出
当时，，
综上可知，是成立的必要不充分条件．
故选：

8.  已知双曲线：的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的性质、直线与圆相交的弦长问题，属于中档题．

由离心率的值，求出渐近线的方程，又渐近线与圆相交，求出圆心到直线的距离，进而即可求解．

【解答】

解：由题知，即，故，

双曲线的渐近线为，

圆心到直线的距离，

故直线与圆相离，

 圆心到直线的距离，满足题意，

．

故选D．

9.  有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，

则两天中恰有人连续参加两天服务的选择种数为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查分步乘法计数原理，属于基础题

由题采用分步乘法计数原理，结合组合数即可求解．

【解答】

解：由题采用分步乘法计数原理，

第一步；一人连续参加两天服务情况共有种；

第二步；选择一人参加星期六的服务选法有种；

第三步；选择一人参加星期日的服务选法有种，

故两天中恰有人连续参加两天服务的选择种数为．

故选B．

10.  函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数图象平移及函数图象交点个数问题，属于中档题．

根据函数图象平移得到，然后在同一直角坐标系下作出两函数图象分析即可求解．

【解答】

解：向左平移个单位长度可得，

即，值域为，且经过点、、；

在同一直角坐标系中作出两函数图象如下：

结合图象分析可得的图象与直线的交点个数为

故选

11.  在四棱锥中，底面为正方形，，，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查锥体中有关长度和面积的计算，利用余弦定理建立关系求解，为中档题．
余弦定理求出，再转化到中，再次使用余弦定理求出对应角的余弦，进而算出对应角的正弦，再结合三角形面积公式求解．

【解答】

解：四棱锥中，如图，连结，交于，连结．
因为底面为正方形，则为，的中点，因为，所以，则，
又，，所以，所以，
又，，所以，所以．
在中，，，，即，
．

在中，，
则，，故选  

12.  已知椭圆，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，余弦定理的应用，属于中档题．

由椭圆标准方程得出，，，在焦点三角形中，，由余弦定理可得出，又是的中线，则，转化为向量求模长解决．

【解答】

解：设在椭圆中，则，

所以，

在中，，整理，得，

所以，又，

所以

，故选 B．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若为偶函数，则          ．

【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查由函数的奇偶性求参，属于基础题．

化简表达式，由偶函数的定义可得结果．

【解答】

解：，

所以，

由题意知，即对恒成立，．

故答案为  

14.  若，满足约束条件，则的最大值为          

【答案】 

【解析】

【分析】本题考查线性规划中最值问题，属于基础题．

画出不等式组表示区域，目标函数变形为，根据图形可得最大值．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图

由点，，围成的三角形区域包括边界，

目标函数变形为，在点处取得最大值．

故答案为．

15.  在正方体中，，分别为，的中点，则以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为          ．

【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正方体的结构特征和球的结构特征，属基础题．

根据正方体的结构特征和球的结构特征可知以为直径的球面与正方体的各棱均相切，即可知交点总数．

【解答】

解：在正方体中，，分别为，的中点，

所以，以为直径的球的球心为正方体的中心，半径为正方体面对角线的一半，

因此，以为直径的球面与正方体的各棱均相切，即该球面与正方体每条棱的交点总数为，

故答案为： 

16.  已知中，，，，平分交于点，则          

【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用正弦定理解三角形，属于基础题．

在中利用正弦定理求出，然后在中分别求出和，得出为等腰三角形，从而求出．

【解答】

解：在中，由正弦定理，即，解得，

又，，，，

，故为等腰三角形，

．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.  已知数列中，，设为前项和，．

求的通项公式

求数列的前项和

【答案】解：因为，

当时，，

得，

所以，

当时，，

所以，，即．

当时，满足，

当时，满足，

故．

因为，

所以，

所以，

可得，

所以 

【解析】本题考查了递推公式求数列通项，错位相减求和，属于中档题．
利用递推公式可以判断为常数列，即可求出的通项，需注意检验前两项是否满足；

利用错位相减法求出前项和．

18.  在三棱柱中，，底面，，到平面的距离为

证明：

若直线与距离为，求与平面所成角的正弦值．

【答案】证明：底面，平面

，即且，平面，

平面

平面

平面平面

过作，交于

且平面平面，平面

平面

到平面距离为

又底面，平面平面，
底面，又平面．
故

在中，，

设，则，

则有

解得

则

连接，
，，

过作交于点，则为中点．

则有，，，，，
，
，

又到平面的距离也为，

则与平面所成角的正弦值为 

【解析】本题主要考查空间中直线与平面所成角，以及线面，面面垂直的判定，属于中档题．

先证明平面平面再作辅助线，利用到平面的距离为，得到，再由勾股定理即可证得；

过作，即可求出，，，再由到平面的距离为和求得与平面所成角的正弦值．

19.  为探究某药物对小鼠的生长作用，将只小鼠均分为两组，分别为对照组不药物和实验组加药物．

设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的分布到和数学期望

测得只小鼠体重如下单位：：已按从小到大排好

对照组：

实验组：                     

求只小鼠体重的中位数，并完成下面列联表：

根据列联表，能否有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．

参考数据：

，

【答案】解：由题意知，的取值有，，，

；；；

的分布列为：

．

将只小鼠体重从小到大排好后，第位、第位小鼠体重分别是、，

只小鼠体重的中位数，

完成列联表如下：

．

有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望、独立性检验，属于基础题．

由题意知，随机变量的取值有，，，得出其对应的概率，即可写出随机变量的分别列，进而计算出数学期望．

由题意完成列联表，求出的值与比较，即可得出结论．

20.  已知直线与抛物线：交于，两点，．

求的值

设为的焦点，，为上的两点，且，求面积的最小值．

【答案】解：设，

联立方程，得，

，且，得，，

，解得．

抛物线方程为，．

设，直线的方程为：，

联立方程，得，

，，

，
，

即，

由得，，

又，得或，

所以当时，面积有最小值 

【解析】本题考查抛物线的几何性质，抛物线中三角形面积的最值问题，属于综合题．

联立方程，根据弦长公式可求得的值．

设，由可得，表示出，找到的范围可得最小值．

21.  已知函数，，

当时，讨论函数的单调性

若，求的取值范围．

【答案】解：当时， 

，

由于，，令得，即，

当，，得，单调递增，

当，，得，单调递减，

所以在上单调递增，在上单调递减．

构造且

可得，

所以，即的必要条件是，

由得．

下面证明时，成立，即证明成立，

，

，

即函数在上单调递减，故得证．

【解析】本题将导数与三角函数、不等式结合，考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立问题，属于综合性试题．

  当时，对函数求导，化简后得到导函数的零点，然后进行讨论说明；

  先由必要性探路可得不等式成立的必要条件是，然后证明充分性，即证明时，不等式成立，通过构造函数，可证明在上单调递减，得到，问题得证．

22.  已知点，直线为参数，与轴，轴正半轴交于、两点，．

求的值；

以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．

【答案】解：令，得，，

令，得，，

，

，，解得

又直线与轴，轴均交于正半轴，

．

直线的斜率，且直线过点，

直线的普通方程为，即，

极坐标方程为．

【解析】本题考查直线的参数方程与极坐标方程，属于基础题．

根据直线参数方程中的几何意义求解；

结合直线所过定点及中所求得的倾斜角，得出直线的普通方程，进而转化为极坐标方程．

23.  设，函数

求不等式的解集；

若曲线与轴所围成的图形的面积为，求

【答案】解：，

不等式可化为，即

不等式的解集为

，作出分段函数图像如下图，

则与坐标轴围成与，
的高为，，，，所以，
所以，解得．

【解析】本题考查了绝对值不等式的解法，以及作分段函数图像，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．

根据，利用零点分段法解不等式即可；

先化简，在作出的图象，再根据面积公式即可求出．